Решение задач оптимизации методов математического планирования эксперимента

 

 

 

 

Подсчитывается дисперсия в каждой горизонтальной строке матрицы по формуле:

;

 

 

Найдем дисперсию воспроизводимости  по формуле:

;

 

1.3 Проверка  адекватности модели

После вычисления коэффициентов  модели необходимо оценить ее пригодность. Такая проверка называется проверкой  адекватности модели.

Остаточная сумма квадратов, деленная на число степеней свободы, называется остаточной дисперсией, или дисперсией адекватности

Остаточная сумма квадратов (сумма квадратов невязок) представляет собой разность между предсказанным  значением, рассчитанным по полученному  уравнению регрессии, и полученным в результате эксперимента: .

 

 

Рассчитаем предсказанное значение параметра оптимизации:

 

55,48+1,3+2,1-1,2=57,68

55,48-1,3+2,1-1,2=55,08

55,48+1,3-2,1-1,2=53,48

55,48-1,3-2,1-1,2=50,88

55,48+1,3+2,1+1,2=60,08

55,48-1,3+2,1+1,2=57,48

55,48+1,3-2,1+1,2=55,88

55,48-1,3-2,1+1,2=53,28

 

(63,2- 57,68)²=30,47

(59,12-55,08)²=16,32

(36,3-53,48)²=295,15

(52,82-50,88)²=3,76

(56,4-60,08)²=13,54

(48,4-57,48)²=82,45

(68,32-55,88)²=154,75

(53,3- 53,28)²=0,0004

 

Число степеней свободы рассчитывается по формуле:

Подсчитаем значение дисперсии адекватности:

 

Для проверки гипотезы об адекватности можно использовать критерий Фишера.

модель не адекватна.

 

1.4 Проверка  значимости коэффициентов уравнения регрессии

Проверка значимости каждого коэффициента проводится независимо.

Ее можно осуществлять двумя равноценными способами: проверкой по t-критерию Стьюдента или построением доверительного интервала.

При использовании полного факторного эксперимента или регулярных дробных  реплик доверительные интервалы  для всех коэффициентов (в том числе и эффектов взаимодействия) равны друг другу.

 

 

Найдем доверительный интервал по формуле:

                        

Т.к. все критерия оказались >t_кр, это означает, что все коэффициенты значимы.

 

Тогда окончательное уравнение регрессии будет иметь следующий вид:

 

y=55,48-1,3x₁ -2,1x₂+1,2x₃+2,4x₁x₂-5,26x₂x₃+5,5x₁x₃-4,2x₁x₂x₃

 

В результате эксперимента получена модель, представляющая собой полином 1-ой степени. Это модель представляет собой математическую формулу отображения зависимости параметра оптимизации от воздействия факторов. Чем больше абсолютная величина коэффициента, тем сильнее влияние фактора на параметр оптимизации.

Анализируя окончательное  уравнение регрессии можно сказать, что наибольшее влияния оказывает параметр х₂х₃ =6,26 для увеличения параметра оптимизации значение фактора нужно уменьшить. Так как все эффекты взаимодействия значимы, то мы можем воздействовать с их помощью на параметр оптимизации. Для увеличения параметра оптимизации требуется одновременно одновременное увеличение или уменьшение факторов х₁, х₂, х₃, х₁₂, х₁₃, х₂₃, х_123.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Латинские квадраты

 

Полноблочные планы  позволяют уменьшить остаточные ошибки эксперимента за счет исключения изменчивости, обусловленной экспериментальными объектами. Данные планы используют принцип группирования в блоки. Наиболее простой разновидностью таких квадратов является латинские квадраты.

Латинские квадраты применяются  для того, чтобы исключить два  внешних источника неоднородности, т. е. чтобы обеспечить систематическое группирования в блоки по двум направлениям. В общем случае латинский квадрат для р-факторов представляет собой квадрат состоящий из р-строк и р-столбцов.

Статистическая модель эксперимента, планом которого является греко-латинский квадрат, имеет вид

       

   i = 1,2,…,p; j = 1,2,…,p; k = 1,2,…,p,

где - наблюдение в i-й строке и l-м столбце для j-й обработки и k-й столбце; - математическое ожидание общего среднего; -  эффект i-й строке; - эффект j-й обработки; - эффект k-м столбца; - случайная ошибка.

Дисперсионный анализ для  латинского квадрата

Источник изменчивости	Сумма квадратов	Степень свободы
Латинские буквы		р-1
Строки		р-1
Столбцы		р-1
Ошибки		(р-2)(р-1)
Сумма		р2-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решить задачу с использованием латинских квадратов:

выход химического процесса измерялся на пяти партиях сырья  при пяти концентрациях кислоты и пяти продолжительностях реакции А, В, С, D, Е.

Исходные данные

 

Партия сырья	Концентрация кислоты
	1	2	3	4	5
1	А=24,7	B=15,2	C=17,9	D=14,6	E=11,7
2	В=16,9	A=19,9	E=16,7	C=9,9	D =19,4
3	С=18,9	D=10,9	A=14,6	E=23,3	B=11,8
4	D=13,5	E=13,7	B=20,7	A=12,6	C=15,8
5	Е=8,5	C=22,8	D=15,7	B=15,8	A=12,4

 

Решение задачи

 

Преобразованные данные

 

Партия сырья	Концентрация кислоты
	1	2	3	4	5
1	А=0	B=-9,5	C=-6,8	D=-10,1	E=-13	-39,4
2	В=-7,8	A=-4,8	E=-8	C=-14,8	D =-5,3	-40,7
3	С=-5,8	D=-13,8	A=-10,1	E=-1,4	B=-12,9	-44
4	D=-11,2	E=-11	B=-4	A=-12,1	C=-8,9	-47,2
5	Е=-15,2	C=-1,9	D=-9	B=-8,9	A=-12,3	-48,3
	-41	-41	-37,9	-47,7	-52,4	-219,6

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

3.    

Обработка	Сумма
А	26,4
В	-5,3
С	10,7
D	-4,8
E	-26,1

 

4. 5.

 

Источник изменчивости	Сумма квадратов	Степень свободы	Средний квадрат	Fкр
Латинские буквы	23,472	4	5,868	3,26
Строки	12,216	4	3,054
Столбцы	27,392	4	6,848
Ошибки	370,6	12	0
Сумма	433,68	24	18,07

 

 

 незначимо

F_кр>F_{расч(пр)} выход химической реакции не зависит от продолжительности реакции.

 

Заключение

Проделав данную курсовую работу мы достигли конечной цели эксперимента и установили степень влияния каждого фактора параметр оптимизации или получили функцию связывающую факторы параметр оптимизации.

По полученным данным мы можем принять решение о  дальнейшем проведение эксперимента.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

Введение ……………………………………………………………….. 3

1. Полный факторный эксперимент 2³ ……………………………… 6

1. Расчет коэффициентов уравнения регрессии.

2. Проверка однородности дисперсий
3. Проверка адекватности модели
4. Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии

2. Дробный факторный эксперимент типа 2^k ……………………… 12
3. Латинские и греко-латинские квадраты ………………………… 15

Заключение …………………………………………………………… 18