Решение задач линейной оптимизации симплекс – методом

 

Заполнение таблицы, соответствующей исходному опорному плану (0-й итерации). Пусть некоторый опорный план задачи (2.1) - (2.3) с базисом . Тогда – базисные компоненты, а – небазисные компоненты.

Вычисляем коэффициенты разложения векторов А_j по базису Б₀

(в случае, если Б₀ является единичной матрицей, )

и находим оценки . Далее определяем значение линейной формы

Полученные результаты записываем в таблицу 4.1.

В первом столбце N таблицы указываются номера строк. Номера первых m строк совпадают с номерами позиций базиса. Во втором столбце С_х записываются коэффициенты линейной формы при базисных переменных. Столбец Б_х содержит векторы базиса . В столбце В записываются базисные переменные опорного плана. Столбцы содержат коэффициенты разложения соответствующих векторов условий по векторам базиса. Все вышесказанное относится только к первым m строкам таблицы. Последняя (m+1)-я строка таблицы заполняется последовательно значением линейной формы F и оценками . Позиции таблицы, которые не должны заполняться, прочеркиваются.

В результате заполнена таблица 0-й  итерации кроме столбца t.

Столбцы В, А₁,…, A_n (все m+1 позиций) будем называть главной частью таблицы.

Порядок вычислений в  отдельной итерации. Пусть ν-я итерация закончена. В результате заполнена таблица ν за исключением последнего столбца t.

Каждая итерация состоит из двух этапов.

I этап: проверка исследуемого опорного плана на оптимальность.

Просматривается (m+1)-я строка таблицы ν. Если все , то опорный план, полученный после ν-й итерации, является оптимальным (случай 1), завершаем решение задачи. Пусть теперь имеются отрицательные оценки. Проверяем знаки элементов столбцов с . Наличие по крайней мере одного столбца , для которого и все , свидетельствует о неразрешимости задачи (случай 2). Установив это, прекращаем вычисления.

Если в каждом столбце  , для которого , содержится хотя бы один положительный коэффициент , то опорный план является неоптимальным (случай 3). Переходим ко II этапу.

II этап: построение нового опорного плана с большим значением линейной формы.

Определяется вектор A_k, который должен быть введен в базис, из следующего условия

.

После этого заполняется  последний столбец таблицы ν – столбец t. В него записываются отношения базисных переменных (элементы столбца В) к соответствующим составляющим (элементы столбца A_k). Т.о. заполняются только те позиции, для которых . Если , то в позиции i столбца t записывается . Вектор базиса , на котором достигается t₀,

,

подлежит исключению из базиса (если t₀ достигается на нескольких векторах, то из базиса исключается любой из них).

Столбец A_k , отвечающий вектору, вводимому в базис, и l-я строка, соответствующая вектору , исключаемому из базиса, называется соответственно разрешающим столбцом и разрешающей строкой. Элемент , расположенный на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки, называется разрешающим элементом.

После выделения разрешающего элемента заполняется (ν+1)-я таблица. В l-е позиции столбцов Б_х, С_х вносятся соответственно А_к, С_к, которые в (ν+1)-й таблице обозначаются как , . В остальные позиции столбцов Б_х, С_х вносятся те же параметры, что и в таблице ν.

Далее заполняется главная  часть (ν+1)-й таблицы. Прежде всего происходит заполнение ее l-й строки в соответствии с рекуррентной формулой

.

Рекуррентная формула  для заполнения i-й строки (ν+1)-й таблицы имеет вид

.

Здесь

.

Заполнение главной  части (ν+1)-й таблицы завершает (ν+1)-ю итерацию. Последующие итерации проводятся аналогично. Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет получен оптимальный план либо будет установлено, что исследуемая задача неразрешима.

Решение исходной задачи

Весь процесс решения исходной задачи (2.12) - (2.13) приведен в табл. 4.2.

Заполнение таблицы, отвечающей 0-й итерации, происходит на основе табл. 3.2.1 (см. итерацию 1) следующим образом. Главная часть таблицы 0-й итерации исходной задачи (за исключением (m+1)-й строки) полностью повторяет главную часть таблицы заключительной итерации L-задачи без столбца А₉. Также без изменений остается столбец базисных векторов Б_х. Строка С коэффициентов линейной формы исходной задачи и столбец С_х коэффициентов при базисных переменных заполняются исходя из (2.12). С учетом новых коэффициентов С пересчитываются значение линейной формы F и оценки .

Заполнение  таблиц, отвечающих последующим итерациям, происходит в соответствии с описанным  выше первым алгоритмом.

 

Таблица 4.2 

 

Решение исходной задачи (2.12) - (2.13) получено за 3 итерации. Оптимальный план ее равен и .

Найденное решение  задачи  в канонической форме (2.12) - (2.13) соответствует решению (4.1) общей задачи линейного программирования (2.9) - (2.11), записанной для новых переменных . Для общей задачи из (2.9) следует, что (4.2).

Вернемся к задаче (1.2.1), (1.2.2) со старыми переменными . Учитывая (4.1) и (4.2) из (2.7) и (2.8) получим

 

        (4.3)

и

.                (4.4)

Таким образом, для получения  максимальной цены (142750 руб.) всей продукции  необходимо произвести:

• 450 тыс.л. бензина А из полуфабрикатов в следующих количествах:

• Алкитата тыс.л.
• Крекинг-бензина тыс.л.
• Бензина прямой перегонки тыс.л.
• Изопентона тыс.л.

• тыс.л. бензина В из полуфабрикатов в следующих количествах:

• Алкитата тыс.л.
• Крекинг-бензина тыс.л.
• Бензина прямой перегонки тыс.л.
• Изопентона тыс.л.

• 300 тыс.л. бензина В из полуфабрикатов в следующих количествах:

• Алкитата тыс.л.
• Крекинг-бензина тыс.л.
• Бензина прямой перегонки тыс.л.
• Изопентона тыс.л.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Формирование М-задачи

 

Далеко не всегда имеет смысл  разделять решение задачи линейного  программирования на два этапа – вычисление начального опорного плана и определение оптимального плана. Вместо этого решается расширенная задача (М-задача). Она имеет другие опорные планы (один из них всегда легко указать), но те же решения (оптимальные планы), что и исходная задача.

Рассмотрим наряду с исходной задачей (2.1) - (2.3) в канонической форме следующую расширенную задачу (М-задачу):

 

      (5.1)

       (5.2)

.        (5.3)

Здесь М>0 – достаточно большое число.

Начальный опорный план задачи (5.1) - (5.3) имеет вид

Переменные  называются искусственными переменными.

Таким образом, исходная задача линейного программирования с неизвестным заранее начальным опорным планом сводится к М-задаче, начальный опорный план которой известен. В процессе решения этой расширенной задачи можно либо вычислить оптимальный план задачи (2.1) - (2.3), либо убедиться в ее неразрешимости, если оказывается неразрешимой М-задача.

 

В соответствии с вышеизложенным имеем: требуется решить задачу (2.12), (2.13), записанную в канонической форме. Введем искусственную неотрицательную переменную х₉ и рассмотрим расширенную М-задачу

    (5.4)

при условиях

  (5.5)

,   где   .

где М – сколь угодно большая положительная  величина.

 

Как и в L-задаче, добавление только одной искусственной переменной (вместо пяти) обусловлено тем, что исходная задача уже содержит четыре единичных вектора условий А_4, А_5, А_6, А_7.

 

 

 

6. Решение М-задачи II алгоритмом симплекс-метода

 

Описание  II алгоритма

 

Второй алгоритм (или метод обратной матрицы) симплекс метода основан на ином способе вычисления оценок векторов условий А_j, чем в первом алгоритме.

Рассматривается задача линейного  программирования в канонической форме (2.1) - (2.3). Пусть Х – опорный план с базисом . Все параметры, необходимые для оценки плана на оптимальность и перехода к лучшему плану, можно получить, преобразовывая от шага к шагу элементы матрицы .

Действительно, зная обратную матрицу  , можно получить базисные составляющие опорного плана:

и вычислить оценки векторов условий относительно текущего базиса

,      (6.1)

предварительно определив  вектор-строку по формуле

или

.      (6.2)

Здесь - вектор-строка из коэффициентов линейной формы, отвечающих базисным переменным.

Оценки  позволяют установить оптимальность рассматриваемого опорного плана и определить вектор А_к, вводимый в базис. Коэффициенты разложения вектора А_к по текущему базису вычисляются по формуле

.

Как и в I алгоритме, вектор, подлежащий исключению из базиса, определяется величиной

.

Таким образом при  втором алгоритме на каждом шаге запоминаются базисные компоненты , обратная матрица , значение линейной формы F(X) и вектор Y, соответствующие текущему опорному плану Х. Элементы столбцов матрицы удобно рассматривать как коэффициенты разложения единичных векторов по векторам базиса. Рекуррентные формулы, связывающие параметры двух последовательных итераций

;        (6.3)

.  (6.3)

Здесь

.

 

Результаты вычислений сводятся в основные таблицы (вида табл. 6.1) и вспомогательную таблицу (вида табл. 6.2); столбцы В, е₁, …, е_m основных таблиц (все m+1 позиций) называют главной частью этих таблиц. Столбец А_k – разрешающий столбец, строка l – разрешающая строка.

Таблица 6.1          Таблица 6.2

 

N

B

…

t

N

B

…

1

…

1

…

l

…

m

…

m+1

C

…

M

…

0

…

m+1

–

–

…

–

1

…

2

…

…

…

…

…

…

…