Тригонометрические уравнения в школьном курсе алгебры

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ  ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 20»

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ  ПО  АЛГЕБРЕ  И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА

 

 

Тригонометрические уравнения 

в школьном курсе 

алгебры

 

 

Ф.И.О. учащегося   Клинцова Елизавета

 Класс   11А

Руководитель Козак Татьяна Ивановна,

учитель математики I категории

 

 

 

 

 

 

 

 

пгт. Прогресс

2007 год

Содержание 

 

	Введение	…..	3
1.	История тригонометрии	…..	4
	1.1 История тригонометрии  как науки	…..	4
	1.2 Тригонометрия как учебный предмет	…..	5
	1.3 Тригонометрия в  школе до 1966 года	…..	6
	1.4 Тригонометрия в  школе после 1966 года	…..	7
	1.5 тригонометрия в  современной школе	…..	7
2.	Тригонометрические уравнения  в школьном курсе алгебры	…..	9
	2.1 Простейшие тригонометрические уравнения	…..	9
	2.2 Тригонометрические  уравнения, сводящиеся к квадратным	…..	12
	2.3 Однородные уравнения	…..	14
	2.4 Уравнения, решаемые  разложением на множители	…..	16
	2.5 Задачи на повторение	…..	17
3.	Тригонометрические уравнения на экзаменах	…..	18
	3.1 Специфика выпускного  экзамена за курс средней полной  школы	…..	18
	3.2 Тригонометрические  уравнения на выпускном экзамене	…..	18
	3.2.1 Тригонометрические  уравнения на обязательном уровне  обучения	…..	18
	3.2.2 Тригонометрические уравнения из раздела 4	…..	20
	3.2.3 Тригонометрические  уравнения повышенной сложности	…..	21
	Заключение	…..	25
	Используемая литература	…..	26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, – что следуя этому методу, мы достигнем цели.

Лейбниц

Введение 

 

Тригонометрия, как и  любая научная дисциплина, возникла из потребностей практической деятельности человека. Тригонометрия изучает важный класс функций – так называемых тригонометрических, а также их применение в геометрии. Само название "тригонометрия" греческого происхождения, обозначающие "измерение треугольника": τρіγωνоν (тригонон) – треугольник, μετρειω (метрейн) – измерение, показывает что этот раздел математики связан с задачами решения треугольников, т. е. с задачами нахождения одних элементов треугольника по другим его известным элементам. Исторически тригонометрия и возникла из таких задач, но ими далеко не исчерпывается широкое применение тригонометрических функций в самых различных разделах математики, естествознания и техники.

В школьном курсе математики знакомство с тригонометрией начинается в 8 классе на уроках геометрии, когда  вводится понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника. Затем идёт расширение этого вопроса, и мы уже знакомимся с понятием синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла. Рассматриваются теоремы синуса и косинуса, позволяющие решать треугольники.

На уроках алгебры  в 9 классе помимо этих понятий мы рассматриваем ряд формул, позволяющих преобразовывать тригонометрические выражения; находить их значения; вычислять значения тригонометрических функций по заданному значению одной из функций и другие вопросы, связанные с тригонометрией.

В курсе алгебры и  начала анализа в 10 классе начинается изучение темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств». На уроках мы рассмотрели приёмы решения тригонометрических уравнений и неравенств, но их оказалось немного. Я задумалась над тем, а есть ли другие приёмы решения тригонометрических уравнений. И выбирая в 11 классе экзамен по выбору, я решила исследовать этот вопрос и попытаться выяснить: что же предлагает (по типам) школьный курс алгебры и начал анализа, выпускной экзамен за курс средней полной школы.

 

Итак, цель моей работы:

• систематизировать, обобщить, расширить знания и умения, связанные с решением тригонометрических уравнений.

Задачи:

• повторить решение простейших тригонометрических уравнений;
• провести классификацию тригонометрических уравнений, предлагаемых в школьном курсе алгебры и начал анализа;
• рассмотреть тригонометрические уравнения, предлагаемые на выпускном экзамене.

Используемы методы:

• научный (изучение литературы);
• исследовательский.

 

1. История тригонометрии

1.1 История тригонометрии как науки

     

Зарождение тригонометрии  относится к глубокой древности. Еще за долго до новой эры вавилонские  ученые умели предсказывать солнечные  и лунные затмения. Это позволяет сделать вывод о том, что им были известны некоторые простейшие сведения из тригонометрии. Постепенно в геометрии и астрономии установились понятия синуса, косинуса, тангенса угла.

Одним из основоположников тригонометрии  считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во II в. до н. э. Гиппарх  является автором первых тригонометрических таблиц. Эти таблицы до нас не дошли, но они вошли (в усовершенствованном виде) в сочинения "великое построение" (Альмагест) знаменитого александрийского астронома Клавдия Птолемея жившего во второй половине II в. до н. э.

Эти таблицы являются таблицами значений удвоенного синуса половины соответствующего центрального угла. В них были даны значения хорд для всех углов (через каждые пол градуса) от 0° до 180°. Однако надо иметь в виду, что в древней Греции тригонометрия не выделялась в самостоятельную науку" а считалась частью астрономии.

Важный вклад в развитие тригонометрии был внесен индийской математикой в период V-X1I в. н.э. Индийские математики стали вычислять не полную хорду, как это делали греки, а ее половину (то есть "линию синусов"). Линия синусов именовалась ими "архаджива", что буквально означало “половина тетивы лука”. Индийцы составили таблицу синусов, в которой были даны значения полухорд, измеренных частями (минутами) окружности для всех углов от 0° до 90° (через каждые 3°45'). Эти таблицы были точнее таблиц Птолемея.

 В Х1-ХШ вв. в трудах математиков  Средней Азии, Закавказья, Ближнего Востока и Индии началось формирование тригонометрии как отдельной  науки. И в дальнейшем потребности географии, геодезии, военного дела способствовали развитию тригонометрии как науки. Особенно усиленно тригонометрия развивалась в средние века, в первую очередь на юго-востоке: в Индии (Ариабхата, Брамагупта, Бхаскара), в Узбекистане, Азербайджане и Таджикистане (Насирад-Дин ат-Туси, ал-Каши, ал-Бируни), в Арабии (Ахмад, ибн-Абдаллах, ал-Баттани). Большая заслуга в формировании тригонометрии как отдельной науки принадлежит азербайджанскому ученому Насирад-Дину Мухаммаду ат-Туси (1201-1274), написавшему "Трактат о полном четырехугольнике". Работы ученых этого периода привели к выделению тригонометрии как нового самостоятельного раздела математики. Однако в их трудах еще не было необходимой символики, и поэтому развитие тригонометрии происходило медленно.

С XV в. и в Европе появляются работы, посвященные вопросам тригонометрии. Немецкий ученый Иоганн Мюллер (1436-1476 гг.), известный в науке под именем Региомонтан, издал труд "Пять книг о треугольниках всех видов", сыгравший важную роль в развитии тригонометрии. Здесь дано систематическое изложение тригонометрии как самостоятельной научной дисциплины. Региомонтан составил таблицы синусов с точностью уже до 10-7. В его таблицах радиус круга принимался за 107 вместо числа кратного 60, то есть по сути был совершен переход от шестидесятеричной системы измерения к десятичной. В 1696 г. появился труд Варфоломея Питискуса "Тригонометрия, или Краткий обзорный трактат о решении треугольников ".

В XV-XVII в. в Европе было составлено и издано несколько тригонометрических таблиц. Над их составлением работали крупнейшие ученые: Н. Коперник (1473-1543), И. Кеплер (1571-1630), Ф. Виет (1540-1603) и др. В России первые тригонометрические таблицы были изданы в 1703 г. при участии Л.Ф. Магницкого.

Таким образом, тригонометрия  возникла на геометрической основе, имела геометрический язык и применялась к решению геометрических задач. Развитие алгебраической символики позволило записывать тригонометрические соотношения в виде формул; применение отрицательных чисел позволило рассматривать направленные углы и дуги и распространить понятие тригонометрических линий (определенных отрезков в круге) для любых углов. В этот период создалась база для изучения тригонометрических функций как функций числового аргумента, основа аналитической теории тригонометрических (круговых) функций. Аналитический аппарат, позволяющий вычислять значения тригонометрических функций с любой степенью точности, был разработан Ньютоном.

Современный вид тригонометрия  получила в трудах великого ученого, члена Российской академии наук Л. Эйлера (1707-1783). Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как числа – величины тригонометрических линий в круге, радиус которого принят за единицу ("тригонометрический круг" или "единичная окружность"). Эйлер дал окончательное решение о знаках тригонометрических функций в разных четвертях, вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, установил несколько неизвестных до него формул, ввел единообразные обозначения. Именно в его трудах впервые встречаются записи sin α, cos α, tg α, ctg α. Он также открыл связь между тригонометрическими и показательной функциями от комплексного аргумента. На основании работ Л. Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.

Аналитическое (не зависящее от геометрии) построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, получило завершение в трудах великого русского ученого Н.И. Лобачевского.

 

1.2 Тригонометрия как учебный предмет

 

Тригонометрия состоит их двух различных частей:

а) первой (ее обычно называют гониометрией) – части математического анализа, где независимо от геометрических соображений аналитически раскрывается учение о трансцендентных тригонометрических функциях с их свойствами;

б) второй – собственно тригонометрии, где соединяются математический анализ и геометрия того или иного пространства.

В XVIII в., и особенно в XIX в., в связи с бурным развитием дифференциального исчисления, возникает новый предмет – математический анализ, и тригонометрия становится его составной частью. А учебный предмет тригонометрия с его первоначальной геометрической основой продолжает существовать самостоятельно. То есть возникают два направления учебного предмета тригонометрии: аналитическое решение треугольников и изучение свойств круговых (тригонометрических) функций.

В 1848 г. академик М.В. Остроградский предложил систему индуктивного изучения тригонометрии:

а) сначала (в младших классах) изучается  тригонометрия острого угла как  учение о вычислительных приемах  решения треугольников и фигур, сводимых к ним;

б) затем (в старших классах) обобщаются понятия тригонометрии острого  угла, то есть излагаются основы теории тригонометрических функций любого действительного аргумента.

С тех пор эта система успешно  применялась в отечественной  методике обучения тригонометрии в школе

 

1.3 Тригонометрия в школе до 1966 года

 

Основательное изучение тригонометрии начиналось очень рано, уже в 14 лет.

В Программе 1921 г. предписывалось во втором полугодии 7-го класса (2 часа в неделю) изучить раздел "Тригонометрия".

Изучение тригонометрического материала в семилетней школе было нацелено, прежде всего, на освоение практических методов решения определенных вычислительных геометрических задач, на расширение возможности вычисления элементов треугольников – на тригонометрию треугольника. При этом раннее введение тригонометрии треугольников существенно повышало требования к числовой культуре школьника и, прежде всего, требовало знания элементов теории приближений и измерений.

Несколько позже, уже  в программе средней десятилетней школы (например, в программе 1949 г.), начало изучения тригонометрии перемещается в курс геометрии 8-го класса, а в 7-м классе, также в курсе геометрии, обращается особое внимание (в пояснительной записке замечено даже "в особенности в сельских школах") на необходимость проведения измерительных работ на местности: провешивание линий, промер линий, проведение перпендикуляров эккером, измерение углов, определение расстояний и высот. Тем самым, с одной стороны, серьезно усиливался прикладной характер изучаемого в массовой школе математического материала, а с другой – создавалась хорошая опора для изучения формального материала курса тригонометрии.