Шпаргалка по "Высшей математике"

|ā|=√(x2+y2+z2) 2. произведение вектора на число.

λā={λх,λу,λz) 3. сумма векторов ā= (хуz)? b=(xyz)

a+b=(x1+x2; у1+у2; z1+z2) 4. разность векторов. a-b=(x1-x2; у1-у2; z1-z2)

 

16. скалярное  произвед.векторов.

скалярное произведение 2-х векторов наз. произведение длин векторов на cos угла между ними. (а*в)= |а|*|в|*cos(а^в)

теорема. необходим. и достаточ. условие ортогональности 2х векторов. 2 вектора ортогональны тогдакогда их скалярное произвед. =0.

Св-ва. 1. коммутативность а*в=В*а 2. числовой мн-тель можно выносить. (λа)в= λ(а*в)   

3. дистрибутивность относительно  суммы. а(в+с)=а*в+а*с 

Выражение скалярного произведения через координаты векторов.

а=(х,у,z)   b=(x,y,z)

a = x1i+y1j+z1k   b= x2i+y2j+z2k  

a*b = (x1i+y1j+z1k) * (x2i+y2j+z2k) = раскрыть.

алгебраическое значение проекции вектора а на вектор в вдоль прямой перпендик. очевидно равно. |Пр.вА|=|а|cos (а^в)

                                               анологично                       

                                              |Пр.аВ|=|в|cos (а^в)

 

 

 

таким образом скалярное  произведение

 а*в = |а|cos (а^в) = |в|cos (а^в)

 

18. векторное  произвед.

векторным произведением 2-х векторов наз. вектор, который  удовлетворяет следующ. условию, его  длина равна произведению длин векторов, на sin угла между ними.

данный вектор ортогонален  обоим векторам.

он направлен таким  образом, что если смотреть в его  направление, то вращение вектора от 1 ко 2 происходит по часовой стрелке. обознач. АхВ

теорема: необходимое и достаточ. условия коллиниарности 2-х векторов (2 вектора коллониарны тогда и только тогда, когда векторное произведение равно 0.

Св-ва: 1. антикомуникативность АхВ= -В*А

2. числовой множитель  можно выносить за знак векторного  произведения. (λхА)хВ=λ(АхВ)

3. дистрибутивность относительно  сумму. Ах(В+С)=АхВ+АхС

вырожение векторного произведения через координаты. пусть даны 2 вектора  А={xzz}B{xzz}

разложим эти векторы  через координаты

a = x1i+y1j+z1k   b= x2i+y2j+z2k  

вычислим векторное  произведение.

АхВ= (x1i+y1j+z1k)х(x2i+y2j+z2k) = раскрыть. = вставить как вычис. вект. произведен. матрицу =

= х1у1k-x1z2j-y1x2k+y1z2i+z1x2j-z1y2i= (y1z2)i+(z1x2-x1z2)j+(x1y2-y1x2)k.

Геометрическим смыслом  векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах

S=АхВ sinα

 

19. Смешанное произведение.

смеш.произ. наз число  равное скалярн. произвед. на векторное.

Смешан. произвед. 3-ъ векторов наз. число вычисляемое по формуле.

АхВ*С = |матрица|

геометрич. смысл. модуль векторного произведения равен  S пар-ма построенного на данных векторах. S=АхВ sinα

SΔ= половине (модуля) – векторного произведения. SΔ = ½ |АВхВС|

смешан. произвед. с точности до знака равно Vпаралепипеда, постоен. на данных векторах. V=Sосн*h

необходимое и достаточ. условие комплонарн 3-х векторов.

3 вектора компл. тогда и только тогад, когда их смешанное произведение равно 0. Св-ва: 1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. (а х b )•с=(b х с)•а=(с х а)•b. 2. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых вух векторов-сомножителей, т. е. abc =-acb , abc =-bac , abc =-cba . 3. смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю огда и только тогда, когда они компланарны.  Если abc =0 , то а, b и с— компланарны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20. метод координат на плоскости

Вычисление SΔ через координаты его вершины: сначала вычисл. длины его сторон а затем площадь по формуле Герона

 А(х1;у1)  В(х2;у2)   С (х3;у3)

с =√(у1-у2)^2+(х1-х2)^2    а =√(у2-у3)^2+(х2-х3)^2

в = √(у1-у3)^2+(х1-х3)^2    р = а+в+с/2

SΔ= р√(р-а)(р-в)(р-с)

                                

                                Вычисление длины отрезка:

                                 Пусть отрезок задан 2 точками

                                 в плоскости координат, когда

                                 можно найди его длину с

                                 помощью теоремы Пифагора.

                                Пусть заданы координаты

концов отрезка А(х1,у1) и В(х2,у2). Начертим отрезок в сист. координат

Опустить ┴ из концов отрезка на оси х и у. отрезки у1-у2; х1-х2 яв-ются проекциями исходного отрезка на оси координат.

Если выполнить ||перенос, отрезков проекций, то получ. прямоуг  Δ. Катетами этого треугольника будут  являться перенесенные проекции, а  гипотенузой - сам отрезок AB.  Длины проекций легко вычисляются. Длина проекции на ось          Y будет равна y2-y1, а длина проекции на ось       X - x2-x1. Тогда по теореме Пифагора |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)², где |AB| - длина отрезка.

Деление отрезков в данном соотношении.

Даны точки 

A₁(x₁;y₁) и A₂(x₂;y₂). Требуется найти координаты точки K(x;y), делящей отрезок A₁A₂, в данном отношении.

А1К= m= λ

КА1    n

Координаты  точки делящей отрезок в данном соотношении находятся по формулам:

точка K делит отрезок A₁A₂ в отношении m:n"означает, что отношение m:n равно отношению отрезков A₁K:KA₂, взятых именно в этом порядке, а не в обратном.

Если отношение m:n имеет отрицательный знак — значит точка Kделит отрезок A₁A₂ внешним образом, т.е. находится вне этого отрезка и лежит на его продолжении.

 

21. Прямая линия  на плоскости. Ур-е прямой у  угловым коэффиц. частные случаи.

  Рассмотр. произвольную  прямую у (не || оси у) пусть  известен угол образования прямой  с осью х

и величина отрезка отсекаемого  прямой на оси у.

рассм. произвольную точку М с координ. (х;у), лежащую на данной прямой

если прямая ||оси у, то ее ур-е будет х=а

данное ур-е линейно  относительно х,у   т.об. любая  прямая может быть задана линейным ур-нием и наоборот любое линейное ур-ние определяет прямую на плоскости.

Общее ур-ние прямой ах+вх+с=0

Данное ур-ние. если коэфф-ент  В≠0, то данное ур-ние может быть приведено к ур-нию с угловым  коэффициентом   k= -А/В     в = -С/В

Частные случаи: 1. с=0 (в этом случае данное ур-ние определяет прямую проходящую через центр координат. 2. в=0 (ур-е определяет прямую ||     оси у) х=-С/А 3. а=0 (ур-е определяет прямую ||оси х)

 

22. Ур-е прямой проходящей  через заданную точку на заданном направлении.

рассмотрим точку. Пусть  дана точка М1

необходимо провести прямую которая образует заданный угол α с осью х.

Рассм. точку М принадлеж. прямой, для которой выполняется  равенство 

 tg α = (y-y1)/(х-х1)

tg α = К – угловой коэффициент.     

у-у1=К(х-х1) – это ур-е  прямой проходящей через точку М  в заданном направлении.

 

23. Ур-е прямой проходящ. через 2 точки

 

пусть заданы 2 точки М1(х,у1) и М2 (х2,у2), чтобы найти угол К = tg α = (y2-у1)/(х2-х1)

у-у1/у2-у1= х-х1/х2-х1

 

 

24. Ур-е прямой  в отрезках. Общее ур-е прямой.

если не один из коэф-ентов  в общем ур-е не равен 0, то это ур-е может быть приведено к виду х/а+у/в=1

а=- С/А    в=-С/В

 

 

 

 

 

 

 

k-ты а и b имеют смысл на отрезках отсекаемых данной прямой на отрезках х,у –соответственно.

об-ее ур-е прямой ах+ву+с=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25. Угол между  прямыми, условия || и ┴ прямых.

пусть L1 заданно ур-ем А1х+В1у+С1=0;              L2   А2х+В2у+С2=0

под углом между прямыми  будем понимать угол φ на который  необходимо повернуть L1 против часовой стрелки во круг центра их пересечения причем проекц. L1 совпадет с пр. L2.

обозн. угол между прямой φ

φ=φ2 - φ1

tg φ = tg (φ2 – φ1) = (tgφ2-tgφ1)/(1+tgφ1*tgφ2)

tg φ = k2-k1\ 1+k1k2

если прямые заданны  общим ур-ем, то

tg φ = (A1B2-A1B1)\(A1A2+B1B2)

1) если прямые ||, то

φ = 0 →tg φ = 0.

k1=k2; А1В2=А2В1

необходимое и достаточ. условие ||прямых.

2) прямые ┴.

φ=90º →tgφ = ∞

k1*k2=-1     A1A2 = -B1B2

необходим. и достаточ. условие ┴прямых.

 

 

26. Расстояние  от точки до прямой.

рассм. произв. т.М (не пересек. прям)

 

d= |OB-OA|      d-расстояние

|OB|=|ПРовОМ| = |x1cosα+y1sinα)

d=x1cosα+y1sinα-p

чтобы найти расстояние от точки до прямой необходимо получить норм. ур-е этой прямой и вместо переменных х и у подставить координаты точек.

Велечина υ (дельта)

υ=x1cosα+y1sinα-p

отклонение точки от прямой м. б. как + так  и – знак этой величины хара-ет взаимное расположение точки и центра координат относительно прямой. Если υ(дельта) положительна, то точка и центр координат располагаются по разные стороны, если отриц. то на одной.

 

27. плоскость.  Различ. ур-я плоскости. Норм. вектор  плоскости. 

Рассм. произвольн. плоскость в декардовой ск. Пусть известна точка М0 и некоторый вектор n нормальный с данной плоскостью.

Для получения ур-я  данной плоскости рассмотрим. еще  одну точку М(х;у;z) точка принадл. плоскости тогда и только тогда, когда он ортогонален М0М┴n

MoM={x-хо;у-уо;z-zo}

MoM*n=0

A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0

ур-е плоскости проходящее через заданную точку и нормальной заданнму вектору. Это ур-е линейное относительно переменной х1у1z1→ любая плоскоть в пространстве будет задана линейной. И наоборот, любое линейн ур-е в пространстве.

Ах+Ву+Сz+D- люб. ур-е плоскости в простран.

D=Axo-Byo-Czo→ таким обр. АВС(коэф). в общем ур-е в плоскости – это координ. вектора нормального к данной плоскости.

Нормальное ур-е в  плоскости.

В общем ур-и плоскости  длина норм вектора произвольна (но≠0)

Если данный вектор нормировать (поделить его на длину) → получим  норм, ур-е плоскости

Xcosα+Ycosβ+Zcosγ-P=o

cosα = A*M

cosβ = B*M

cos γ = C*M

P = -D *M

M = -+ 1/ √А2+В2+С2

М-нормирующ. множитель. Его знак яв-ется противоположным

Р- расстоян. от нач. координат до α

cos α, cosβ, cosγ – направляющ. косинусы норм. вектора.

 

28.Растояние  от плоскости до точки.

Что бы найти расстояние до плоскости от точки М1(х1у1z1) необходимо получить норм. ур-е плоскости и вместо х,у,z  поставить координаты точки. d= Xcosα+Ycosβ+Zcosγ-P=S

величина стоящая под  знаком модуля наз. отклонением точки  от плоскости (м.б + -)

Ее знак показывает взаимное расположение точки и центра координт. относительно α.

если плоскость задан. общим ур-нием то расстояние можно  выислить.

d= |Ax1+By1+Cz1+D|\√A2+B2+C2