Шпаргалка по "Теорія ймовірності"

Нормальний закон розподілу  задається щільністю  Параметри , які входять до виразу щільності розподілу, є відповідно математичним сподіванням та середнім квадратичним відхиленням випадкової величини. Графік щільності нормального розподілу має вигляд: Нормальний закон розподілу широко застосовується в математичній статистиці. Для обчислення ймовірності потрапляння випадкової величини, розподіленої нормально, на проміжок використовується функція Лапласа:

 

 

Часто застосовується також формула:

 

Правло трьох сигм: якщо закон  розподілу випадкової величини Х  невідомий, але , тоді можна припустити, що Х розподілена нормально.

 

35. Розподіли: хі-квадрат,  Стьюдента та логнормальний. Числові  характеристики

 Розглядаємо послідовність  попарно незалежних випадкових величин, які розподілені нормально з нульовими математичними сподіваннями і одиничними дисперсіями.

Якщо  то ця сума має розподіл з ступенями волі. Щільність розподілу Числові характеристики розподілу: До виразу щільності розподілу входить гамма-функція

Графік щільності розподілу  зображено на рис. 3.3.

 

Для розподілу  складено таблиці виду для кількості ступенів волі від 1 до 30. У таблицях для заданих значень імовірностей (здебільшого 0,9; 0,8; 0,7; 0,5; 0,3; 0,2; 0,1; 0,05; 0,02; 0,01; 0,005; 0,002; 0,001) вказано значення для відповідної кількості ступенів волі. Якщо кількість ступенів волі більша від 30, то розподіл мало відрізняється від нормального з відповідними математичним сподіванням і дисперсією.

M(X)=n. D(X)=2n.

Логарифмічний нормальний закон розподілу

 Нехай Y має закон розподілу,

- ∞<y<∞.

Необхідно знайти f(x), якщо Х=. Таким чином, Y  є функцією випадкового аргументу Х. Тоді  Оскільки 

Отже,

 

Закон розподілу випадкової величини Х із цією щільністю називають  логарифмічним нормальним

Розподіл Стьюдента з n cтупенями волі має випадкова величина де Х — нормально розподілена величина з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією, а . Випадкова величина не залежить від Х і має розподіл з n ступенями волі. Щільність розподілу Графік щільності розподілу Стьюдента за зовнішнім виглядом нагадує нормальні криві. Але вони значно повільніше спадають до осі t, якщо особливо за малих значень n

 

Складено таблиці розподілу  Стьюдента, здебільшого виду для кількості ступенів волі від 1 до 20. Якщо кількість ступенів волі більша, то можна застосовувати нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

M(Z)=0. .

 

36. Граничні теореми.  Закон великих чисел. Перша  і друга нерівності Чебишева. Теорема Чебишева.

Перша форма: якщо випадкова величина Х невід’ємна і , то

Друга форма: якщо для випадкової величини існують моменти першого та другого  порядку, то

Нехай задано послідовність випадкових величин:

 

Послідовність (1) задовольняє закон великих чисел, якщо

 

Окремі форми закону великих  чисел різняться обмеженнями, які накладаються на випадкові величини, що входять у послідовність (1).

Теорема Хінчина. Якщо випадкові величини у послідовності незалежні, однаково розподілені і мають скінченне математичне сподівання то

 

Теорема Чебишова. Якщо випадкові  величини у послідовності (1) незалежні, мають скінченні математичні сподівання і рівномірно обмежені дисперсії , то до послідовності (1) можна застосувати закон великих чисел.

Теорема Маркова. Нехай випадкові  величини в послідовності (1) мають скінченні і як завгодно залежні математичні сподівання. Тоді, якщо при то для послідовності (1) можна застосувати закон великих чисел.

Теорема Бернуллі. Нехай проводиться n незалежних повторних випробувань, у кожному з яких імовірність  настання події А дорівнює р. Тоді

 

де  — частота події А у даних випробуваннях.

Центральна гранична теорема.

Для послідовності випадкових величин 1) розглянемо:

 

Теорема 1. Якщо випадкові величини в послідовності (1) незалежні, однаково розподілені і для них існують моменти другого порядку, то

(2)

тобто граничним розподілом для  є нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

Теорема Ляпунова. Якщо для незалежних випадкових величин, які утворюють  послідовність (1), існують моменти третього порядку і виконується умова

 то для  виконується співвідношен- 
ня (2).

Наслідком розглянутих  теорем є інтегральна теорема Лапласа.

У схемі незалежних повторних випробувань

 

де  Це випливає з того, що частоту події можна подати як суму n випадкових величин — частот настання події в окремих випробуваннях. При достатньо великих значеннях n закон розподілу цієї суми близький до нормального.

Аналогічними міркуваннями для цієї схеми легко дістати  формулу:

 де m — частота події А у n випробуваннях.

Перша форма: якщо випадкова величина Х невід’ємна і , то

 Зауваження : існує друга форм, якщо для випадкової величини існують моменти першого та другого порядку, то

Нехай задано послідовність випадкових величин:

(1)

Послідовність (1) задовольняє закон великих чисел, якщо

 

Окремі форми закону великих  чисел різняться обмеженнями, які накладаються на випадкові величини, що входять у послідовність(1).

 

37. Предмет, методи і  завдання математичної статистики. Об`єм сукупності

Предмет математичної статистики полягає  в розробці методів збору та обробки  статистичних даних для одержання  наукових та практичних висновків.

Основні завдання, які розв`язує математична  статистика:

1. вказати способи збору та групування статистичних відомостей
2. визначити закон розподілу випадкової величини або системи випадкових величин за статистичними даними
3. визначити невідомі параметри розподілу
4. перевірити правдоподібність припущень про закон розподілу випадкової величини, про форму зв`язку між випадковими величинами, або про значення параметра, який оцінюють.

Можна сказати, що основна задача математичної статистики – розробка методів аналізу  статистичних даних в залежності від мети дослідження.

Методи математичної статистики ефективно  використовують при розв`язанні багатьох задач науки, організації технологічного процесу, планування, управління і ціноутворення.

Об`ємом сукупності називають кількість  об`єктів цієї сукупності.

 

38. Генеральна та вибіркові  сукупності. Статистичний розподіл  вибірки

Вибірковою сукупністю називають  сукупність випадково взятих об`єктів.

Генеральною називають сукупність об`єктів, з яких зроблено вибірку.

Статистичний розподіл вибірки  встановлює зв`язок між рядом варіант, що зростає або спадає, і відповідними частотами. Він може бути представлений  у вигляді таблиці.

 

39. Полігон частот і  відносних частот

Полігоном частот називають ламану, відрізки якої з`єднають точки 

 

Полігоном відносних частот (частостей) називають ламану, відрізки якої проходять  через точки 

Полігони частот та частостей є  аналогами щільності ймовірностей.

 

 

40. Гістограма частот  і відносних частот

Гістограмою частот називають ступінчасту  фігуру, яка складається з прямокутників. Основами яких є часткові інтервали  варіант довжиною , а висоти дорівнюють (щільність частоти).

Гістограмою відносних частот (частостей) називають ступінчасту фігуру, яка  складається з прямокутників, основою  яких є часткові інтервали варіант, а висоти дорівнюють відношенню (щільність частості)

Площа гістограми частот дорівнює об`єму  вибірки, а площа гістограми частостей  – одиниці.

  

Площа гістограми частот

Площа гістограми відносних частот

 

41. Емпірична функція  розподілу F*(x) та її властивості

Емпіричною функцією розподілу (функцією розподілу вибірки) називають фукцію F*(x), яка визначає для кожного  значення х  частість події X<x. Математично  це означення має вигляд: F*(x)=, де nx- кількість варіант, які менше від х, n – об`єм вибірки.

Емпірична функція має такі властивості:

1)

2) F*(x) – зростаюча функція

3)

 

42. Вибіркова середня  та її властивості. Степеневі  середні вибірки

Величину, яка визначається формулою

 

називають вибірковою середньою величиною  дискретного статистичного розподілу  вибірки.

Тут x_i — варіанта варіаційного ряду вибірки;

n_i — частота цієї варіанти;

n — обсяг вибірки ().

Якщо всі варіанти з’являються  у вибірці лише по одному разу, тобто n_i = 1, то

 

Основні властивості вибіркової середньої:

При множені усіх варіант вибірки  на однаковий множник вибіркова  середня також множиться на цей  множник 

Якщо додати (відняти) до всіх варіант  вибірки однакове число, то вибіркова  середня зростає (зменшується) на це число

 

43.Вибіркова дисперсія  та її властивості. Вибіркове середньоквадратичне відхилення

Для вимірювання розсіювання варіант  вибірки відносно вибирається дисперсія.

Дисперсія вибірки — це середнє  арифметичне квадратів відхилень  варіант відносно , яке обчислюється за формулою

 або

Виправлену вибіркову дисперсію  позначають , для n<30.

Властивості вибіркової диспесії:

1. дисперсія завжди невід`ємна раз
2. якшо всі варіанти збільшити (зменшити) на одне і те ж число, то дисперсія не зміниться
3. диспесія сталої дорівнює 0
4. якшо всі варіанти збільшити (зменшити) у одне і те ж саме число k раз, то диспесія збільшиться (зменшиться) в k^2

 середнє квадратичне відхилення  вибірки s_B. При обчисленні D_B відхилення підноситься до квадрата, а отже, змінюється одиниця виміру ознаки Х, тому на основі дисперсії вводиться середнє квадратичне відхилення

 

яке вимірює розсіювання варіант  вибірки відносно , але в тих самих одиницях, в яких вимірюється ознака Х;

 

44. Мода і медіана статистичного  розподілу вибірки, коефіцієнт  варіацій, варіаційний розмах.

мода (Mo^*). Модою дискретного статистичного розподілу вибірки називають варіанту, що має найбільшу частоту появи.

Мод може бути кілька. Коли дискретний статистичний розподіл має одну моду, то він називається одномодальним, коли має дві моди — двомодальним і т. д.;

 медіана (Me^*). Медіаною дискретного статистичного розподілу вибірки називають варіанту, яка поділяє варіаційний ряд на дві частини, рівні за кількістю варіант; Коефіцієнт варіації) — відносна величина, що служить для характеристики коливання (мінливості) ознаки. Являє собою відношення середнього квадратичного відхилення τ до середнього арифметичного Х, виражається у відсотках: ν = τ/Х^[1].Коефіцієнт варіації застосовується тоді, коли необхідно оцінити мінливість ознак об'єкта, які виражені в різних одиницях вимірювання^[2].Варіювання вважається слабким, якщо ν<10%, якщо ν від 11-25%, то середнім і значним при ν>25%.

Варіаційний розмах R — це різниця між максимальним і мінімальним значеннями ознаки: R = xmax – xmin. Він характеризує діапазон варіації, його розсіювання

 

45.Початкові та центральні  емпіричні моменти. Асиметрія  і ексцес статистичного розподілу  вибірки.

Вибірковим початковим емпіричним моментом порядку S статистичного розподілу  вибірки називається середнє  арифметичне значення степенів порядку S варіант x_i.

, , S=3….S

Вибірковим центральним емпіричним моментом порядку S статистичного розподілу вибірки називається середнє арифметичне значення степенів порядку S відхилень його варіант від середнього вибіркового значення

 

Центральний емпіричний момент 1-го порядку  дорівнює 0, другого – S^2

Коефіцієнтом асиметрії варіаційного ряду називається число, яке дорівнює відношенню центрального емпіричного  моменту 3-го порядку до куба середнього квадратичного відхилення. Якщо А=0, то розподіл варіант має симетричну форму

. Якшо асиметрія А>0 (A<0), то  говорять про додатню правосторонню  (від`ємну лівосторонню) асиметрію.