Способы решения квадратных уравнений

Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа.

                             

                                    

                              математика

 

                  Автор: 

Реутова Екатерина Викторовна, 11 кл.

 

                                Руководитель:

                                                               Патрикеева Галина Анатольевна,

                                          учитель математики

 

 

 

 

 

 

с.Копьево, 2007

Содержание.

 

I. История развития квадратных уравнений ……………………….2

 

  1. Квадратные уравнения в  Древнем Вавилоне………………………..2

  2. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения…………...2

  3. Квадратные уравнения в Индии……………………………………...3

  4. Квадратные уравнения у ал- Хорезми ………………………………4

  5. Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв………………..........5

  6. О теореме Виета ………………………………………………………6

 

II. Способы решения квадратных уравнений ……………………….7

1. Способ…………………………………………………………………7
2. Способ…………………………………………………………………7
3. Способ…………………………………………………………………7
4. Способ………………………………………………………………....9
5. Способ………………………………………………………………....9
6. Способ………………………………………………………………...10
7. Способ………………………………………………………………...12
8. Способ………………………………………………………………...13
9. Способ………………………………………………………………...15
10. Способ………………………………………………………………...16

 

III. Заключение…………………………………………………..............18

 

 Литература……………………………………………………………….19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

История развития квадратных уравнений.

1. Квадратные  уравнения в Древнем Вавилоне.

 

       Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей   земельных участков и с земляными   работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около  2000 лет до н. э.  вавилоняне.

Применяя современную  алгебраическую  запись,  можно  сказать, что  в  их клинописных  текстах встречаются, кроме неполных,  и такие, например, полные квадратные уравнения:

 

X² + X = ¾;  X² - X = 14,5

    

  Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

       Несмотря  на высокий уровень развития  алгебры в Вавилоне, в клинописных  текстах отсутствуют понятие  отрицательного числа  и общие  методы решения квадратных уравнений.

 

2. Как составлял  и решал Диофант квадратные  уравнения.

        В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

       При  составлении уравнений Диофант  для упрощения решения умело  выбирает неизвестные.

        Вот, к примеру, одна из его  задач.

 

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

        Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 - х. Разность между ними 2х.

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 - х) = 96

или же:

100 - х² = 96

                                                х² - 4 = 0                                             (1)

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

        Если мы решим эту задачу, выбирая  в качестве неизвестного одно  из искомых чисел, то мы придем  к решению уравнения

 

у(20 - у) = 96,

                               у² - 20у + 96 = 0.                            (2)

        Ясно, что, выбирая в качестве  неизвестного полуразность искомых  чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

 

3. Квадратные уравнения в Индии.

       Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

                  

 ах² + bх = с, а > 0.                                  (1)

       В  уравнении (1) коэфиценты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

       В  Древней Индии были распространены  публичные соревнования в решении  трудных задач. В одной из  старинных индийских книг говорится  по поводу таких  соревнований  следующее: «Как солнце блеском  своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

      Вот  одна из задач знаменитого  индийского математика XII в. Бхаскары.

 

 

 

 

Задача 13.

«Обезьянок резвых стая                        А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась.              Стали прыгать, повисая…

Их в  квадрате часть восьмая                 Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась.                         Ты скажи мне, в этой стае?»

 

Решение Бхаскары свидетельствует  о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).                                 

       Соответствующее  задаче 13 уравнение:

(x/8)² + 12 = x

Бхаскара пишет под  видом:

х² - 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32², получая затем:

 

х² - 64х + 32² = -768 + 1024,

(х - 32)² = 256,

х - 32 = ± 16,

х₁ = 16,  х₂ = 48.

 

 

4. Квадратные  уравнения у ал - Хорезми.

      В алгебраическом  трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

 1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах² + с = bх.

                           2) «Квадраты равны числу», т.е.  ах² = с.

                          3) «Корни равны числу», т.е.  ах = с.

          4) «Квадраты и числа равны корням», т.е.  ах² + с = bх.

     5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах² + bx = с.

        6) «Корни и числа равны квадратам», т.е.  bx + с = ах². 

       Для ал - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал - джабр и ал - мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида

ал - Хорезми,  как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому,  что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

       

Приведем пример:

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень»

                       (подразумевается корень уравнения х² + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь  5,  умножишь  5  само  на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

        Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

 

 

5. Квадратные уравнения  в Европе XIII - XVII вв.

       

        Формулы решения квадратных уравнений  по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.  Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII.

        Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

х² + bx = с,

при всевозможных комбинациях  знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

       Вывод  формулы решения квадратного  уравнения в общем виде имеется  у Виета, однако Виет признавал  только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

 

6. О теореме  Виета.

 

       Теорема,  выражающая связь между коэффициентами  квадратного уравнения и его  корнями, носящая имя Виета,  была им сформулирована впервые  в 1591 г. следующим образом: «Если B + D, умноженное на A - A², равно BD, то A равно В и равно D».

       Чтобы  понять Виета, следует вспомнить,  что А, как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х), гласные же В,D - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

(а + b)х - х² = ab,

т.е.

х² - (а + b)х + аb = 0,

то

х₁ = а,  х₂ = b.

        Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

 

 

 

Итак:  Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.

        В школьном курсе математики  изучаются формулы корней квадратных  уравнений, с помощью которых  можно решать любые квадратные  уравнения. Однако имеются и  другие способы решения квадратных  уравнений, которые позволяют  очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. Подробно в своей работе я разобрала каждый из них.

 

 

1. СПОСОБ:  Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х² + 10х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители:

х² + 10х - 24 = х² + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

    Следовательно,  уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х  - 2) = 0

    Так как  произведение равно нулю, то, по  крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х² + 10х - 24 = 0.

 

2. СПОСОБ:   Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х² + 6х - 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем  выражение х² + 6х в следующем виде:

 

х² + 6х = х² + 2• х • 3.

В полученном выражении  первое слагаемое - квадрат числа  х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3², так как

х² + 2• х • 3 + 3² = (х + 3)².

Преобразуем теперь левую  часть уравнения

х² + 6х - 7 = 0,