Условный экстремум

 

Приведенное рассуждение  теряет силу, если линия уровня такова, что во всех ее точках f_x`=0, f<sub>y</sub>`=0. Можно рассмотреть, например, функцию z = 4-x² и линию уровня x=0, соответствующую значению z = 4.

Можно искать условный экстремум  функции f(x,y,z) при двух уравнениях связи: j₁(x, y, z) = 0 и j₂(x, y, z) = 0

Эти уравнения определяют линию в пространстве. Таким образом, задача сводится к отысканию такой точки линии, в которой функция принимает экстремальное значение, причем сравниваются значения функции только в точках рассматриваемой линии.

Метод множителей Лагранжа в этом случае принимается следующим  образом: строим вспомогательную функцию

Ф(x, y, z) = f(x, y, z)+l₁j₁(x, y, z) +l₂j₂(x, y, z), где l₁ и l₂ – новые дополнительные неизвестные, и составляем систему уравнений для отыскания экстремумов этой функции.

 

Добавляя сюда два  уравнения связи получаем систему  уравнений с пятью неизвестными x, y, z, l₁, l₂. Искомыми точками условного экстремума могут быть только те, координаты х, у, z которых являются решением этой системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Задачи на условный экстремум функции многих переменных

 

 

Пусть на открытом множестве  заданы функции

 

(6)

 

. Обозначим через  множество точек , в которых все функции , обращаются в нуль:

 

(7)

 

Уравнения

 

(8)

 

называются уравнениями  связи.

Определение 1. Пусть на задана функция . Точка называется точкой условного экстремума функции относительно (или при выполнении) уравнения связи (8), если она является точкой обычного экстремума этой функции, рассматриваемой только на множестве .

Иначе говоря, здесь значение функции  в точке сравнивается не со всеми ее значениями в достаточно малой окрестности этой точки, а только со значениями в точках, принадлежащий достаточно малой окрестности и множеству . Как и в случае обычных экстремумов можно, естественно, рассматривать точки просто условного экстремума и точки строго условного экстремума.

Рассмотрим, например, функцию

 

(9)

 

И уравнение связи

 

(10)

 

Найдем условный экстремум  функции (9) при выполнении уравнения связи (10). Из (10) имеем .

Таким образом, при выполнении условия связи функция (9) является функцией одного переменного, ее экстремум находится элементарно: приравнивая нулю ее производную (необходимое условие экстремума), получим , откуда . В этой точке функция (9), очевидно, имеет минимум (она является многочленом второй степени с положительным коэффициентом при старшем члене). Значению согласно уравнению связи (10) соответствует .

Следовательно, в точке  функция (9) достигает минимума относительно уравнения связи (10). Геометрически это означает, что точка параболоида , находящаяся над точкой , является самой низкой из всех его точек, лежащих над прямой (10).

Предполагают, что

1. Функции и имеют непрерывные частные производные первого порядка на открытом множестве .
2. и ранг матрицы в каждой точке множества _равен , т.е. числу строк.

Это означает, что функции  системы (6) независимы в любой окрестности каждой точки .

Пусть ; согласно условию 2, в точке _{хоть один из определителей вида отличен от нуля; пусть для определенности в точке}

.

(11)

 

_{Тогда в силу теоремы  о неявных функциях систему уравнений (8) в некоторой окрестности точки можно разрешить относительно переменных :}

 

(12)

_{Подставляя (12) в функцию , получим функцию}

 

(13)

 

_{от  переменных} , определенную и непрерывную дифференцируемую в некоторой окрестности точки .

_{Точка является точкой (строгого) условного экстремума для функции относительно уравнения связи (8) в том и только том случае, когда точка является точкой обычного (строгого) экстремума для функции (13). Это непосредственно следует из того, что условия (8) и (12) равносильны.}

 

4 Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума функции многих переменных

 

 

Теорема 1. Пусть точка является точкой условного экстремума функции при выполнении уравнений связи (8). Тогда существуют такие числа , что в точке выполняются условия

 

(14)

 

Следствие. Положим

 

,

(15)

 

где - числа, указанные в теореме. Функция (15) называется функцией Лагранжа. Если точка является точкой условного экстремума для функции , то она является стационарной точкой для функции Лагранжа, т.е. в этой точке

 

.

(16)

 

Доказательство теоремы. Пусть  _{– точка условного экстремума для функции и пусть в этой точке для определенности выполняется условие (11). Тогда точка является точкой обычного экстремума для функции , поэтому в точке}

 

 

или

 

,

 

откуда, пользуясь инвариантностью  формы первого дифференциала, для  точки  имеем

 

.

(17)

 

Подставляя (12) в (8) и дифференцируя получившееся тождество в некоторой окрестности точки , а значит, и в самой точке , получим

 

.

(18)

 

В формуле (18), также как и в формуле (17), дифференциалы есть дифференциалы независимых переменных, а дифференциалы есть дифференциалы функций .

Каковы бы не были числа  , умножая равенство (18) в точке для функции на , и складывая их между собой и с равенством (17), получим

 

(19)

 

Выбрав  так, чтобы в точке выполнялись равенства

 

(20)

 

Это всегда возможно, так  как (20) является системой линейных относительно уравнений с определителем

 не равным нулю.

При таком выборе имеем

 

(21)

 

Здесь уже все дифференциалы есть дифференциалы независимых переменных и, значит, сами являются независимыми переменными, которые могут принимать любые значения. Беря , а все остальные дифференциалы, входящие в формулу (21), равными нулю, получим

 

.

(22)

 

Тем самым мы доказали существование таких  , что выполняются условия (20) и (22), т.е. условия (14).

Теорема доказана.

 

 

5 Алгоритм нахождения экстремума функции методом множителей Лагранжа

 

 

Пусть требуется найти  экстремум функции n переменных f(x₁,x₂,…,x_n) при условии, что переменные x₁,x₂,…,x_n связаны соотношениями (ограничениями)

 

(23)

 

среди которых количество m ограничений-равенств меньше числа n переменных, а количество l и r ограничений-неравенств может быть произвольным.

Для нахождения значений {x₁,x₂,…,x_n}=Х, необходимо доставляющих экстремумы функции f(X), можно воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа:

1. Ограничения-неравенства g(X)³0 приводятся к виду j(Х)£0, где j(Х) = - g(X).
2. Полученные ограничения-неравенства

 

(24)

 

в свою очередь приводятся к ограничениям-равенствам путем введения l+r дополнительных переменных

 

(24)

 

В результате задача поиска условного экстремума примет канонический вид:

 

(25)

 

в котором соотношение m+l+r < n+l+r указывает на возможность получения множества допустимых решений, а значит, и нахождения среди них тех, которые доставляют экстремум f(X).

3. Составляется функция Лагранжа:

 

Ф(x1,…,xn,l1,…,lm+l+r) = f(x1,x2,…,xn)+l1q1+l2q2+…+lm+l+rqm+l+r ,

(26)

 

в которой дополнительные переменные {l₁,…,l_m+l+r}=L называются неопределенными множителями Лагранжа.

Для составленной функции  Лагранжа можно ставить задачу нахождения безусловного экстремума

 

Ф(Х,L) ® extr,

(27)

 

результат решения которой  будет совпадать с искомым решением исходной задачи нахождения условного экстремума.

4. Для функции Ф(Х,L) составляются необходимые условия существования экстремума:

 

ÑФ(Х,L)=0

(28)

 

Или

 

(29)

 

5.  Полученную систему уравнений ÑФ(Х,L)=0 решают, и в результате решения находят значения

 

,

(30)

 

удовлетворяющие необходимым  условиям существования экстремума.

6. Для решения вопроса о том, существует ли в найденных точках максимумы или минимумы следует воспользоваться достаточными условиями существования экстремумов, которые для гладких функций Ф(×) формулируются следующим образом:

если в некоторой  точке  матрица вторых производных положительно определена, то в анализируемой точке лежит минимум функции f(Х);

если  отрицательно определена - максимум.

Если Ф(Х,L) негладкая, то можно использовать достаточные условия вида, например, для максимума:

 

Ф(Х,L*) £ Ф(Х*,L*) = Ф(Х*,L),

(31)

 

однако проверка этих условий при большом числе переменных трудоемко, и при решении практических задач вопрос о наличии минимума или максимума решается на основании дополнительных соображений, вытекающих из содержания задачи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 Смысл множителей Лагранжа

 

 

При решении задачи Лагранжа мы интересовались значениями х₁,…,х_n; кроме того, нас могло интересовать экстремальное значение целевой функции f(X). Но в процессе решения попутно было определено значение еще одной величины – множителя Лагранжа.