Тригонометрические уравнения в школьном курсе алгебры

Ответ: х_n = 2πn,  n Î Z,       х_k = (– 1)^k× + πk,  k Î Z.

№174(г).

сos 3x + сos x = 4сos 2x,

2сos × сos = 4сos 2x,

 сos 2x × сos x  – 2сos 2x = 0,

сos 2x(сos x  – 2) = 0,

сos 2x = 0          или        сos x – 2 = 0,

2х = 2πn,  n Î Z               сos x = 2,

       х = πn,  n Î Z                  корней нет, т.к. 2 Ï [– 1; 1].

Ответ:       х = πn,  n Î Z

 

Итак, я рассмотрела  тригонометрические уравнения, предлагаемые в п.9 и п.11 учебника «Алгебра и начала анализа для10-11 классов» под редакцией А. Н. Колмогорова. Эти уравнения я решала в 10 классе.

Но глава V. «Задачи на повторение» содержит п.13 «Тригонометрические уравнения и неравенства». Проведу классификацию уравнений, предлагаемых здесь.

 

2.5 Задачи  на повторение

 

Сведение к:

а) простейшим уравнениям: №153(б, в, г), 156(б), 157(а).

б) квадратным: №152(а, в), 154(а, б, г), 156(в), 157(в, г).

в) уравнениям, решаемым разложением на множители: №153(а), 154(б, в, г), 155, 156(а, г), 157(б, г).

г) однородным: №152(б, г), 153(а), 157(б).

Замечу, что к ряду уравнений применим не один метод, а  несколько. Например, решая уравнение из №153(а), сначала идёт разложение на множители, а затем одно из полученных уравнений решается как однородное.

№154(б): на множители –  как квадратное.

№154(г): на множители –  как квадратное.

№157(б): на множители –  как однородное.

№157(г): на множители –  как квадратное.

 

№157(б).

tg х – sin x = 2sin²,                       ОДЗ: х ≠ + πm, m Î Z.

 – sin x = 1 – cos x,

sin x – sin x × cos x = cos x – cos² x,

(sin x – cos x) – cos x × (sin x – cos x) = 0,

(sin x – cos x) × (1 – cos x) = 0,

sin x – cos x = 0                или                 1 – cos x = 0,

tg х – 1 = 0                                                cos x  = 1,

tg х = 1                                                      x_k = 2πk, k Î Z.

х_n = + πn, n Î Z.

Ответ: х_n = + πn, n Î Z,   x_k = 2πk, k Î Z.

                                                     

3. Тригонометрические уравнения на экзаменах

3.1 Специфика  выпускного экзамена за курс  средней полной школы

 

Письменный экзамен  по алгебре и началам анализа является обязательным для всех выпускников. Он проходит в форме контрольной работы, содержащей 10 заданий. Экзаменационная работа по курсу «Алгебра и начала анализа» проводится по «Сборнику заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике и алгебре и началам анализа за курс средней школы» (Авторы: Дорофеев Г. В., Муравин Г. К., Седова Е. А.) и состоит из трёх частей.

Первая часть экзамена (задания 1 – 5) включает пять заданий, которые помещены в разделе 1. Всего в сборнике 96 таких выборов. Уровень сложности этих заданий определяется «Требованиями к математической подготовке учащихся», предусмотренными программой.

Вторую часть экзамена составляют задания, помещённые в разделах 4 (задания 6, 7) и 5 (задание 8) сборника. Это традиционные задания, предлагаемые на экзамене.

Третья часть экзамена (задания 9, 10) состоит из заданий, подобных тем, которые используются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения. Они находятся в разделе 6 сборника. Решение этих задач не требует ни дополнительных навыков, ни дополнительных идей по сравнению с задачами, обычно предлагающимися в школьных учебниках.  

 

3.2 Тригонометрические  уравнения на выпускном экзамене 

3.2.1 Тригонометрические уравнения на обязательном уровне обучения

 

Анализируя задания, предлагаемые на экзамене, я заметила, что тригонометрические уравнения предлагаются в 74 из 96 наборов первой части. Они указаны в №3.

По типу это уравнения  различные: приводятся к простейшим, решаются разложением на множители, неполные квадратные тригонометрические уравнения. Много уравнений таких, где необходимо применить формулы приведения. Но и предлагаются такие уравнения, когда нужно не просто их решить, а изо всех корней отобрать те, которые принадлежат указанному промежутку. Кстати, таких уравнений в школьном курсе нет.

Приведу пример решения  такого упражнения.

Вариант 7, №3.

Найдите все решения уравнения (sin x + cos x)² = 1 + sin x cos x, принадлежащие отрезку [0; 2π].

Используем формулу  сокращённого умножения.

sin² x + 2sin x cos x  + cos² x = 1 + sin x cos x,

1 + 2sin x cos x –  1 – sin x cos x = 0,

sin x cos x = 0,

sin x = 0             или            cos x = 0,

х_n = πn, n Î Z                       x_k = 

Теперь произведём отбор  корней, принадлежащих указанному промежутку. существует несколько способов.

I способ (непосредственная подстановка целых значений в общую формулу корней):

1) х_n = πn, n Î Z                      

    n = 0,  х = 0 Î [0; 2π];

    n = 1,  х = π Î [0; 2π];

    n = 2,  х = 2π Î [0; 2π];

    n = 3,  х = 3π Ï [0; 2π];

    n = – 1,  х = – π Ï [0; 2π].

2) x_k = 

    k = 0,  х = Î [0; 2π];

    k = 1,  х = Î [0; 2π];

    k = 2,  х = Ï [0; 2π];

    k = – 1,  х = – Ï [0; 2π].

Ответ: 0; ; π; ; 2π.

II способ (решение двойного неравенства для определения целых значений):

1) 0  £  π n  £  2π,

     0  £  n  £  2.

Значит, находим корни  уравнения при n = 0; 1; 2. (Я их нашла в I способе).

2) 0  £  £  2π,

    –  £  πk  £ ,

    –  £  k  £  .

Итак, k = 0; 1. Корни, соответствующие этим значениям k, я нашла выше.

III способ. Здесь используются графики тригонометрических функций или единичную окружность; для этого находить общую серию решений в данном случае совсем необязательно. Но необходимо помнить, что: sin α = у; сos α = х.

1) sin x = 0.            

 

 

 

 

 

 

 

2) cos x = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2.2 Тригонометрические уравнения из раздела 4

 

Раздел 4 сборника состоит  из нескольких пунктов, одним из которых  является «Тригонометрия». Этот пункт включает в себя как преобразование тригонометрических выражений, так и решение уравнений. Среди предложенных уравнений 12 номеров включают отбор корней в соответствии указанному промежутку.

1. Уравнения, решаемые как квадратные относительно одной тригонометрической функции: №4.13; 4.14; 4.15; 4.16; 4.17; 4.18; 4.19; 4.20; 4.21; 4.22; 4.23; 4.24; 4.25; 4.26.  Но не каждое из указанных уравнений сразу сводится к решению квадратных. Для решения некоторых из них нужно применить сначала формулы тригонометрии: основное тригонометрическое тождество, формулы понижения степени.
2. Уравнения, решаемые разложением на множители: №4.27; 4.28; 4.29; 4.30; 4.31; 4.32; 4.33; 4.34.
3. Однородные тригонометрические уравнения и уравнения, сводящиеся к ним: №4.35; 4.36; 4.37; 4.38.
4. Уравнения, решаемые с использованием основного свойства пропорции: №4.39; 4.40; 4.41; 4.42.

Хочется заметить, что  решая эти уравнения, мы в итоге приходим к решению однородных уравнений первой степени. Приведу пример решения такого уравнения.

№4.41. 

Найдите все решения уравнения  , принадлежащие отрезку                 [– π; π].

Применив основное свойство пропорции, получим:

3(2sin х – сos x) = 1(5sin х – 4сos x),

6sin х – 3сos x – 5sin х + 4сos x = 0,

sin х + сos x = 0. Разделим это уравнение на сos x.

tg x + 1 = 0,

tg x = – 1,

х = –  + πn, n Î Z.

Решения этого уравнения, принадлежащие указанному промежутку, найду с помощью тригонометрического круга:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: ;  .

 

3.2.3 Тригонометрические  уравнения повышенной сложности

 

I. Раздел 5:

1) №5.1; 5.2; 5.3; 5.4; 5.9; 5.11 – уравнения, решаемые как квадратные относительно одной из тригонометрических функций, с применение формул понижения степени.

2) №5.10; 5.12 – уравнения, решаемые разложением на множители с применением формул тригонометрии.

3) №5.13; 5.14 – однородные уравнения 2-ой степени.

4) №5.5; 5.6; 5.7; 5.8 – уравнения,  решаемые с применением свойства  ограниченности тригонометрических  функций. Примечательно то, что  таких уравнений в школьном  курсе алгебры не предлагается вообще.

№5.6.

Решите  уравнение сos x = х² + 1.

сos x £ 1 при всех значениях х.

х² + 1 ≥ 1 при всех значениях х.

Тогда данное уравнение  имеет решение только при выполнении двух условий:

сos x = 1 и х² + 1 = 1, т.е.

                 х = 0.

Ответ: х = 0.

II. Раздел 6:

Рассматривая тригонометрические уравнения из этого раздела, я  заметила, что большая часть уравнений относится к тем, которые решаются а) разложением на множители: №6.23; 6.25; 6.26; 6.27; 6.28; 6.31; 6.32; 6.33; 6.34; 6.35; 6.36; 6.37; 6.38; 6.40; 6.43; 6.44; 6.45; 6.46; 6.47; 6.48; 6.51; 6.52; 6.54; 6.60; 6.61; 6.62; 6.63; 6.65; 6.67; 6.68; 6.74; 6.75; 6.81; 6.82.

Далее по количеству следуют б) уравнения, сводящиеся к квадратным: №6.24; 6.39; 6.41; 6.43; 6.44; 6.53; 6.55; 6.56; 6.57; 6.58; 6.59; 6.64; 6.69; 6.70; 6.71; 6.72; 6.77; 6.78; 6.79; 6.80.

Кроме этого есть уравнения, которые после преобразований с  применением соответствующих формул тригонометрии сводятся к в) простейшим: №6.29; 6.48; 6.50; 6.66; 6.76.

В этом разделе всего лишь три уравнения, которые решаются как г) однородные: №6.42; 6.46; 6.65.

С решением таких уравнений  мы сталкиваемся и на уроках алгебры, поэтому я не привожу решение  таких уравнений, о них говорилось выше.

Здесь же есть ещё и  уравнения, которые решаются совершенно незнакомым мне методом – д) методом  вспомогательного угла: №6.46; 6.65; 6.73; 6.74; 6.75.

В чём суть этого метода?

Рассмотрим уравнение  вида Аsin х + Всos x = С, где А, В, С – некоторые числа и                        А×В ≠ 0. Так как А² + В² > 0, то  разделив обе части данного уравнения на число , перепишем уравнение в виде аsin х + всos x = с, где ,       

Так как а² + в² = 1, то можно подобрать такой угол α, что а = sin α и в = сos α. Тогда уравнение аsin х + всos x = с можно записать в виде сos x сos α + sin х  sin α = с, или в виде сos (x – α) = с.

Если подобрать такой  угол β, что а = сos β и в = sin β, то уравнение аsin х + всos x = с можно записать в виде sin (х + β) = с.

Таким образом, решение  данного уравнения сводится к  решению простейшего уравнения.

Решу этим методом  №6.74.

sin 2х + 2sin² х – 1 = 2сos x,

sin 2х + 2 × –  1 = 2сos x,

sin 2х + 1 – сos 2x – 1 = 2сos x,

sin 2х – сos 2x = 2сos x.

Разделим все члены  уравнения на число  . Получим:

sin 2х – сos 2x = сos x,

– (сos 2x – sin 2х) = сos x,

– (сos сos 2x – sin sin 2х) = сos x,

– сos (2x + ) = сos x,

сos (2x + ) + сos x = 0,

2сos ( + )сos ( + ) = 0,

сos ( + ) = 0                       или                       сos ( + ) = 0,

+ = + πn, n Î Z                                        + = + πk, k Î Z,

=   + πn, n Î Z                                               = + πk, k Î Z,

x_n =                                                x_k =

Ответ: x_n = ,      x_k =

Хочется ещё раз отметить, что при решении этого уравнения использовался не только метод вспомогательного угла, но и метод разложения на множители.

В этом разделе предлагаются также е) уравнения, решаемые методом оценки обеих частей: №6.83; 6.84; 6.85; 6.86; 6.87; 6.88 и два ж) иррациональных тригонометрических уравнения: №6.77; 6.78.

№6.83.

sin х = х² + 2х + 2.

В правой части данного  уравнения выделим квадрат суммы, получим:

sin х = (х + 1)² + 1.

Оценим обе части  этого уравнения:

sin х £ 1 и (х + 1)² + 1 ≥ 1.

Чтобы данное уравнение имело решение необходимо выполнение двух условий:

sin х = 1 и (х + 1)² + 1 = 1.

Решаем второе уравнение: х + 1 = 0,

                                              х = – 1.

Это значение х не является решением первого уравнения sin х = 1. Значит, данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

№6.77.