Решение уравнений и неравенств графическим способом

Таким образом, нам надо построить  график функции 

Точка А(-3;2) нам известна, возьмем  точку B(0;-10)

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим их прямой:

2. Написать уравнение прямой, проходящей через точки A(1;1); B(2;4).

Если прямая проходит через точки  с заданными координатами, следовательно, координаты точек удовлетворяют  уравнению прямой   . То есть если мы координаты точек подставим в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки  в уравнение    и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения  системы первое, и получим  . Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b=-2.

Итак, уравнение прямой  .

3. Постройте график уравнения 

Чтобы найти,  при каких значениях неизвестного произведение нескольких множителей равно нулю, нужно каждый множитель приравнять к нулю и учестьОДЗ каждого множителя. 

Это уравнение не имеет ограничений  на ОДЗ. Разложим на множители вторую скобку и приравняем каждый множитель  к нулю. Получим совокупность уравнений:

Построим графики всех  уравнений совокупности в одной коорднатной плоскости. Это и есть график уравнения   :

4. Постройте график функции  , если он перпендикулярен прямой   и проходит через точку М(-1;2)

Мы не будем строить график, только найдем уравнение прямой.

а) Так как график функции  , если он перпендикулярен прямой  , следовательно  , отсюда  . То есть уравнение функции имеет вид 

б) Мы знаем, что  график функции   проходит через точку М(-1;2). Подставим ее координаты в уравнение функции. Получим:

, отсюда  .

Следовательно, наша функция имеет  вид:  .

 

 

 

 

 

 

Квадратное неравенство

Неравенство вида

где x - переменная, a, b, c - числа,  , называется квадратным.

При решении квадратного  неравенства необходимо найти корни  соответствующего квадратного уравнения  . Для этого необходимо найти дискриминант данного квадратного уравнения. Можно получить 3 случая: 1) D=0, квадратное уравнение имеет один корень; 2)D>0 квадратное уравнение имеет два корня; 3) D<0 квадратное уравнение не имеет корней.

В зависимости от полученных корней и знака коэффициента a возможно одно из шести расположений графика функции 

Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен  больше нуля, то это числовой промежуток находится там, где парабола лежит выше оси ОХ.

Если требуется найти  числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен  меньше нуля, то это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток, если строгое - не входят.

Такой метод решения квадратного  неравенства называется графическим.

 

 

 

Примеры решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Квадратичная  функция

Квадратичная функция y = ax² + bx + c где а, b, с – некоторые числа и а ¹ 0. Графиком этой функции является парабола.

Уравнение у ²(a – x) = x²(a+ x). Графиком этого уравнения будет кривая, называемая строфоидой.

Уравнение (x² + y²)² = a (x² – y²). График этого уравнения называется лемнискатой Бернулли.

Уравнение .                     График этого уравнения называется астроидой.

Кривая (x² y² – 2 a x)² =4 a² (x² + y²). Эта кривая называется кардиоидой.

Функции: у = x³ – кубическая парабола, у = x⁴_, у = 1/x².

 

 Алгоритм построения  графика функции

 

Зная график функции у = f(x), можно построить графики функций у = f (x+m), у = f(x)+l и у = f (x+ m)+ l. Все эти графики получаются из графика функции у = f(x) с помощью преобразования параллельного переноса: на │m│ единиц масштаба вправо или влево вдоль оси x и на │l│ единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси y.

 

Графическое решение  квадратного уравнения

 

На примере квадратичной функции мы рассмотрим графическое  решение квадратного уравнения. Графиком квадратичной функции является парабола.

Что знали о параболе древние  греки?

Современная математическая символика возникла в 16 веке.

У древнегреческих же математиков  ни координатного метода, ни понятия  функции не было. Тем не менее, свойства параболы были изучены ими подробно. Изобретательность античных математиков  просто поражает воображение, – ведь они могли использовать только чертежи  и словесные описания зависимостей.

Наиболее полно исследовал параболу, гиперболу и эллипс Аполоний Пергский, живший в 3 веке до н.э. Он же дал этим кривым названия и указал, каким условиям удовлетворяют точки, лежащие на той или иной кривой (ведь формул-то не было!).

Существует алгоритм построения параболы:

• Находим координаты вершины параболы А (х₀; у₀): х₀ =-b/2a;
• y₀=ах_о²+вх₀+с;
• Находим ось симметрии параболы (прямая х=х₀);
• Составляем таблицу значений для построения контрольных точек;
• Строим полученные точки и построим точки им симметричные относительно оси симметрии.

1. По алгоритму построим  параболу y = x² – 2x – 3. Абсциссы точек пересечения с осью x и есть корни квадратного уравнения x² – 2x – 3 = 0.

Существует пять способов графического решения этого уравнения.

2. Разобьём уравнение  на две функции: y=x² и y= 2x + 3. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

3. Разобьём уравнение  на две функции: y=x² –3 и y =2x. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

4. Преобразуем уравнение x² – 2x – 3 = 0 при помощи выделения полного квадрата на функции: y= (x –1)² и y=4. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

5. Разделим почленно обе  части уравнения x² – 2x – 3 = 0 на x, получим x – 2 – 3/x = 0, разобьём данное уравнение на две функции: y = x – 2, y = 3/x. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы

 

Примеры решения.

Пример 1

Построить график функции  .

Сначала находим вершину  параболы. Для этого берём первую производную и приравниваем ее к  нулю:

Таким образом, вершина находится  в точке 

Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует  заметить, что функция   – не является чётной, но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял.

В каком порядке  находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы:

Выполним чертеж:

 
Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак:

Для квадратичной функции   ( ) справедливо следующее:

Если  , то ветви параболы направлены вверх.

Если  , то ветви параболы направлены вниз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Показательные неравенства.

Неравенства вида a^x>b (a^x³b) или a^x<b (a^x£b), где a>0, a¹1, называются простейшими показательными неравенствами.

Решение показательных неравенств основано на строгой монотонности показательной  функции. Известно, что

• при основании, большем единицы, показательная функция возрастает,
• при положительном основании, меньшем единицы, показательная функция убывает.

·        Неравенство вида

в зависимости от основания  эквивалентно следующему:

• при a>1      f(x)>g(x);
• при 0<a<1    f(x)<g(x).

·        Неравенство вида

эквивалентно следующему неравенству:

• при a>1      f(x)<g(x);
• при 0<a<1    f(x)>g(x).

 

      Чтобы пользоваться свойством монотонности показательной функции следует  путем надлежащих преобразований добиться одинаковых оснований в левой  и правой частях неравенства.

Пример решения.

Пример. Решить неравенство 16^x > 0,125.

Решение. Заметим, что 16=2⁴, а 0,125=1/8=2^-3. Тогда, переходя в обеих частях неравенства к основанию 2, получим 2^4x > 2^–3. Так как основание 2 > 1, то 4х > –3, то естьx>-3/4.

Ответ: (-3/4;+¥). 

·        Более сложные показательные неравенства сводятся к простейшим методами, аналогичными методам, используемым при решении показательных уравнений.

Пример 1. Решить неравенство 25^х<6×5^x-5.

Решение. Так как 25=5², то 25^x=5^2x и данное неравенство примет вид:

.

Заменой t=5^x, t>0 сведем неравенство к квадратному:

,

решая которое методом  интервалов, получим:

Следовательно, 1<t<5, то есть 1<5^x<5, иначе 5⁰<5^x<5¹. Отсюда в силу свойства монотонности показательной функции получим, что 0<x<1.

Ответ: (0; 1).

 

 

 

 

 

Логарифмические неравенства.

Логарифмическим неравенством называется неравенство, в котором неизвестная величина стоит под знаком логарифма.

Простейшее логарифмическое неравенство имеет вид:

 V  , где V – один из знаков неравенства: <,>, ≤ или ≥.

Если основание логарифма больше единицы ( ) , то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется, и неравенство

равносильно системе:

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы ( ), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный, и неравенство

равносильно системе:

 

Решения полученных неравенств надо пересечь с ОДЗ: 

 

 Пример решения

1. Решим  неравенство:

Так как основание логарифмов в  обеих частях неравенства меньше 1, при переходе к выражениям, стоящим  под знаком логарифма, знак неравенства  меняется на противоположный. Выражения, стоящие под знаком логарифма  должны быть строго больше нуля. Перейдем к системе:

Обратите внимание: мы указываем, что  больше нуля должно быть меньшее из выражений, которые стоят под  знаком логарифма. В этом случает  большее выражение автоматически  будет больше нуля.

Решим систему неравенств:

Корни квадратного трехчлена:  ,  

Отсюда:

Ответ: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тригонометрические  уравнения

Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком  тригонометрических функций.

Простейшими тригонометрическими  уравнениями являются уравнения  вида 

,

,

, 

.

Рассмотрим, при каких  значениях   тригонометрические уравнения разрешимы и как правильно находить все решения таких уравнений.

Уравнение  .

Так как множество значений функции   - отрезок [-1;1], то данное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда 

.

Далее, из-за периодичности  функции  , каждому значению   соответствует бесконечное множество решений. Поэтому все решения описываются формулами:

или обобщенной формулой

.

На рисунке 1 члены первой последовательности отмечены кружками, а второй - квадратами.

Рис.1

Заметим, что  .

Особо отметим некоторые  частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного  уравнения:

а
0
1
-1