Шпаргалка по "Высшей математике"

1. Понятие матриц. Виды матрицы. Действия над  матрицами.

Матрицей м на н называется прямоугольная  система чисел содержащая м строк  и н  столбцов.

 

 

 

 

 

 

Числа составляющие матрицу наз. элементами матрицы и обознач. лат. буквами.

Виды: 1. матрица содержащая одну строку называется вектор строка, содерж. один столбец, вектор столбец; 2. матрица у которой число строк равно числу столбцов наз. кв. матрицей;              3. элементы которые соединяют верхний левый и нижний правый наз. элементами главной диагонали; 4. элементы кот. соединяют нижний левый и верхний правый наз. элементами побочной диагонали; 5. квадратная матрица наз. треугольной, если все элементы ниже главной диагонали равны 0; 6. если все не диагональные элементы матрицы равны 0 то матрица называется диагональной; 7. диагональная матрица все диагональные элементы кот. равны 1, называется единичной (E,I); 8. нулевой наз. матрицу если все элементы матрицы равны 0.

Действия над  матрицами: 1. умножение матрица на число (произ. матрицы А на число λ наз. матрица В= λА, b11= λа11). 2. сложение матриц. суммой матриц одного размера А и В наз. матрица С того же размера кот. выч. по формуле С11=А11+В11. 3. вычитание матриц (разница 2-х матриц одного размера наз. матрица С вычисляемая по формуле. С=А-В=А+(-1)В;          4. произведением 2-х матриц А размером М на К и В размером К на Н называется матрица С размером М на Н. что бы найти элементы матрица С в i-строке и j-столбце, необходимо элементы i-строки 1 матрицы умножить на элементы j-столбца 2 матрицы. cij=a1ibi1+a2ib2j+…+aikbkj= ∑KS=1aisbsj. умножить матрицу можно тогда, когда кол-во столбцов одной матрицы равно кол-ву строк другой). 5. транспонирование (перемена строк и столбцов местами).

 

2. Определит.  кв. матриц. Определен. и вычислен. определит. 2-го и 3-го порядка.

определит. – это число, характеризующ. кв. матрицу.

1. определителем кв. матриц. первого порядка А=(а11) , называется элемент а11 Δ1=|А|=а11.

2. определит. кв. матрицы второго порядка, наз. число которое вычисляется по формуле |А|=|матрица|=а11а22-а12а21.

3. определит. кв. матрицы 3-го порядка наз число выч. по формуле. |А|=|1 -2.

 

 

 

3. Миноры и  алгебраич. дополнения. Разложение  определит. по элементам

1) рассмотрим кв. матрицу А размером NxN

 

 

 

 

 

 

 

 

из общего числа n2 элементов этой матрицы мы можем сделать выборки, содержащие n элементов, т.об. что бы в нее входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца (а1j1, a2j2,…, anjn)

упорядочены по номерам строк.

определит. кв. матрицы NxN наз. сумма произвед. таких выборок взятых с определенным знаком.

          n!

  |А|= ∑(а1j1* a2j2*…* anjn)(-1)R(J)

NxN  (J)

всего в этой сумме n! слогаемых.

n! – наз. произвед. всех чисел от 1 до n, при этом n! =1.

n!=n*(n-1)!

знак слагаемых зависит от конкретной выборки.

2) минором Мij элемента aij, матрицы n-го порядка наз. определит. матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Ex: минором элемента a12 матрицы А третьего порядка будет:

 

 

 

каждая матрица n-го порядка имеет n2 миноров (n-1)-го порядка.

3) Алгебраич. дополнением Aij элемента aij матрицы n-го порядка наз. его минор, взяты со знаком (-1)i+J

Aij = (-1)i+j Mij

т.е алгебраич. дополнение совпадает  с минором, когда сумма номеров  строки и столбца (i+j) –четное число, отличается от минора знаком, когда (i+j) – нечетное число.

4) Важное значение для вычесления определителя имеет теорема Лапласа .

т. Лапласа: определит. кв. матрицы равен  сумме произведен. элементов любой  строки (столбца) на их алгебраич. дополнения.

                              

                               - столбца

 

                                    -разложение по элементам

                                     i-той строки

разложим по элементам первой строки.

 

                              а11А11+а12А12+а13А13

 

теорема Лапласа позволяет  свести вычисление опред. n-го порядка к вычислению более простых определит. (n-1)-го порядка

 

 

 

 

 

4.Св-ва определит.

1. если какая либо  строка (столбец) матрицы состоит  из 0-ей, то ее определит. равен  0.

2. Если все элементы  какой либо строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то ее определитель умножиться на это число λ.(пусть определит. исходной матрицы равен Δ. Эля определенности первую строку матрицы умножим на λ, получим новый определитель Δ΄, который разложим по элементам первой строки:  Δ= (матрица) = λа11А11+ λа12А12+…+ λа1nА1n = λ(а11А11+ а12А12+…+ а1nА1n) = λΔ

3. При транспонировании  матрицы ее определитель не  изменяется: |А΄| = |А|

4. при перестановке  двух строк (столбцов) матрицы  ее определитель меняет знак  на противоположный.

5. Если квадратная  матрица содержит 2 одинаковые строки (столбца), то ее определитель  равен 0.

6. Если элементы двух  строк (столбцов) матрицы пропорциональны,  то ее определитель равен 0.

7. Если к элементам  какой либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определит. матрицы не измениться.

 n

∑ aij Akj= 0    i≠k

J=1

сумма элементов какой-либо строки (столбца) на алгебраич. дополнения другой строки (столбца) равна 0.

8. определитель произведения 2-х кв. матриц равен произведению их определителей: |С|=|А|*|В|, где С = А*В; А и В – матрицы n-го порядка.

Св-ва позволяют упростить  процесс вычисления высокого порядка.

 

5. Обратная  матрица. Определен. и вычислен. обратной матрицы. 

матрица А-1 –наз. обратной по отношению к кв. матрице А, если при умножении этой атрицы на данную получиться еденич. матрица.

А-1*А=Е

обратная. матрица существует только для квадратной.

Теорема (необходимое  и достаточное условие сущест. матрицы). – обратная матрица сущ. тогда и только тогда когда определитель матрицы отличен от 0.

пусть обрат. матрица  А-1

А-1= 1/|А|*Ã-присоед. матрица

присоединенной наз. матрица, элементы которой равны алгебраич. дополнениям матрицы транспонирования данной.

aij = Aij i-j-целые числа.

тогда элементы произведения матриц Ã*А=В определяются по правилу умножения матриц.

         n            n                 |A|        i=j

bij = ∑ãisasj=∑Asiasj = {     при

        s=1        s=1               0         i≠j

Поэтому матрица В  является диагональной, элементы ее главной диагонали равны определителю исходной матрицы:

       |  |А| 0… 0 |

В = | 0  |А| … 0|

       |  ……… |

       |0…    0 |А||

Алгоритм вычисления обратной матрицы.

1. находим определитель  матрицы, если он равен 0, то  обрат. матрицы не сущ.

2. Транспонируем матрицу  А

3. находи алгебраич.  дополнения получ. матрицы.

4. вычисляем обратную  матрицу по формуле *

5. проверяем правильность  используя определение обрат.  матрицы.

 

6. Ранг матрицы.  Определение ранга матриц. Элементарные  преобразования матриц. Вычисление ранга матриц. 

рангом матрицы А  называется наивысший порядок отличных от 0 миноров этой матрицы.

rang A, или r (A)

Преобразов. 1. отбрасывание нулевой  строки (столбца); 2. умножение всех элементов  строки (столбца) матрицы на число, неравное 0; 3. изменение порядка строк (столбцов) матрицы.     4. прибавление к каждому элементу одной строки столбца соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;  5. транспонирование матрицы

Вычисление: Чтобы вычислить ранг матрицы А необходимо с помощью элементарных преобразований, преобразовать её к такому виду, в котором все элементы, располагающиеся ниже главной диагонали, были равны нулю.

 

7. Система n ли-х ур-й с n неизвестными. Реш-е и использ. систем n линейных ур-й с n неизвест. по правилу Крамера.

кол-во ур-ний = кол-ву неизвестных.

в этом случае матрица  А яв-ется квадратной, ее определитель яв-ется определит. системы.

Рас-м решение сист. двух ур-й с двумя переменными.

Для решения этой системы 

умножим обе части  ур-я на а22

 

 

 

                                          1

 

Δ, получается из определ. сист. из замены 1-го столбца на столбец  линейной сист.

х1 = Δ1/ Δ, х2 = Δ2/ Δ

Теорема Крамера. Пусть  Δ – определ. мытрицы сист. А, а  Δj – определит. матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если Δ≠0, то сист. имеет единст. решение, по формуле.

xj = Δj/ Δ   j =1n

сист. n-линейного ур-я яв-ется определен. тогда и только тогда когда ее определит. отличен от 0.

2 сист. алгебраич. ур-й  наз. эквивалентными если они  имеют одинаковый набор решений.

 

 

 

8. Произольные  сист. линейных ур-й. Основн. понятия и определ.  метод Гаусса. Решение и иследов. сист. лин. ур-й. Теор. Кронекера- Капели.

Слу имеет вид:

а11х1+а12х2+…а1nxn=в1

а21х1+а22х2+…а2nxn=в2

………………………….

аmx1+am2x…amnxn=вn

aij i=1,2… m; j=1,2…n – коэффициенты.

вi (i=1,2,…m) – свободные числа

решение слу наз. упорядочен. совокупность n чисел, кот. при подстоновке в систему (I) соответсвенно х1=с1, х2=с2…. хn=сn, обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

слу наз. совместной, если она имеет хотя бы одно решение; несовместной, если она не имеет ни одного решения.

слу наз.определенной если она имеет одно единствен. решение. слу наз. неопределенной , если она  имеет более одного решения.

Метод гаусса. основан  на приведении исходн. сист. ур-й эквивалент. сист. треугольного вида с помощью  элементарных преобразований.

(матрица слу, то что вверху)

-умножим 1-е ур-е  на (-а21/а11) и прибавить его ко  втормому, во второй строке вместо 1-го слагаемого получим 0.

(тоже самое с третьим)

можно привести к 0 начиная  со 2.

аналог. действия можно  сделать исключить 2-е слагаемое  из всех ур-й начиная с 3-го.

привидение сист. к  треуг. виду называется примым ходом  метода гаусса.

после того как система  приведена в треуг. виду можно  последовательно начиная с последнего найти все неизвестные.

Кранекера-Капелли.

Для того чтобы система, линейных ур-ний была совместной, необходимо и достаточно, что бы ранг матрицы сист. был равен рангу расширенной матрицы

 

11. Геометрич.  вектор.

вектор – это направленный отрезок, который может перемещаться || самому себе; изображается →направленный от начала вектора к конце вектора.

длиной (модулем вектора) наз. число равное длине отрезка  изабраж. вектора

2 вектора наз. равными  если они соноправлены и имеют  одну длину. 

если начало и конец  совпадают то этот вектор наз. нулевым.

всякий нулевой вектор имеет нулевую длину

только нулевой вектор имеет нулевую длину

направление нулевого вектора  считается произвольным.

векторы наз. коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на || прямых.

векторы наз. комплонарными если они  лежат в одной плоскости или  в || плоскостях.

2 вектора наз. ортогональными если угол между ними 90.

Линейные операции: 1. произведением  вектора ā на число λ наз. новый  вектор длина кот. |λR|=|λ||ā| и направление которого совпадает с направлением ā, если λ положительная и противоположна, если λ отрицательа  |λR|=|λ||ā|

при умножении любого вектора на 0→получается нулевой вектор. 2. суммой 2-х векторов наз 3 вектор начало которого совпадает с началом 1-го вектора  а конец с концом 2-го вектора  при условии, что нач. 2-го вектора  совмещено с концом 1-го. С=А+В

разностью 2-х векторов наз. сумма  первого и 2-го  умноженного на (-1) с=А-В

1. коммутативность а+в=В+А

2. дистубутивность уножения на  число относительно сложения. λ(а+в)=λа+λв

3. дистрибутивность числовых сомножителей (λ+в)а = λа+ва

5. а-в= -(в-а)

 

13. Коллинеарные векторы. 

векторы наз. коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на || прямых.

необходимое и достаточ. условия коллиниарности 2-х векторов (2 вектора коллониарны тогда и  только тогда, когда векторное произведение равно 0.

достаточно задать 2 вектора а остальные выразить

 

14 комплонарные вектора.

векторы наз. комплонарными если они  лежат в одной плоскости или  в || плоскостях

необходимое и достаточ. условие  комплонарн 3-х векторов.

3 вектора компл. тогда  и только тогад, когда их смешанное произведение равно 0.

достаточно задать 2 вектора  а остальные выразить

Теорема о расположении вектора по 3 некомпланарным векторам. Теорема: всякий  произвол в-ор d можно разложить по 3-ём некомплан векторам a,b,c.

Док-во: Пусть a,b,c-3 некомплан век-а, d – произвольный век-р. Возьмем в пространстве точку О. Отложим от нее ОА=а, ОВ=b,ОС=с, точки А,В,С не леж в одной плоскости.(С не принадл ОАВ). Пусть век-р d также не принадл ОАВ, тогда из В провед прям OD. Затем прям DD1 || OC, затем D1D2||OB, затем соед O и D2. Таким образом OD=OD2+D2D1+D1D(по построению).Т.к. OD2 коллин ОА, D2D1 коллин ОВ, D1D коллин ОС, отсюда следует что, OD2=xa, D2D1=yb, D1D=zc.

Отсюда OD=xa+yb+zc(*) ч.т.д.Единственность: предпол, что сущ x1,y1,z1 такие, что OD=x1a+y1b+z1c(**).Приравняем (*) и (**)è(x-x1)a+(y-y1)b+(z-z1)c=0(0 это нулевой вектор). Предположим, что x1не=x, т.е. x-x1не=0, тогда а= -((y-y1)b/(x-x1)  -  (z-z1)c/(x-x1)), отсюда следует, что a,b,c-комплан, а это противор условию.Аналогично доказывается и y1 и z1.Следовательно x=x1, y=y1,z=z1.

 

15.Координаты  вектора, действия с векторами  в координатах.

Рассмотр. ā, нач. кот. приведено  к началу сист. координ. тогда координаты конца этого вектора, наз. координатами данного вектора

ā = {х,у,z}

координаты вектора  однозначно его пределяют и наоборот каждый вектор имеет ед.координаты.

если вектор задан 2 точками  началом и концом то очевидно, что  координаты вектора вычисл. по формуле. ā= (х2-х1;у2-у1;z2-z1) А(хуz) B (xyz) ā=AB

Действия: 1. длина вектора а=(х,у, z)