Условный экстремум

Оказывается, множитель Лагранжа – весьма существенная характеристика решаемой задачи. Чтобы смысл ее стал яснее, несколько изменим формулировку ограничения, ничего не изменяя по существу.

Типичная экономическая ситуация характеризуется тем, что приходится искать наиболее выгодное решение при ограниченном количестве некоторого ресурса. Если r – заданное количество ресурса, а функция h(X) характеризует потребное его количество для достижения точки Х, то ограничению естественно придать форму

h(X) £ r.

По характеру задачи часто бывает ясно, что для достижения оптимума ресурс нужно использовать полностью, так что ограничение может  быть записано в виде равенства 

 

h(X) = r.

(32)

 

Это условие можно представить  в форме g(X) = h(Х) - r = 0. Но значительный интерес представляет максимально достижимый уровень функции f(x) в зависимости от имеющегося количества ресурса r. Обозначим

F(r) = max {f(X) | h(X) = r}.

В правой части - принятое обозначение  условного экстремума: после вертикальной черты выписывается условие.

При обсуждении структуры функции Лагранжа lg(Х) можно интерпретировать как составляющую, уравновешивающую возможный прирост максимума f(X) при отклонении g(X) от нуля. Но отклонение g(X) от нуля есть отклонение h(Х) от r. Если располагаемое количество ресурса получает приращение Ùr, то мы должны ожидать приращение максимума функции f(X) на lÙr.

В действительности это соотношение  носит приближенный характер. Точный результат мы получили бы в пределе  при Ùr ® 0:

 

(33)

 

Таким образом, множитель Лагранжа характеризует скорость изменения  максимума целевой функции при  изменении ограничивающей константы r в ограничении вида (32).

Приведем еще одно рассуждение. Для всевозможных точек  Х найдем значения f(X) и h(Х) и отложим эти значения в виде точек в декартовых координатах (рисунок 5). Если при каждом значении h(Х) существует максимум функции f(Х), то все точки расположатся ниже некоторой кривой, показанной на рисунке жирной линией.

 

Рисунок 5

 

Нас интересуют точки, соответствующие  условию h(X) = r. Максимум f(X) помечен точкой М; обозначим l наклон кривой в этой точке. Если в качестве ординаты брать не f(X), а L(X; l) =f(X) - l [h(X) - r], то новая верхняя граница имела бы в точке М горизонтальную касательную. Это значит, что в исходном n-мерном пространстве соответствующая точка М – стационарная точка функции L (X; l) с данным значением параметра l. Таким образом, l – множитель Лагранжа.

Но жирная черная кривая – это график функции F(r), а l – его угловой коэффициент, откуда и следует равенство (33).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 Преимущества и недостатки метода множителей Лагранжа

 

Метод множителей Лагранжа имеет широкую область применения главным образом потому, что множители  Лагранжа служат удобным средством для анализа условно-экстремальной задачи.

Они выражают ту «долю  приращения» целевой функции, которую  можно получить, давая некоторое  малое приращение в заданном ограничении.

В конкретных задачах  множители Лагранжа имеют важные содержательные интерпретации.

В экономико-математических моделях λ интерпретируются как цены оптимального плана или объективно обусловленные оценки.

С вычислительной же точки  зрения метод множителей Лагранжа практически  не имеет преимуществ перед методом  подстановки. Мы всегда можем, исходя из условий g_j (X)=0, j= 1,..,m, исключить t переменных и, таким образом, исходную условно-экстремальную задачу от n переменных свести к задаче на безусловный экстремум от n-t переменных.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

 

Математический анализ это совершенно естественная, простая  и элементарная наука, ничуть не более  заумная, сложная или «высшая», чем, скажем, «элементарная» геометрия. Многие теоремы, традиционно входившие в курс геометрии, куда сложнее, чем основополагающие теоремы классического анализа. Ныне противопоставление элементарной математики и анализа непродуктивно, и вовсе необязательно проявлять бездну остроумия только лишь из боязни использовать свойства производной.

Использование математических моделей в настоящее время стало очень актуальным вопросом, в связи с постоянно развивающейся экономики.

Построение математической (символической) модели системы можно  начать с перечисления всех элементов  системы, которые влияют на эффективность  работы системы. Если в качестве меры общей эффективности используется “общие ожидаемые издержки”, то можно начать с исследования изобразительной или аналоговой модели, полученной на стадии постановки задачи.

Метод множителей Лагранжа позволяет отыскивать максимум или  минимум функции при ограничениях-равенствах. Основная идея метода состоит в переходе от задачи на условный экстремум к задаче отыскания безусловного экстремума некоторой построенной функции Лагранжа.

Таким образом – метод  множителей Лагранжа играет важную роль в развитии, предсказании, построении оптимального варианта, человеческой сферы деятельности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Зорич , В. А. Математический анализ. Часть 1. — изд. 2-е, испр. и доп. – /В.А. Зорич. - М.: ФАЗИС, 1997.
2. Акулич, И.Л. Глава 3. Задачи нелинейного программирования // Математическое программирование в примерах и задачах/И.Л. Акулич. – М.: Высшая школа, 1986.
3. Варфоломеев, В.И. “Моделирование элементов экономических систем”/В.И. Варфаломеев. - Москва 2000г.
4. Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа / А.Ф.Бермант, И.Г.Араманович. - М.: Наука, 1973.
5. Жак, И.Е. Дифференциальное исчисление/ И.Е.Жак. – М.:Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1960.
6. Тихомиров, В.М. Рассказы о максимумах и минимумах/ В.М.Тихомиров. – М.:Наука, 1986.
7. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа. т.2./ Г.М.Фихтенгольц. -М.: Наука, 1968.