Решение задач оптимизации методов математического планирования эксперимента

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  И НАУКИ РФ

ФГБОУ ВПО «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АРХИТЕКТУРЫ и СТРОИТЕЛЬСТВА»

 

Кафедра сертификации, стандартизации и аудита качества

 

 

 

 

 

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

к курсовому проекту  по дисциплине

«Планирование и организация эксперимента»

 

на тему:

 

«Решение задач оптимизации  методов математического

 планирования эксперимента»

 

 

 

 

 

 

 

 

Автор работы: Чернышов М.Ю.

Направление: 200500 «Метрология, стандартизация и сертификация»

Обозначение КР-2069059-200500-093916-2012        Группа СиС-31

Руководитель работы: Тарасов Р.В.

Работа защищена: _________________ Оценка: ________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пенза 2012

 

 

Введение

 

Большинство научных  исследований связано с экспериментом. Он проводится в лабораториях, на производстве, на опытных полях и участках, в клиниках и т.д. Эксперимент может быть физическим, психологическим или модельным. Он может непосредственно проводиться на объекте или на его модели.

Если модель достаточно точно описывает объект, то эксперимент  на объекте может быть заменен экспериментом на модели. В последнее время наряду с физическими моделями все большее распространение получают абстрактные математические модели. Можно получать новые сведения об объекте, экспериментируя на модели, если она достаточно точно описывает объект.

Планирование эксперимента — это процедура выбора числа  и условий проведения опытов, необходимых  и достаточных для решения  поставленной задачи с требуемой  точностью. При этом существенно  следующее:

• стремление к минимизации общего числа опытов;
• одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам — алгоритмам;
• использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора;
• выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.

Поиск оптимальных условий, построение интерполяционных формул, выбор существенных факторов, оценка и уточнение констант теоретических  моделей, выбор наиболее приемлемых из некоторого множества гипотез  о механизме явлений, исследование диаграмм состав.

При решении задачи используются математические модели объекта исследования, т.е. уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами. Это уравнение в общем виде выглядит следующим образом:

Целью эксперимента является установление степени влияния каждого фактора на отклик (параметр оптимизации) или получение функции, связывающей факторы и отклик. Полученную зависимость между факторами и откликом называют поверхностью отклика, уравнение, связывающее факторы и отклик — регрессионного уравнения, а определение коэффициентов этого уравнения — оценкой коэффициентов. Числом степеней свободы f регрессионного уравнения является разность между числом экспериментальных точек n и количеством оцениваемых коэффициентов k:

 

Эксперименты бывают двух видов — активные и пассивные.

 

Пассивный эксперимент заключается в сборе статистического материала на работающем объекте или проведении серии опытов с равномерным разбиением диапазона измерения фактора на большее количество точек. Обработка данных пассивного эксперимента осуществляется методами корреляционного анализа (определение наличия или отсутствия зависимости между каждым фактором и откликом) и регрессионного анализа (получение уравнения, связывающего факторы и отклик). Регрессионное уравнение при пассивном эксперименте имеет большое число степеней свободы и обычно на факторном поле она близка к истинной зависимости.

Фактором называют параметр, значение которого в эксперименте задают. Факторов может быть несколько. Откликом -  параметр, который измеряется при различных значениях факторов, он обязательно должен быть один. Исследование объекта заключается в задании рада значений факторов и получении для каждой совокупности факторов отклика. Отдельный акт по получению отклика по значениям факторов называется экспериментом или экспериментом или экспериментальной точкой. Совокупность значений факторов всех элементов, проводимых при одном исследования, называется планом эксперимента. Диапазон изменений факторов, при котором проводится эксперимент, называется факторным полем.

В общем случае схема  планирования эксперимента выглядит следующим образом:

1. Признание факта  существования задачи и ее  формулировки.

2. Выбор факторов и уровней.

З. Выбор переменной отклика.

4. Выбор плана эксперимента.

5. Проведение эксперимента.

6.Анализ данных.

7. Выводы и рекомендации.

При планировании экстремального эксперимента очень важно определить параметр, который нужно оптимизировать. Цель исследования должна быть сформулирована очень четко и допускать количественную оценку. Параметр оптимизации является реакцией (откликом) на воздействие факторов, которые определяют поведение выбранной вами системы. Выбор того аспекта, который представляет наибольший интерес, как раз и задается целью исследования.

При выборе параметра  оптимизации необходимо учитывать  ряд требований:

1. Параметр оптимизации должен быть количественным задаваться числом.

2. Параметр оптимизации должен выражаться одним числом.

3. Однозначность в статистическом смысле.

4. Эффективность оценивания системы.

5. Эффективность параметра оптимизации в статистическом смысле.

6. Следующее требование к параметру оптимизации — требование универсальности или полноты.

7. Параметр оптимизации должен иметь физический смысл, быть простым и легко вычисляемым.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Полный факторный эксперимент  2 ^k

 

Первый этап планирования основан на варьирование фактора  по двум уровням. В том случае если число факторов известно, можно найти число опытов, необходимое для реализации всех возможных сочетаний уровней факторов. Для этого используется простая формула:

N=2^k

где N – число опытов;

k – число факторов;

2 – число уровней.

Эксперимент, в котором реализуется  все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом.

В планировании эксперимента используются кодированные значения факторов: +1 и -1 (часто для простоты записи единицы опускают). Условия эксперимента можно зависать в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбы — значениям факторов. Такие таблицы называют матрицами планирования эксперимента.

Каждый столбец в матрице  планирования называется вектор-столбцом, а каждая строка — вектор-строкой.

Свойства полного факторного эксперимента типа 2^k

1. Симметричность относительно центра эксперимента формулируется следующим образом: алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю, или

где  j - номер фактора;

N - число опытов;

j - 1,2,…, k

2. Условие нормировки формулируется следующим образом: сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов, или

3. Ортогональность матрицы, т.е. сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю, или

4. Ротатабельностью, те. точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависят от направления.

 

 

 

 

 

1. Расчет коэффициентов уравнения регрессии

Для достижения оптимума используется линейная модель y=b₀x₁+b₁x₁+b₂x₂ . Цель – найти по результатам эксперимента значения неизвестных коэффициентов модели. При предварительной оценке пригодности линейной модели для описания исследуемого процесса статистическая оценка ее коэффициентов не проводилась. Эксперимент, содержащий конечное число опытов, позволяет только получить выборочные оценки для коэффициентов уравнения вида .

Построим матрица планирования 2³  с учетом всех возможных взаимодействий.

 Таблица 1

	x1	x2	x3	у1	y2	y3	y4	y5	x1x2	x1x3	x2x3	x1x2x3
1	-	-	-	64,1	63,3	62,5	62,9		+	+	+	-	63,2
2	+	-	-	60,1	59,3	58,5	58,9	58,8	-	-	+	+	59,12
3	-	+	-	37,1	36,3	35,5			-	+	-	+	36,3
4	+	+	-	53,8	53	52,2	52,6	52,5	+	-	-	-	52,82
5	-	-	+	56,8	56				+	-	-	+	56,4
6	+	-	+	48,8	48				-	+	-	-	48,4
7	-	+	+	69,3	68,5	67,7	68,1	68	-	-	+	-	68,32
8	+	+	+	54,2	53,4	52,6	53		+	+	+	+	53,3

 

Столбец эффекта взаимодействия x₁x₂x₃ получается перемножением трех столбцов и называется эффектом взаимодействия второго порядка. Эффект взаимодействия двух факторов называется эффектом взаимодействия первого порядка. Вообще эффект взаимодействия максимального порядка в полном факторном эксперименте имеет порядок, на единицу меньше числа факторов. Довольно часто применяются синонимы парные эффекты взаимодействия (x₁ x_{2 ,} x₁x₃), тройные (x₁x₂x₃).

Точность и надежность коэффициентов зависят от свойств выборки и нуждаются в статистической проверке. Коэффициенты вычисляют по формуле

Если воспользоваться  этой формулой для подсчета коэффициентов, получим:

 

Коэффициент b₀ есть среднее арифметическое значение параметра оптимизации. Чтобы его получить, необходимо сложить все у и разделить их на число опытов. Чтобы привести эту процедуру в соответствие с формулой для вычисления коэффициентов, в матрицу планирования вводят вектор-столбец фиктивной переменной х₀ которая принимает во всех опытах значение +1. Это учитывается в записи формулы, где принимало значения от 0 до k.

Таким образом, получим  окончательный вид уравнения регрессии:

y=55,48-1,3x₁ -2,1x₂+1,2x₃+2,4x₁x₂-5,26x₂x₃+5,5x₁x₃-4,2x₁x₂x₃

Коэффициенты при независимых переменных указывают на силу влияния факторов. Чем больше численная величина коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффициент имеет знак плюс‚ то с увеличением значения фактора параметр оптимизации увеличивается.

 

2.  Проверка однородности дисперсий

 

№											f
1	0,9	0,1	-0,7	-0,3		0,81	0,01	0,49	0,09		3	30,47	57,68
2	0,98	0,18	-0,62	-0,22	-0,32	0,96	0,032	0,38	0,05	0,1	4	16,32	55,08
3	0,8	0	-0,8			0,64	0	0,64			2	295,15	53,48
4	0,98	0,18	-0,62	-0,22	-0,32	0,96	0,032	0,38	0,05	0,1	4	3,76	50,88
5	0,4	-0,4				0,16	0,16				1	13,54	60,08
6	0,4	-0,4				0,16	0,16				1	82,45	57,48
7	0,98	0,18	-0,62	-0,22	0,32	0,96	0,032	0,38	0,05	0,1	4	154,75	56,88
8	0,9	0,1	-0,7	-0,3		0,81	0,01	0,49	0,09		3	0,0004	53,28
											22	596,44