Системы счисления

Введение

 

Система счисления – способ представления любого числа с помощью цифр.

 

Системы счисления

Непозиционные –           

Каждый  символ 
сохраняет свой значение  
независимо от местоположения

Пример:  римская система

Недостаток – большое 
количество знаков и  
сложность выполнения 
арифметических операций.

Пример.

 

 

 

 

 

 

 

L – 50; C – 100,

D – 500; M - 1000

CCCLXVII = 267

MCMXCVIII = 1998

 

 

 

Основание системы  счисления – количество различных цифр, употребляемых в позиционной системе 
Любое число N в позиционной системе счисления с основанием  p может ыть представлено в виде: 
- развёрнутая форма записи числа

 

Пример.

Числа принято представлять в виде последовательности цифр

N = a_na_n-1…a₁a₀a_-1a_-2

Из истории систем счисления:

Когда-то римляне завоевали многие страны и присоединили их к своей империи. Со всех этих стран они взимали  громадные налоги и, конечно, пользовались при этом своими обозначениями чисел. Так что пришлось жителям этих стран учить римскую нумерацию, посылая все проклятия на головы поработителей. И даже после того, как рухнула Римская империя, в деловых бумагах Западной Европы применялась эта неудобная нумерация. Римскими цифрами иногда пользуются и сегодня: например, ими часто нумеруют главы в книгах. Однако вычислять с помощью римских цифр так же неудобно, как и с помощью египетских.

Если  вы увидите на старинном доме сделанную  римскими цифрами надпись MDCCCXLIV, то легко определите, что он построен в 1844 году. А если на афише кинотеатра будет написано "Пираты XX века", то вы не прочтете это "Пираты ха-ха века", а поймете, что речь идет о пиратах двадцатого века

Казалось  бы, удобные цифры должны были изобрести  древние греки, которые создали  математику как науку. Однако вычислениями греки не увлекались и поэтому ограничились просто тем, что обозначили числа буквами своего алфавита.

В старину на Руси широко применялсь система счисления, отдалённо  напоминающая римскую. С её помощью  сборщики податей заполняли квитанции  об уплате. Для записи чисел употребляли следующие знаки:  
звезда – тысяча рублей, квадат – 10 рублей, X – один рубль, I – одна копейка

Записать с помощью старинной  русско системы счисления сумму   
3452 рубля 43  копейки

 

Вопрос: Какая сумма записана с помощью старинной русской системы счисления?

                                             

                                                                       XXX I I I I I I I I I I       I  I  I 

Те очень удобные числа, которыми мы пользуемся сегодня, изобрели индийцы: они так любили вычислять, что даже математические книги писали в стихах! (Представляете себе, насколько легче было бы выучить таблицу умножения, если бы она была записана стихами?) Индийцы догадались, что значение цифры может зависеть от ее места в записи числа, именно благодаря этому оказалось возможным записывать все числа с помощью всего десяти цифр.

Индийские цифры так сильно упростили вычисления, что со временем завоевали весь мир. В Европу эти цифры попали благодаря  арабам, поэтому индийские цифры  называют арабскими.

До  этого в Европе пользовались римскими цифрами. О том, насколько трудны были вычисления с этими цифрами, говорят слова одного европейского ученого, который жил около 700 года: “В мире есть много трудных вещей, но нет ничего труднее четырех  действий арифметики!”

Арабские  цифры стали известны европейцам в X веке. Благодаря тесным связям христианской Барселоны (Барселонское графство) и мусульманской Кóрдовы (Кордовский халифат), Сильвестр II (папа римский с 999 по 1003 годы) имел возможность доступа к научной информации, которой не имел никто в тогдашней Европе. В частности, он одним из первых среди европейцев познакомился с арабскими цифрами, понял удобство их употребления по сравнению с римскими цифрами и начал пропагандировать их внедрение в европейскую науку.

Кириллическая система счисления — система счисления Древней Руси, основанная на алфавитной записи чисел с использованием кириллицы или глаголицы.

В основных чертах повторяет греческую систему счисления.

Использовалась в России до начала XVIII века, когда была заменена на систему счисления, основанную на арабских цифрах.

В настоящее время  используется в книгах на церковнославянском языке.

 

Существовали системы исчисления и с другими основаниями.

В древнем Китае использовали 5 ричную систему, у ацтеков и майя –  
20-ричную.

В Древнем Вавилоне, например, применялась шестидесятеричная система счисления. Остатки ее мы находим в сохранившемся до сих пор делении часа или градуса на 60 минут, а минуты - на 60 секунд, круг на 6 раз по 60 градусов.

Широкое распространение имела в древности и двенадцатеричная система, происхождение которой, вероятно, связано, как и десятичной системы, со счетом на пальцах: за единицу счета принимались фаланги (отдельные суставы) четырех пальцев одной руки, которые при счете перебирались большим пальцем той же руки. Остатки этой системы счисления сохранились и до наших дней и в устной речи, и в обычаях. Хорошо известно, например, название единицы второго разряда - числа 12 - "дюжина". Сохранился обычай считать многие предметы не десятками а дюжинами, например столовые приборы в сервизе или стулья в мебельном гарнитуре 

Самой молодой системой счисления по праву  можно считать двоичную. Эта система  обладает рядом качеств, делающей ее очень выгодной для использования  в вычислительных машинах и в  современных компьютерах.

Официальное рождение двоичной арифметики связанно с именем Г.В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в  которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными  числами.  
Двоичная система проста, так как для представления информации в ней используются всего два состояния или две цифры. Такое представление информации принято называть двоичным кодированием. Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов. Звук над поверхностью воды распространялся на достаточно большое расстояние, таким образом "работал" полинезийский телеграф. В телеграфе в Х1Х-ХХ веках информация передавалась с помощью азбуки Морзе - в виде последовательности из точек и тире. Часто мы договариваемся открывать входную дверь только по "условному сигналу" - комбинации коротких и длинных звонков.

Системы счисления, применяемые в  ЭВМ

 

В ЭВМ применяют позиционные системы счисления: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную.

 

Двоичная система счисления лежит в аппаратной основе ЭВМ.

Почему компьютеры пользуются двоичной системой?

Любая информация в ЭВМ  представляетя в виде двоичных кодов. Отдельные элементы двоиного кода, имеющие значение 0 или 1, называются битами или разрядами. Двоичный код, состоящий из восьми разрядов, называется байтом.

Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

• для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной; реализовывать элементы с десятью чётко различными состояниями сложно. Исторически вычислительная техника строится на базе двоичных цифровых устройств: логических элементов, триггеров, счётчиков.
• представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
• возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
• двоичная арифметика намного проще десятичной.

Отдельные элементы двоичного  кода, имеющие значения 0 или 1, называются битами или разрядами.

 

Двоичный код, состоящий из 8 разрядов, называется байтом.

 

Начинающий программист думает, что в килобайте 1000 байт. 
А законченный программист думает, что в километре 1024 метра.

 

Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

 

Информация, представленная последовательностью нулей и единиц, является дискретной. 
Компьютер - это универсальный преобразователь дискретной информации, обеспечивающий также ее передачу, хранение и воспроизведение. 
В восьми разрядах, например, можно записать 2^8 = 256 различных целых двоичных чисел - от 00000000 до 11111111, что вполне достаточно для того, чтобы дать уникальное (неповторяющееся) 8-битовое обозначение каждой заглавной и строчной букве русского и английского алфавитов, всем арабским цифрам, знакам препинания, некоторым другим необходимым символам, а также служебным кодам для передачи информации (то есть всем символам, которые мы видим на клавиатуре компьютера). Именно этой достаточностью объясняется, почему единицей измерения компьютерной информации служит восьмибитовое число - байт.

Двоичная система, удобная  для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной  записи.

 

Поэтому в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы.

Числа в этих системах читаются почти так же легко, как  десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа 2).

Таблица кодирования символов 8-битовыми числами называется кодовой таблицей символов ASCII (American Standard Code for Information Interchange - американский стандартный код обмена информацией). Первая ее половина (коды 0-127), содержащая знаки препинания, арабские цифры и символы английского алфа-вита, является общепринятой во всем мире. Коды 128-255 (расширенные ASCII-коды) используются для националь-ных алфавитов и символов для рисования линий (псевдографики).

Восьмеричная система счисления употребляется в ЭВМ как вспомогательная для записи информации в сокращённом виде. Ранее широко использовалась в программировании и компъютерной документации, в настоящее время почти полностью вытеснена 16-ричной 
Для представления чисел используются цифры 0-7. 
Для представления одной цифры восьмеричной системы используются три двоичных разряда (триада)

 

Шестнадцатеричная система счисления широко используется в низкоуровневом программировании и вообще в компьютерной документации, поскольку в современных компьютерах минимальной единицей памяти является 8-битный байт, значения которого удобно записывать двумя шестнадцатеричными цифрами. Для обозначения адресов расположения данных в памяти компьютера и других целей удобно пользоваться именно шестнадцатеричным представлением чисел. 
Первые 10 цифр этой системы обозначаются цифрами 0-9, остальные – латинскими буквами 10- A, 11 – B, 12 – C, 13 – D, 14 – E, 15 – F 
Для представления одной цифры используется 4 двоичных разряда (тетрада)

Двоичная (Основа ние 2)	Восьмеричная (основание 8)		Десятичная (основание 10)	Шестнадцатиричная (основание 16)
		триады			тетрады
0	0	000	0	0	0000
1	1	001	1	1	0001
	2	010	2	2	0010
	3	011	3	3	0011
	4	100	4	4	0100
	5	101	5	5	0101
	6	110	6	6	0110
	7	111	7	7	0111
			8	8	1000
			9	9	1001
				A	1010
				B	1011
				C	1100
				D	1101
				E	1110
				F	1111

 

 

1. Перевод целых чисел из какой-либо системы счисления в десятичную 
   Составляется степенной ряд с основанием той системы, из которой число переводится 
   

 

a)

c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь, после того, как  мы  научились переводить числа в десятичную систему счисления, станет сразу понятным стихотворение