Шпаргалка по "Теорія ймовірності"

1. Випадкові події, їх класифікація, приклади. Класичне правило обчислення ймовірностей

Випадковою називають таку подію, яка при умовах, що розглядаються, може трапитися, а може й не трапитися. Випадкові події позначаються великими літерами латинського алфавіту. Наприклад, якщо кинути монету, то поява герба беде випадковою подією, тому що замість герба може з`явитися надпис.

Подія є неможливою тоді як дане явище є неможливим. Сума чисел, рівна 1 чи  12 при киданні двох кісток - події неможливі. Події рівноможливі, якщо шанси їхньої появи рівні. Поява чисел 1-6 для гральною кістки рівноможливо.

Дві несумісні  події, які утворюють повну групу, називаються протилежними. Дві події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не впливає і не виключає появу іншої. Сумісні події можуть реалізуватися одночасно, як, наприклад, поява будь-якого числа в одній кісткі не впливає на появу числа в іншій кістці. Події несумісні, тоді коли поява однієї з них виключає появу іншої. Приклад. Серед деталей в ящику є стандартні і нестандартні. Навмання беруть із ящика одну деталь. Подія А – взята стандартна деталь, подія В – взята нестандартна деталь. Ці події несумісні, тому що взята лише одна деталь, яка не може бути одночасно стандартною чи нестандартною.

Класичним правилом обчислення ймовірності випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій W: P(A)= m /n.

 

2. Елементарна подія. Простір елементарних подій, випробування, стохастичний експеримент. Приклади. Геометричне означення ймовірності.

Подія, що може відбутися внаслідок проведення однієї і лише однієї спроби (експерименту), називається простою (елементарною) випадковою подією. Наприклад, при киданні грального кубика можуть бути шість можливих подій. Множину усіх елементарних подій називають простором елементарних подій. Наприклад, при одноразовому киданні монети простір елементарних подій містить дві події, при дворазовому – 4.  Випробування — реальний або мислений експеримент (виконуваний за певної незмінної сукупності умов), результати якого піддаються спостереженню. Прикладами випробування є: виготовлення деталі або виробу, кидання монети або грального кубика, розігрування лотереї, проведення аукціону. Експеримент називається стохастичним, якщо його можна повторити необхідну кількість разів, і його результати кожного разу передбачити неможливо. Стохастичними експериментами можуть бути, наприклад, підкидання кубика, монетки, підрахунок кількості студентів що прийшли на лекцію, чи спроба підключення до інтернету (ви ніколи не можете бути впевненими що підключитись вдасться, поки не спробуєте).  Геометричне означення ймовірності: Якщо простір елементарних подій W можна подати у вигляді деякого геометричного образу, а множину елементарниx подій для події А — як частину цього геометричного образу, то ймовірність події А визначається як відношення мір цих множин:

 

 

3. Відносна частота, статистична ймовірність події, статистична модель стохастичного експерименту. Основні властивості ймовірності. Відносною частотою події А називають відношення числа випробувань, у яких подія А з`явилась, до числа фактично виконаних випробувань. Статистичною ймовірністю подій називають відносну частоту або число, близьке до неї.  Якщо подія достовірна, то її імовірність дорівнює 1, якщо неможлива, то 0, якщо випадкова, то її ймовірність знаходиться в межах від 0 до 1 – це і є основними властивостями імовірності

 

4. Комбінаторика. Основні правила  комбінаторики. Означення факторіала  і перестановок Комбінато́рика — розділ математики, присвячений розв'язанню задач вибору та розташування елементів деякої, зазвичай скінченної, множини відповідно до заданих правил. Кожне таке правило визначає спосіб побудови деякої конструкції із елементів вихідної множини, що зветься комбінаторною конфігурацією. Тому на меті комбінаторного аналізу стоїть дослідження комбінаторних конфігурацій, алгоритмів їх побудови, отпимізація таких алгоритмів, а також розв'язання задач переліку. Найпростішими прикладами комбінаторних конфігурацій є перестановки, розміщення, комбінація та розбиття. Двома основними правилами комбінаторики є: принцип суми. Якщо множина A містить m елементів, а множина B – n елементів, і ці множини не перетинаються, то AÈB містить m+n елементів. Принцип добутку. Якщо множина A містить m елементів, а множина B – n елементів, то A´B містить m×n елементів, тобто пар. Скорочення n!=1 · 2 · 3 · ... · (n-1) · n називається факторіалом числа n (читається n-факторіал). Сполуки з п-елементів, що відрізняються лише порядком елементів називаються перестановками цих елементів. Кількість перестановок цих елементів позначають Рп і знаходять за допомогою факторіала від п. 

 

5. Розміщення, комбінації  та їх властивості Розміщенням із n елементів по m (0 mn) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом: = n! /(n-m)! Комбінаціями з n елементів по m (0 mn) називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом: = n! / m!(n-m)! Основні властивості розміщень:

1) ;

2)

Властивості комбінацій: 
1)

2)

3)

4)

5)

 

6. Операції над подіями, приклади 1. Додавання. Сумою подій А і В називається така подія С=А+В (С=АÈВ), яка полягає у появі подій А або В або А та В. Операція АÈВ називається об’єднанням подій А і В

 

Наприклад, якщо подія А є влучення в ціль при першому пострілі, подія В – при другому, то подія С = А + В є влучення в ціль взагалі, байдуже, при якому пострілі – першому, другому або при обох разом.

 

2. Множення.

Добутком подій А і В називається така подія С=АВ (С=АÇВ), яка настає з одночасним настанням подій А і В.

Операція АÇВ називається перерізом подій А і В:

 

 

Наприклад, якщо подія А є влучення в ціль при першому пострілі, подія В – при другому, то подія С = АВ полягає в тому, що в цілі влучили при обох пострілах.

 

3. Віднімання.

Різницею подій А і В називається така подія С=А-В (С=А\В),  яка настає з настанням події А і одночасним настанням події В.

 

 

7. Ймовірність появ однієї  з двох несумісних подій. Узагальнення  і наслідки. Імовірність появи однієї з двух несумісних подій, байдуже якої, дорівнює сумі ймовірності цих подій

, якщо А та В несумісні (адитивність)

Наслідок 1. Якщо події А₁, А₂ , …, А_n є єдиноможливими і несумісними, то складна подія А, яка полягає в відбуванні А₁ чи А₂, чи … , чи А_n, є достовірною і тому Р(А)=1, тобто Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n)=1.

Наслідок 2. Подія , яка полягає в тому, що подія А не відбувається, називається пртилежною подією до А. Сума ймовірностей взаємно протилежних подій дорівнює одиниці: =1.

 

8. Ймовірність  появи однієї з двох сумісних  подій. Узагальнення теореми

 Додавання ймовірностей сумісних  подій. Ймовірність появи хоча  б однієї з двох сумісних  подій дорівнює сумі ймовірностей  цих подій без ймовірності  їх сумісної появи:

 

Узагальнення теореми (на випадок n=3 сумісних подій)

 

 

9. Незалежні події. Ймовірність  добутку двох незалежних подій.  Узагальнення теореми

Дві події називають незалежними, якщо ймовірність їхнього суміщення дорівнює добутку ймовірностей цих подій; у протилежному випадку події називають залежними.

Кілька подій називають попарно  незалежними, якщо кожні дві з них незалежні. Наприклад, події А, В, С попарно незалежні, якщо незалежні події А і В, А і С, В і С.

Декілька подій називають незалежними у сукупності (чи просто незалежними), якщо незалежні кожні дві з них і незалежна кожна подія і всі можливі добутки останніх. Наприклад, якщо події  ,  ,   незалежні в сукупності, то незалежні події   і  ,   і  ,   і  ;   і  ,  і  ,   і  . Зі сказаного випливає, що якщо події незалежні в сукупності, то умовна ймовірність появи будь-якої події з них, обчислена у припущенні, що наступили будь-які інші події з числа останніх, дорівнює її безумовній ймовірності.

Ймовірність спільної появи декількох  подій, незалежних у сукупності, дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

.

Доведення. Розглянемо три події: А, В і С. Поєднання подій А, В і С рівносильне поєднанню подій АВ і С, тому

.

Оскільки події А, В і С незалежні в сукупності, то незалежні, зокрема, події АВ і С, а також А і В. За  теоремою множення для двох незалежних подій маємо:

 i  .

Отже, остаточно одержимо

.

 

10. Залежні події.  Умовна ймовірність. Ймовірність  добутку двох подій. Узагальнення  теореми

Випадкові події А і  Б називають залежними, якщо імовірність  появи однієї з них залежить від  появи чи не появи другої події. Імовірність  події В, обчислена при умові  появи події А називають умовною  імовірністю події В і позначають Р(В!А) чи Ра.

Імовірність сумісної появи  двох випадкових подій А і В  дорівнює добутку імовірностей однієї з цих подій та умовної імовірності  другої події при умові, що перша  подія з`явилася. Р(А*В)=Р(А)*Ра(В)=Р(В)*Рв(А).

 

11.Теорема про  повну ймовірність

Наслідком двох основних теорем теорії ймовірностей -  теореми 
додавання  і  теореми  множення – є формула повної  ймовірності  і 
формула Байеса. 
Нехай подія А може відбутися тільки за умови настання однієї із несумісних подій (i = 1, 2,…, n), які утворюють повну групу. Тоді ймовірність події А подається формулою:

 

де  — імовірність події — умовні ймовірності настання події А.

Наведена залежність називається формулою повної ймовірності.

 

12. Формули Байєса

Подія А може відбутись одночасно  з деякою із подій  Відомі ймовірності подій та умовні ймовірності того, що подія А відбудеться. Відомо, що в результаті випробування подія А відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити ймовірності гіпотез Для цього застосовують формулу Баєса:

Ці формули допомагають переоцінювати  імовірності гіпотез, що важливо  при контролі і ревізіях.

 

13.Схема повторних незалежних  випробувань Бернуллі. Формула Бернуллі. Наслідки Якщо усі п випробувань проводити в однакових умовах і імовірність появи події А в усіх випробуванях однакова та не залежить від появи або не появи А в інших випробуваннях, то таку послідовність незалежних випробувань називають схемою бернулі. Формула Бернуллі. Ймовірність того, що в результаті n незалежних експериментів за схемою Бернуллі подія А з’явиться m раз, обчислюється за формулою: , де - число сполучень із n по m. Ймовірність того, що подія А з’явиться від m_i раз до m_j раз (), обчислюється за формулою:

Наслідок 1. Імовірність того, що подія А при проведенні n незалежних випробувань відбудеться не менше m1 разів і не більше m2 разів позначається Pn(m1 ≤ m ≤ m2) i обчислюється за формулою

де p Î [0;1] — ймовірність настання події А у кожному випробуванні.

Наслідок 2. Імовірність того, що подія А відбудеться хоча б один раз при проведенні n незалежних випробувань, позначається Pn(m ≥ 1) і обчислюється за формулою

 

Наслідок 3. Найімовірніше значення m0 кількості відбувань події А при проведенні n незалежних випробувань обчислюється за формулою

 

 

14. Локальна теорема Муавра-Лапласса. Локальна функція Лапласса, властивості  функції Локальна теорема Лапласа. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається такою наближеною залежністю:

 

- локальна функція Лапласса

Локальна теорема Лапласа дає  змогу обчислювати ймовірності  , якщо n > 10 i p > 0,1.

Властивості:

Функція лапласса ф(х) парна, тобто  ф(-х)=ф(х)

Функція ф(х) визначена для усіх хє(-&;+&)

ф(х)>0, коли х прямує до +-нескінченності

ф(х)макс=ф(0)=1/Корінь 2П

 

15. Інтегральна теорема  Муавра-Лапласса. Інтегральна функція  Лапласса, властивості функції.

Інтегральна теорема Лапласа. Імовірність  того, що подія А відбудеться від  до раз при проведенні n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А відбувається з імовірністю р, подається формулою:

 —функція Лапласа;

 

Значення функції Лапласа наводяться у спеціальних таблицях.

Властивості:

Інтегральна функція Лапласса є  непарною Ф(-х)=Ф(-х)

Ф(0)=0

Ф(х)=0.5 для х=>5

 

16.Теорема Пуассона. Поняття  найвірогіднішого числа, властивості

 

17. Означення випадкових  величин, дискретні і неперервні  випадкові величини. Закон розподілу  ВВ та многокутник розподілу.

Випадковою називається величина, яка може набувати різних числових значень. Строгіше означення випадкової величини пов’язане з поняттям простору елементарних подій. Нехай задано простір елементарних подій W. Однозначна числова функція яку задано на просторі елементарних подій, називається випадковою величиною.

Якщо простір W дискретний, то випадкова величина дискретна. Неперервному простору елементарних подій відповідає неперервна випадкова величина.

Співвідношення між значеннями випадкової величини і їхніми ймовірностями називається законом розподілу випадкової величини.