Решение балансовых уравнений

 

      Очевидно,

 

       xn+1 = Sn+1,1y1 + Sn+1,2y2 + … + Sn+1,nyn ,         ( 16 )

 

       xn+2 = Sn+2,1y1 + Sn+2,2y2 + … + Sn+2,nyn ,

т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S' вектор У.

 

      Наконец, объединяя формулу  ( 7 ) с формулами ( 16 ), приходим к следующей компактной форме:

 

                    x1

 

                    x2

 

      _             :                _

 

      x =         xn        = S'У            ( 17 )

 

                   xn+1

 

                   xn+2

 

     

 

      Пусть дополнительно  к данным, помещенным в табл.2, известны по итогам исполнения  баланса фактические затраты  труда xn+1,k ( в тыс. человеко-часов ) и капиталовложений xn+2,k ( в тыс. руб. ), которые записаны в табл.3

 

      Переходя к коэффициентам  прямых затрат aik, получим расширенную матрицу:

 

                   0.2    0.4

 

       А' =     0.55  0.1

 

                   0.5    0.2

 

                   1.5    2.0

 

                                                                                                                          Таблица 3

 

                № отраслей            потребление                 итого         конечный    валовый  

 

      №                                                                             затрат        продукт       выпуск  

 

      отраслей                          1                      2

 

                    1                        100                  160               260               240               500

 

                    2                        275                   40                315                85                400

 

       

 

                труд                      250                   80                330 

 

       капиталовложе-           750                  800               1550   

 

       ния

 

      Обратная матрица S = ( E - A )-1 была уже подсчитана в предыдущем пункте.

 

      На основании ( 13 ) рассчитаем коэффициенты полных затрат труда ( Sn+1,k=S3,k ):

 

                 _  _

 

       S31 = a3·S1 = 0.5 · 1.8 + 0.2 · 1.1 = 1.12 ;

 

                 _  _

 

       S32 = a3·S2 = 0.5 · 0.8 + 0.2 · 1.6 = 0.72

и капиталовложений Sn+2,k = S4,k:

 

                 _  _

 

       S41 = a4·S1 = 1.5 · 1.8 + 2.0 · 1.1 = 4.9 ;

 

                 _  _

 

       S42 = a4·S2 = 1.5 · 0.8 + 2.0 · 1.6 = 4.4 .

 

      Таким образом, расширенная  матрица S' коэффициентов полных  затрат примет вид:

 

                  1.8    0.8

 

      S' =      1.1    1.6

 

                  1.12   0.72

 

                  4.9     4.4

 

      Если   задаться   на   планируемый   период   прежним   ассортиментным   вектором

У =    240   , то рассчитав по формулам ( 16 ) суммарные затраты труда xn+1 и

 

          85

капиталовложений xn+2, получили бы xn+1 = x3 = 1,12 · 240 + 0.72 · 85 = 268.8 + 61.2 = 330 тыс. чел.-ч. и xn+2 = xn = 4.9 · 240 + 4.4 · 85 = 1176 + 374 = 1550 тыс.руб., что совпадает с исходными данными табл.3.

 

      Однако  в  отличие от табл.3, где эти суммарные затраты группируются по отраслям          

( 250 и 80 или 750 и 800 ), здесь они распределены по видам конечной продукции: на продукцию 1-й отрасли 268.8 и на продукцию 2-й отрасли 61.2; соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374.

 

      При любом новом  значении ассортиментного вектора  У все показатели плана, такие, как валовая продукция каждой  отрасли и суммарные расходы  трудовых ресурсов и капиталовложений  найдем из формулы ( 17 ).

 

      Так, пусть задан ассортиментный  вектор У =    480   . Тогда

 

                                                                                       170  

 

              _             х1          1.8      0.8                        1000

 

              х =          х2    =    1.1      1.6        480    =   800            

 

                             х3          1.12   0.72       170          600

 

                             х4           4.9      4.4                       3100

 

      Отсюда заключаем, что  запланированный выпуск конечного  продукта У может быть достигнут  при валовом выпуске 1-й и 2-й  отраслей: х1=1000 и х2=800, при суммарных  затратах труда х3=660 тыс. чел.-ч. и  при затратах капиталовложений  х4=3100 тыс.руб.

 

      Рассмотренные теоретические  вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную  для практики область балансовых  исследований. Здесь проиллюстрировано  только одно направление приложения  линейной алгебры в экономических  исследованиях.  

 

 

Задача

 

      В таблице указаны  расходные нормы двух видов  сырья и топлива на единицу  продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-часах  на единицу продукции, стоимость  единицы соответствующего материала  и оплата за 1 чел.-ч.

 

                                                Таблица

 

                                  Нормы расхода                        

 

                                                                                                 Обозначения      Стоимость      

 

                                             I                  II                 III

 

          Сырье I                   1.4                2.4               0.8                  a4                        5

 

          Сырье II                   –                  0.6               1.6                  a5                        12

 

          Сырье III                 2.0                1.8               2.2                  a6                        2

 

    Трудоемкость               10                 20                20                   а7                        12                                              

 

      Определить:

а) суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы;

б) коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу конечной продукции каждого цеха;

в) расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам;

г) производственные затраты по цехам ( в руб. ) и на всю производственную программу завода;

д) производственные затраты на единицу конечной продукции.

 

      Решение:

а) Суммарный расход сырья I можно получить, умножив соответствующую 1-ю строку второй таблицы на вектор х, т.е.

 

       _ _                                 235

 

       а4х = ( 1.4; 2.4; 0.8 )     186     = 1088     

 

                                             397

 

      Аналогично можно получить  расход сырья II и т.д.

 

      Все это удобно записать  в виде произведения:

 

       1.4    2.4    0.8         235                 1088           Сырье I   

 

        0      0.6    1.6         186       =        746             Сырье II

 

       2.0    1.8    2.2         397                 1678            Топливо

 

       0.1    0.2    0.2                                1409            Человеко-часов.

б) Расход сырья I на единицу конечной продукции 1-го цеха ( у1=1 ) найдем из выражения 1.4S11 + 2.4S21 + 0.8S31. Следовательно, соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива и труда на каждую единицу конечного продукта получим из произведения матрицы:

 

                                                                                I         II        III    

 

      1.4    2.4    0.8          1.04    0.21    0.02            1.97    2.92    1.36                Сырье I                                                                      

 

         0    0.6    1.6          0.21    1.05    0.13     =     0.17    0.84    2.09                Сырье II         

 

      2.0    1.8    2.2          0.03    0.13    1.26            2.53    2.60    5.23                Топливо

 

      10      20     20                                                   15.2    24.8    28.0                Труд

 

  

 

      Таким образом, например, для изготовления у1=1 необходимо затратить 1.97 единиц сырья I, 0.17 единиц сырья II, 2.53 единиц топлива и 15.2 чел.-ч.

в) Расход сырья, топлива и т.д. по каждому из цехов получим из умножения их расходных норм на соответствующие валовые выпуски по цехам. В результате получим матрицу полных расходов:

 

                                   I        II       III

 

       Сырье I            330    440    318     

 

       Сырье II             0      111    635

 

       Топливо           470    335    873

 

       Труд                 2350  3720  7940

г) Производственные расходы по цехам можем получить путем умножения слева строки стоимостей ( 5; 12; 2; 1.2 ) на последнюю матрицу:

 

                                      330    440    318

 

                                        0      111    635                  I        II        III

 

      ( 5; 12; 2; 1.2 )        470    335    873        =  ( 5410; 8666; 20484 )

 

                                      2350  3720  7940

д) Наконец, производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, найденной в п.б., на строку цен:

 

           1.97    2.92    1.36

 

           0.17    0.84    2.09                I       II      III

 

       ( 5; 12; 2; 1.2 )      2.53    2.60    5.23        = ( 35.3; 59.6; 75.7 )

 

                                     15.2    24.8    28.0

 

      Таким образом, внутрипроизводственные  затраты на единицу товарной  продукции I, II и III цехов соответственно  составляют: 35.3 тг., 59.6тг., 75.7 тг.