Загадка чисел Фибоначчи

МБОУ «Первомайская средняя общеобразовательная школа»

Оренбургского района Оренбургской области

 

     

 

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ   РАБОТА

«Загадка чисел

Фибоначчи»

 

                                              

                                            

  

                                                         Выполнила:   Каналиева Дана

                                  ученица 6  класса

                                                        Научный  руководитель:

                                                                                 Газизова Валерия Валерьевна

учитель математики                                                        высшей категории

 

 

 

 

п. Экспериментальный

2012г

 

 

 

                                                        Оглавление

 

Пояснительная записка……………………………………………………………………........  3. 

Введение. История чисел Фибоначчи.……………………………………………………......   4. 

Глава 1.    Числа Фибоначчи в живой природе.......……. …………………………………...   5.

Глава 2.    Спираль Фибоначчи                  .......................................................…………….....   9. 

Глава 3.    Числа Фибоначчи   в   изобретениях человека .........…………………………….. 13 

Глава 4.    Наши исследования……………………………………………………………….... 16.

Глава 5.    Заключение, выводы……………………………………………………………...... 19.

Список используемой литературы и сайтов Интернета…………………………………........21.

                 

               

     

• Объект  исследования:
•   человек, математические абстракции, созданные человеком, изобретения человека,   окружающий растительный  и животный мир.
• Предмет  исследования:
• форма и строение исследуемых предметов и явлений.
• Цель исследования:

изучить проявление чисел Фибоначчи и связанного с ним закона золотого сечения  в строении живых и неживых объектов,

найти примеры использования чисел Фибоначчи.

 

• Задачи работы:    
• Описать способ построения ряда Фибоначчи и спирали Фибоначчи.
• Увидеть математические закономерности, в строении человека, растительного мира и неживой природы  с точки зрения феномена Золотого сечения.

 

• Новизна  исследования:
• Открытие чисел Фибоначчи   в окружающей нас действительности.

• Практическая  значимость:

• Использование  приобретенных знаний и навыков исследовательской работы   при изучении других школьных предметов. 

 

• Умения и навыки:
• Организация  и проведение   эксперимента.
• Использование  специальной литературы.
• Приобретение  умения  делать обзор  собранного материала (доклад, презентацию)
• Оформление работы  рисунками, диаграммами, фотографиями.
• Активное  участие   в обсуждении  своей работы.

 

• Методы исследования:
• эмпирический (наблюдение, эксперимент, измерение).
• теоретический (логическая ступень познания).

                                     

 

                                   

 

 

                                     Пояснительная записка.

 

    «Числа управляют миром!  Число – это сила, царящая над богами и смертными!» - так говорили ещё древние  пифагорейцы. Актуальна  ли в наши дни эта основа учения Пифагора?   Изучая в школе науку чисел, нам  хочется убедиться в том, что действительно, явления всей Вселенной подчинены определенным числовым соотношениям,  найти  эту невидимую  связь между математикой и жизнью! 

 

     Неужели в каждом цветочке,

                                  И в молекуле, и в галактике,

                                  Числовые закономерности

                                  Этой строгой «сухой» математики?

 

       Мы обратились  к современному источнику информации  – к Интернету и прочитали о числах Фибоначчи, о магических числах, которые таят в себе великую загадку. Оказывается, эти числа можно найти в  подсолнухах и сосновых шишках, в крыльях стрекозы и морских звёздах, в ритмах человеческого   сердца  и в музыкальных ритмах...

  Почему же эта последовательность  чисел столь распространена в нашем мире?

Мы захотели узнать  о  тайнах чисел Фибоначчи. Результатом нашей деятельности и явилась данная исследовательская работа.

 

 

• Гипотеза:
• в окружающей нас действительности всё  построено по удивительно гармоничным законам с математической точностью.
• Всё в мире продуманно и просчитано самым главным нашим дизайнером – Природой!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение. История ряда Фибоначчи.

 

       Удивительные числа были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи.   Путешествуя по Востоку, он познакомился с достижениями арабской математики, способствовал передаче их на Запад. В одном из своих трудов под названием «Книга вычислений» он представил Европе одно из величайших открытий всех времён и народов – десятичную систему счисления.

 

Однажды, он ломал голову над решением одной математической задачи. Он пытался создать формулу, описывающую последовательность  размножения кроликов.

                              

 

   Разгадкой стал числовой ряд, каждое последующее число которого, является суммой двух предыдущих:

 

 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

 

Числа, образующие данную последовательность называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи.

«Ну и что?» - скажете вы, - «Мали ли мы сами можем придумать подобных числовых рядов, нарастающих по заданной прогрессии?» Действительно, когда появился ряд Фибоначчи, никто, в том числе и он сам, не подозревал, насколько близко ему удалось приблизиться к разгадке одной из величайших тайн мироздания!

Фибоначчи вёл отшельнический образ жизни, много времени проводил на природе, и, гуляя в лесу, он обратил внимание, что эти числа стали буквально преследовать его. Повсюду в природе он снова и снова встречал эти числа. Например, лепестки и листья растений строго укладывались в данный числовой  ряд.

В числах Фибоначчи существует интересная особенность: частное от деления последующего числа Фибоначчи на предыдущее, по мере роста самих чисел, стремиться к 1,618. Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне именуется как золотое сечение или золотая пропорция.

В алгебpе это число обозначается гpеческой буквой фи (Ф)

                               Итак,               φ = 1,618

          233 / 144 = 1,618                          

377 / 233 = 1,618 

610 / 377   = 1,618

987 / 610   = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Сколько бы раз мы не делили одно на другое, соседнее с ним число, мы всегда получим  1, 618.   А если сделаем наоборот, то есть разделим  меньшее число  на большее, то получим    0, 618, это число, обратное к        1, 618,    тоже называется золотой пропорцией.

  Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду, как арифметическому выражению закона золотого деления.

   Учёные, анализируя дальнейшее применение этого числового ряда  к природным феноменам и процессам, обнаружили, что эти числа содержатся буквально во всех объектах живой природы, в  растениях, в животных и в человеке.

Удивительная математическая игрушка оказалась уникальным кодом, заложенным во все природные объекты самим Творцом  Вселенной.

Рассмотрим примеры, где встречаются числа Фибоначчи в живой и неживой природе.

 

 

Числа Фибоначчи в живой природе.

 

Если посмотреть на растения и деревья вокруг нас, то видно, сколь много листьев на каждом из них. Издалека кажется, что ветки и листья на растениях расположены случайным образом, в произвольном порядке. Однако во всех растениях чудесным образом, математически точно спланировано какая веточка откуда будет произрастать, как ветки и листья будут располагаться около стебля или ствола. С первого дня появления растение в точности следует в своём развитии этим законам, то есть ни один лист, ни один цветок не появляется случайно. Ещё до появления растение уже точно запрограммировано. Сколько будет веток на будущем дереве, где вырастут ветки, сколько будет листьев на каждой ветке, и как, в каком порядке будут располагаться листья. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), в числе оборотов на стебле, в числе листьев в цикле проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя и  закон золотого сечения.

Если вы зададитесь целью  отыскать числовые закономерности в живой природе, то заметите, что эти числа часто встречаются в различных спиральных формах, которыми так богат мир растений.  Например,  черенки листьев примыкают к стеблю по спирали, которая проходит между двумя соседними листьями:   полного оборота - у орешника,   - у дуба,   - у тополя и груши,   - у ивы.

 Семена подсолнечника, эхинацеи пурпурной и  многих других растений,  расположены спиралями, причем количества спиралей каждого направления - числа Фибоначчи.

 

                                                        

              

Подсолнечник, 21 и 34 спирали.                         Эхинацея, 34 и 55 спиралей.

 

   Чёткая, симметричная форма цветов также   подчинена строгому закону.

У многих цветов количество лепесточков – именно числа из ряда Фибоначчи. Например:

 

               

ирис, 3леп.               лютик, 5 леп.           златоцвет, 8 леп.          дельфиниум,

                                                                                                            13 леп.

 
                     

цикорий,21леп.              астра, 34 леп.                         маргаритки,55леп.

Ряд Фибоначчи характеризует структурную   организацию многих живых систем.

Мы уже говорили, что отношений соседних чисел в ряду Фибоначчи есть число φ = 1,618. Оказывается, что и сам человек – просто кладезь числа фи.

 

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы. 
 
                                                    M/m=1,618 
 
     Первый пример золотого сечения в строении тела человека: 
 
Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618. 
 
                      Рука человека 
 
Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг. 
Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца). 
 
Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения. 
 
У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

 

 

 

 
                    Золотая пропорция в строении легких человека 
 
Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое сечение. 
 
Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.

Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

 
Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции. 
Есть и другое, более прозаическое применение пропорций тела человека. Например, используя эти соотношения, криминальные аналитики и археологи по фрагментам частей человеческого тела восстанавливают облик целого.