Решение уравнений и неравенств графическим способом

Введение.

Если учащийся не переживает радости

поиска и находок, не ощущает  живого

процесса становления  идей, то ему редко

удается достичь ясного понимания  всех

обстоятельств, которые позволили  избрать

именно этот, а не какой-нибудь другой путь.

А. Эйнштейн

 

Даже самый превосходный торт вряд ли доставит вам удовольствие, если кто-то его предварительно пожует. Так же и самое интересное математическое задание можно испортить, преждевременно показав его решение. Правда, и  в том, что «видит око, да зуб неймёт», мало радости: от задания, решение которого вы никогда не узнаете, немного проку.

В своей учебно-практической работе я самостоятельно исследовал основные методы решения линейных, квадратичных, показательных, логарифмических, тригонометрических неравенств. Материал, связанный с неравенствами, составляет значительную часть курса математики. Одним из сложных разделов алгебры, являются неравенства с модулем, так как на уроках им уделяют достаточно мало внимания. Выше изложенное обусловило проблему исследования: научиться решению неравенств, используя при этом графический метод решения неравенств различных видов.

Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности  была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными  работами военного характера, а также  с развитием астрономии и самой  математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет  до н.э. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом  дошли вавилоняне до этого правила.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые  изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком  Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.

Но общее правило решения  квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году М. Штифелем.

В 1591 году Франсуа Виет ввел формулы для решения квадратных уравнений.

В древнем Вавилоне могли  решить некоторые виды квадратных уравнений.

Диофант Александрийский и Евклид, Аль-Хорезми и Омар Хайям решали уравнения геометрическими и графическими способами.

В 7 классе мы изучали функции у = С, у = kx, у = kx+m, у = x², у = – x², в 8 классе – у = √x, у =|x|, у = ax²+bx+c, у = k /x. В учебнике алгебры 9 класса я увидела ещё не известные мне функции: у = x³, у = x⁴, у = x²ⁿ, у = x^-2n, у = ³√x, (x – a)² + (у – b)² = r² и другие. Существуют правила построения графиков данных функций. Мне стало интересно, есть ли ещё функции, подчиняющиеся этим правилам.

 

Говорят, нужны особые способности, чтобы быть хорошим математиком  или физиком. По этому поводу мне  хочется заметить, что талант, способности  в какой-либо области деятельности — это прежде всего способность  много, упорно работать и иметь глубокий интерес к делу. Тогда и работать будет легко, тогда и придет успех! Ведь редко бывает, что человек не достигает успеха в науке, если он действительно серьезно ею интересуется. (Академик И. Г. Петровский).

 

Математика уже давно  стала основным аппаратом физики и техники. В последние годы все  настойчивее проникают математические методы исследований в такие науки, как химия, биология, геология, экономика, лингвистика, педагогика, медицина, археология. Поэтому не удивительно, что на многих (даже гуманитарных!) факультетах университетов и институтов поступающие сдают экзамен по математике. Математику нельзя выучить за одну ночь. Только регулярные систематические занятия могут принести успех, только глубокое знание школьных учебников сделает вопросы на экзамене простыми и легкими.

 

 

 

 

Теоретические сведения о числовых неравенствах

 

Неравенства вида , где и – числа (числовые выражения), называются числовыми.

Неравенства вида , где – линейные функции, называются неравенствами с одной переменной.

Неравенства, содержащие знаки  или называют строгими, а содержащие знаки или - нестрогими.

Решением неравенства  с одной переменной называется такое  значение переменной, при подстановке  которого неравенство обращается в  верное числовое неравенство.

Решить неравенство –  значит найти все его решения  или доказать, что их нет.

Равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадает. В частности, равносильны все  неравенства, не имеющие решений.

Свойства числовых неравенств:

1. .
3. - к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
4. - можно переносить слагаемые из одной части в другую, меняя их знак на противоположный.
5. и - два неравенства с одинаковым знаком можно почленно складывать.
6. Умножая (деля) обе части неравенства на положительное число, знак неравенства сохраняют.
7. Умножая (деля) обе части неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняют на противоположный.
8. и - два неравенства с одинаковым знаком, образованные неотрицательными числами, можно почленно умножать.
9. .
10. и .

Теоремы о равносильности неравенств с переменными

2. если имеет смысл в области определения неравенства
3. если для всех значений из области определения
4. если для всех значений из области определения .
5. .

5*. где принимает только положительные значения (следствие).

6. где

6*. (следствие).

 

 

Линейные неравенства  с одной переменной

 

Линейное неравенство – это неравенство вида ax + b > 0 (или ax + b < 0), где а и b – любые числа, причем а ≠ 0.

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Например, х + 5 < 17. Подставив вместо х значение 1, получим 1+ 5 < 17, 6 < 17 – верное числовое неравенство. Значит, х = 1 – решение данного неравенства.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Решая линейное неравенство  вида , получим: . Возможны три случая: 1) тогда ;

2) тогда и если при этом то решений нет, а если ,то .

 

 

 

 

 

 

 

Линейное уравнение

Линейным уравнением называется уравнение вида

 и любое другое уравнение приводимое к такому виду (например,  ).

 

•  — коэффициент при неизвестной,
•  — свободный член.

Решить уравнение значит найти такое число (корень уравнения), что при подстановке его вместо переменной  , получается верное равенство.

Примеры линейных уравнений:

. Корень(решение) этого уравнения 

. Корень этого уравнения 

Графическое решение  системы уравнений с двумя  переменными сводится к отыскиванию  координат общих точек графиков уравнений.

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может: а) иметь единственное решение; б) не иметь решений; в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы  уравнений является точка (если  уравнения являются линейными)  пересечения графиков.

Графическое решение  системы 

 

 

 

Линейная функция

Линейной функцией называется функция y = kx + b, где k и b - некоторые числа.

Прямопропорциональная зависимость между переменными x и y приводит к простейшей линейной функции y = kx.

Свойства линейной функции y = kx при k ≠ 0

• Область определения функции - множество R всех действительных чисел.
• Корни - единственный корень x = 0.
• Промежутки постоянного знака зависят от знака параметра k:

k > 0, то y > 0 при x > 0 ; y < 0 при x < 0;  
k < 0, то y > 0 при x < 0 ; y < 0 при x > 0.

• Экстремумов нет.
• Монотонность функции:

если k > 0, то y возрастает на всей числовой оси;  
если k < 0, то y убывает на всей числовой оси.

• Наибольшего и наименьшего значений нет.
• Область значений - множество R.
• Четность - функция y = kx нечетная.

Графиком линейной функции является прямая линия.

 

 

 

Алгоритм построения графика

1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции  , удобно взять    и  , тогда ординаты эти точек будут равны   и  .Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график  функции  :

2. В уравнении функции   коэффициент   отвечает за наклон графика функции:

• если  , то график наклонен вправо
• если   , то график наклонен влево

Коэффициент   отвечает за сдвиг графика вдоль оси  :

• если  , то график функции   получается из графика  функции  сдвигом на   единиц вверх вдоль оси 
• если   , то график функции   получается из графика функции   сдвигом на   единиц   вниз вдоль оси 

На рисунке ниже изображены графики  функций  ;  ;   

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент   больше нуля, и все графики функций наклонены вправо. Причем, чем больше значение  , тем круче идет прямая.

Во всех функциях   – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

Теперь рассмотрим графики функций  ;  ;   

На этот раз  во всех  функциях коэффициент   меньше нуля, и все графики функций наклонены влево. Коэффициент b тот же, b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Рассмотрим графики функций   ;  ; 

Теперь  во всех уравнениях функций коэффициенты   равны. И мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти  графики пересекают ось OY  в различных точках:

График функции   (b=3) пересекает ось OY  в точке (0;3)

График функции   (b=0) пересекает ось OY  в точке (0;0) -  начале координат.

График функции   (b=-2) пересекает ось OY  в точке (0;-2)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции  .

Если  k<0 и b>0, то график функции   имеет вид:

Если  k>0 и b>0, то график функции   имеет вид:

Если  k>0 и b<0, то график функции   имеет вид:

Если  k<0 и b<0, то график функции   имеет вид:

Если  k=0 , то  функция   превращается в функцию     и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика  функции   равны 

Если b=0, то график функции   проходит через начало координат:

3. Отдельно отмечу график уравнения  . График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси   все точки которой имеют абсциссу  .

Например, график уравнения   выглядит так:

Внимание! Уравнение   не является функцией, так различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

4. Условие параллельности двух прямых:

График функции   параллелен графику функции  , если 

5. Условие перепендикулярности двух прямых:

График функции   перепендикулярен графику функции  , если   или 

6. Точки пересечения графика функции   с осями координат.

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда  . То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты ( ;0):

 

Примеры решения.

1. Постройте график функции  , если известно, что он проходит через точку А(-3;2) и параллелен прямой y=-4x.

В уравнении функции    два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи должны быть два условия, характеризующих график функции.

а) Из того, что график функции   параллелен прямой y=-4x, следует, что k=-4. То есть уравнение функции имеет вид 

б) Нам осталось найти b. Известно, что график функции   проходит через точку А(-3;2). Если точка принадлежит графику функции, то при подстановке ее координат в уравнение функции, мы получим верное равенство:

  отсюда b=-10