Решение уравнений, содержащих абсолютную величину (модуль)

б) (1; 2]:  |х – 1| = х – 1; |х – 2| = – (х – 2); |х – 3| = – (х – 3).

На данном промежутке уравнение |х – 1| + |х – 2| + |х – 3| = 6 равносильно уравнению х – 1 – (х – 2) – (х – 3) = 6. Решая это уравнение, получаем корень: х=-2. Этот корень не принадлежит промежутку ( 1; 2], следовательно, на рассматриваемом промежутке исходное уравнение не имеет корней.

в) (2; 3]:  |х – 1| = х – 1 ; |х – 2| = х – 2; |х – 3| = -(х – 3).

На данном промежутке уравнение |х – 1| + |х – 2| + |х – 3| = 6 равносильно уравнению х – 1 + х – 2 – (х – 3) = 6. Решая это уравнение, получаем корень: х = 6. Этот корень не принадлежит промежутку ( 2; 3], следовательно, на рассматриваемом промежутке исходное уравнение не имеет корней.

г) ( 3; +   ]:  |х – 1| = х – 1; |х – 2| = х – 2; |х – 3| = х – 3.

На данном промежутке уравнение |х – 1| + |х – 2| + |х – 3| = 6 равносильно уравнению х – 1 + х – 2 + х – 3 = 6. Решая это уравнение, получаем корень: х = 4. Этот корень принадлежит промежутку  (3; +  ), следовательно, на рассматриваемом промежутке исходное уравнение имеет единственный корень х= 4.

5. Таким образом, исходное уравнение |х – 1| + |х – 2| + |х – 3| = 6 имеет два корня: х = 0 и х = 4.

Ответ: 0;  4.

 

5. Графическое решение простейших уравнений, содержащих знак модуля.

Пример 5. Решите уравнение | x - 2 |=3.

Для решения уравнения графическим способом, надо построить графики функций  y=|x – 2| и y=3, найти точки пересечения. Абсциссы точек пересечения графиков дадут решения данного уравнения.

Для построения графика  функции  y=|х–2| построим график функции y=x – 2 - это прямая, пересекающая ось OX в точке (2; 0), а ось OY в точке (0; -2), а затем часть прямой, лежащую ниже оси OX зеркально отразить относительно оси OX.

Графиком функции y=3, является прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку (0; 3) на оси OY ( рис. 1).

Прямая  графика   функции y=3 пересеклась с графиком функции y=|x – 2| в точках с координатами (-1; 3) и (5; 3), следовательно, решениями уравнения будут абсциссы точек:   x=-1,  x=5.

Ответ:  -1;  5.

                      Рис.1

1.2.6.  Метод введения новой переменной

Иногда уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, можно  решить довольно просто, используя  метод введения новой переменной.

Продемонстрируем данный метод на конкретных примерах:

Пример 6. Решите уравнение: х² -5|x|+6=0.

Пусть |x |=t, тогда

|x|² =x² =t² ,тогда уравнение примет вид:

t² -5t+6=0

t₁=2, |x |=2, x_1,2=   2,

t₂=3, |x |=3, x_3,4=  3.

Ответ.   2,   3.

 

7. Модуль как расстояние на числовой прямой (геометрическая интерпретация модуля).

Как известно каждое действительное число изображается определенной точкой на числовой оси. Расстояние от точки, соответствующей числу a, до начала координат равно |a|. Это частный случай более общего утверждения: расстояние между точками с координатами a и b равно |a - b|. Некоторые задачи с модулями можно решать, используя понятие расстояния.

Пример 6. Решите уравнение |x + 2| = 3.

Решение. Переформулируем  условие задачи в терминах расстояний. Поскольку  |x+2|=|x - ( - 2)|, то значение этого модуля равно расстоянию от точки с координатой х до точки с координатой   -2. Таким образом, требуется найти координаты всех точек числовой оси, удаленных от точки с координатой -2 на расстояние 3. Таких точек две; их координаты равны

-5 и 1 (рис.2).

Ответ. -5; 1.

 

                                      3                     3

                                                                                       х

                           -5                  -2                   1

                                          Рис. 2

Пример 7. Решите уравнение |х-3|+|х+5|=10.

Решение. Поскольку |х+5|=|х-(-5)|, то данная задача равносильна такой: найти координаты всех точек Х, сумма расстояний от которых до точек А и В равна 10, где А имеет координату -5, В – координату 3. Запишем соответствующее равенство: АХ+ВХ=10. Рассмотрим три случая:

1) Точка Х лежит  на отрезке АВ (возможно, совпадая  с одним из его концов; рис. 3, а). В этом случае АХ+ВХ=АВ=8 – следовательно, точки отрезка АВ нам не подходят.

                         -5                                          3                  х

                           А          Х                          В

                                           Рис. 3, а

2) Точка Х лежит  левее точки А (рис. 3, б). Тогда АХ+ВХ=АХ+(ВА+АХ)=8+2АХ=10, откуда АХ=1, и точка Х имеет координату -6.

                             1

                         Х   А                                                В      х

                                                                                 

                        -6    -5                                               3

                                                       9

                                             Рис. 3, б

 

3) Точка Х лежит  правее точки В (рис. 3, в). Рассуждая аналогично, находим, что ВХ=1, и координата точки Х равна 4.

                                                                                1

                            А                                              В   Х     х

                                                                                 

                            -5                                              3   4

                                                       9

                                             Рис. 3, в

Ответ:  -6;  4.

 

 

Глава 2. Задания повышенной трудности, задания олимпиад, ЕГЭ разных лет.

 

Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов.

Задача 1. Решите уравнение (х+2)²-3|х+2|-28=0.

Решение. Можно рассмотреть  два случая (х+2>0 и х+2<0), решив получающееся в каждом из них уравнение, а можно произвести замену у=|х+2|.

Поскольку (х+2)²=|х+2|², то уравнение примет вид у²-3у-28=0.

Решая его, находим: у=-4, у=7.

( D=(-3)²-4*1*(-28)=9+112=121, y₁=(3-11)/2=-4, y₂=(3+11)/2=7 ).

Уравнение  |х+2|=-4 не имеет решений.

Решением уравнения |х+2|=7 являются числа -9 и 5 (х+2=-7, откуда х=-9;

х+2=7, откуда х=5).

Ответ: -9;5.

 

ЕГЭ 2010. Математика. Задача С1. Арифметика и алгебра.

Задача 2. Решить  уравнение:   2|x-6|-|x|+|x+6|=18. 
Решение.  Решаем задачу методом промежутков.

 Определим, в каких точках каждое подмодульное выражение меняет знак. Для этого приравняем каждое подмодульное выражение к нулю:   

                                  х-6=0 или х=6,

                                  х=0,

                                  х+6=0 или х=-6,

Мы получили три точки.  Нанесем их на числовую ось:

Эти три числа разбили числовую ось на четыре промежутка

x<-6,   -6< х<0,  0< х<6,  х>6.

Теперь рассмотрим знаки подмодульных выражений на каждом промежутке:

Выражение х-6 меняет знак в точке х=6. Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:

Выражение х меняет знак в точке х=0. Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:

Выражение х+6 меняет знак в точке х=-6. Слева от этой точки оно отрицательно, а справа положительно. Отметим это в таблице:

 Мы получили знаки всех подмодульных выражений на каждом промежутке. Теперь раскроем модули на каждом промежутке с учетом этих знаков.

Наше уравнение «распадается»  на четыре уравнения по количеству числовых промежутков.

Решим уравнение на каждом промежутке.

 x<-6,

 -2(x-6)+x-(x+6)=18;

 x<-6,

 -2x+12+x-x-6=18;

x<-6,

-2x=12;

x<-6,

x=-6.

Решение уравнения на первом промежутке x<-6: x=-6.

Раскроем модули на втором промежутке:

-6<x<0,

-2(x-6)+x+x+6=18;

-6<x<0,

-2x+12+x+x+6=18;

-6<x<0,

18=18.

Мы получили, что второе уравнение системы является тождеством, то есть   второе равенство верно при любом действительном значении  x. Следовательно, решением системы будут те значения неизвестного, которые удовлетворяют  неравенству -6<x<0.

Раскроем модули на третьем  промежутке:

0<x<6,

-2(x-6)-x+x+6=18;

0<x<6,

-2x+12-x+x+6=18;

0<x<6,

-2x=0;

0<x<6,

x=0;

Решение уравнения на третьем промежутке 0<x<6:  x=0.

Раскроем модули на четвертом  промежутке:

x>6,

2(x-6)-x+x+6=18;

х>6,

2x-12+6=18;

x>6,

2x=24;

x>6,

x=12.

Решение уравнения на четвертом промежутке х>6: x=12.

Теперь объединим полученные решения, и запишем ответ.

Ответ: -6<x<0,  х=12.

«Открытая интернет-олимпиада школьников по математике» (Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий механики и оптики)

Задача 3.  Решить уравнение 3| x + 2 | + x² + 6x + 2 = 0.

Решение. Рассмотрим два случая: х+2>0  и x+2<0.

х+2>0,

3(х+2)+х²+6х+2=0;

х+2>0,

3х+6+х²+6х+2=0;

х+2>0,

х²+9х+8=0;

х>-2,

х=-1,х=-8.

Решением является х=-1.

х+2<0,

-3х-6+х²+6х+2=0;

х+2<0,

х²+3х-4=0;

х<-2

х=1, х=-4.

Решением является х=-4.

Ответ. -4; -1.

 

Межрегиональная заочная математическая олимпиада для школьников (ВЗШМФ «Авангард»)

Задача 4.  Решить уравнение | 4 – x | + | (x – 1)(x – 3) | = 1.

Решение. Решим уравнение методом промежутков.

4-х=0, откуда х=4;

х-1=0,откуда х=1;

х-3=0, откуда х=3.

Рассмотрим четыре случая.

1. х<1,

4-х+(х-1)(х-3)=1;

     х<1,

х²-5х+6=0;

     х<1,

х=2, х=3.

При  х<1 решений нет.

2. 1<х<3,

х²-3х=0;

1<х<3,

х(х-3)=0;

1<х<3,

           х=0, х=3.

 При  1<х<3  х=3.

3. 3<х<4,

х²-5х+6=0;

3<х<4,

х=2, х=3.

При 3<х<4 решений нет.

4. х>4,

х²-3х-2=0;

     х>4,

х=(3- √17)/2, х=(3+ √17)/2.

При х>4 решений нет.

Объединив решения всех четырех случаев, получим ответ.

Ответ. 3.

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

При выполнении работы было изучено и проанализировано большое количество научно-популярной и учебной литературы по указанной теме.

Я рассмотрела семь методов  решения уравнений, содержащих абсолютную величину (модуль). Большая часть  рассмотренных  и проанализированных мною заданий  решается  методом  промежутков (можно предположить, что это самый распространенный метод). Однако, иногда уместно, а иногда даже и проще, при решении выбирать какой-то другой метод.

Изучая литературу, материалы  олимпиад и ЕГЭ, я часто встречала более сложные уравнения, такие как тригонометрические или логарифмические, содержащие абсолютную величину (модуль). Для себя я сделала вывод, что приобретенные мною знания при выполнении данной исследовательской работы являются хорошей базой для дальнейшего изучения программного материала по алгебре в старших классах, связанных с решением уравнений. Возможно, в 10-11 классах я продолжу исследование более сложных видов уравнений с модулем.

Умение решать уравнения, содержащих модуль, мне пригодится в дальнейшей учебе: я не буду теряться при выполнении подобных заданий, буду более подготовленная к ЕГЭ. И, кроме этого, решение таких заданий развивает логическое мышление, сообразительность, умение анализировать.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература.

1. Березин В.Н. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике. Москва «Просвещение» 1985г.
2. Журнал «Математика в школе»,№5-1999г., Зиновьева Л.А., Щеглова Н.Д., Зиновьев А.И. «Уравнения, содержащие неизвестную под знаком модуля».
3. Журнал «Математика в школе»,№9-2003г., Смоляков А.Н. «Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля».
4. Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Москва «Просвещение» 1991.
5. Математика.  ЕГЭ 2010. Федеральный институт педагогических измерений.
6. Модули: Методическая разработка для учащихся заочного отделения МММФ/ Автор-составитель А.В.Деревянкин.-М.: Изд-во центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2008.
7. Первое сентября. Математика.№44-2004г., Шестаков С. «Геометрический смысл модуля и его применение к решению уравнений и неравенств».
8. Энциклопедия для детей «Аванта». Том 11. Математика.