Решение балансовых уравнений

 

      Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме:

 

       x1 = S11y1 + S12y2 + … + S1nyn

 

       x2 = S21y1 + S22y2 + … + S2nyn                         ( 8 )

 

       ………………………………

 

       xn = Sn1y1 + Sn2y2 + … + Snnyn 

ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ

ЗАТРАТЫ.

 

      Выясним экономический  смысл элементов Sik матрицы S.

 

      Пусть производится  только единица конечного продукта 1-й отрасли, т.е.

 

                  1

 

       _         0

 

       У1 =    :

 

                  0

 

      Подставляя этот вектор  в равенство ( 7 ), получим

 

                    1             S11

 

       _           0             S21       _

 

       х = S    :     =        :      = S1                              

 

                    0             Sn1                                          0

 

                                                                    _          1

задавшись ассортиментным вектором   У2 =     0        , получим     

 

                                                                                :

 

                                                                                0

 

                   0             S12

 

       _          1             S22        _

 

       х = S   :     =       :        = S2

 

                   0             Sn2

 

      Аналогично, валовый выпуск  х, необходимый для производства  единицы конечного продукта k-й  отрасли, составит

 

          

 

                   0           S1k

 

       _          :            S2k       _

 

       х = S   1   =      :       = Sk   ,                  ( 9 )

 

                   :            Snk

 

                   0

т.е. k-й столбец матрицы S.

 

      Из равенства ( 9 ) вытекает следующее:

Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х1=S1k, во 2-й х2=S2k и т.д., в i-й отрасли выпустить xi=Sik и, наконец, в n-й отрасли выпустить xn=Snk единиц продукции.

 

      Так при этом виде  конечного продукта производства  только единица k-го продукта, то величины S1k, S2k, …, Sik, …, Snk, представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n-й отраслей идущей на изготовление указанной единицы    k-го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a1k, a2k, …, aik, …, ank на единицу продукции k-й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k-й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i-й отрасли поступала бы только в k-ю отрасль в количестве aik, то производство k-й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли ( a1k ), 2-й отрасли (a2k ) и т.д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i-й отрасли ( ai1, ai2, … и т.д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2

 

      Пусть  нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли ( k=2 ) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли ( х2=1 ) затрачивается: продукции 1-й отрасли a12=0.4 и 2-й отрасли a22=0.1.

 

      Таковы будут прямые  затраты. Пусть нужно изготовить  у2=100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х1=0.4100=40 ? Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама ( а11=0.2 ), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х1=40+0.240=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х1'=48 и т.д. Но дело не только в этом. Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у2=100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно   обратиться к   составленной   систем  уравнений,  положив  у1=0  и   у2=1   ( см п.2 ):

 

       0.8х1 - 0.4х2 = 0

 

       -0.55х1 + 0.9х2 = 1

 

      Решив эту систему, получим х1=0.8 и х2=1.5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х1=0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S12. Таким образом, если а12=0.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли ( почему они и были названы прямые затраты ), то S12 учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые ( а12 ), так и косвенные затраты, реализуемые через другие ( в данном случае через 1-ю же ) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S12-a12=0.8-0.4=0.4

 

      Если коэффициент прямых  затрат исчисляется на единицу  валового выпуска, например а12=0.4 при х2=1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта.

 

      Итак, величина Sik характеризует полные затраты продукции i-й отрасли для производства единицы конечного продукта k-й отрасли, включающие как прямые ( aik ), так и косвенные ( Sik - aik ) затраты.

 

      Очевидно, что всегда  Sik > aik.

 

      Если необходимо выпустить  уk единиц k-го конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы ( 8 ):

 

       x1 = S1k·yk, x2 = S2k·yk, …, xn = Snk·yk ,

что можно записать короче в виде:

 

       _    _

 

       x = Sk·yk            ( 10 )       

Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный ассортимент-

 

                         _        у1

ным вектором У =    :      , то валовый  выпуск  k-й  отрасли  xk,  необходимый  для    его

 

                                   уn

обеспечения, определится на основании равенств ( 10 ) как скалярное произведение столбца Sk на вектор У, т.е.

 

                                                             _  _

 

       xk = Sk1y1 + Sk2y2 + … + Sknyn = Sk·y ,              ( 11 )

а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как произведение матрицы S на вектор У.

 

     Таким  образом,  подсчитав  матрицу  полных  затрат  S,  можно  по формулам ( 7 ) – ( 11 ) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У.

 

      Можно также определить, какое изменение в вектор-плане  Δх = ( Δх1, Δх2, …, Δхn ) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта ΔУ = ( Δу1, Δу2, …, Δуn ) по формуле:

 

         _          _

 

       Δх = S·ΔУ ,         ( 12 )

 

      Приведем пример расчета  коэффициентов полных затрат  для балансовой табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат:

    0.4

 

         А =  

 

                    0.55   0.1 

Следовательно,

 

                       1        -0.2      -0.4                0.8       -0.4  

 

      Е - А =                                         =

 

                     -0.55       1        -0.1               -0.55     0.9

Определитель этой матрицы

 

                                0.8     -0.4

 

       D [ E - A ] =                         = 0.5

 

                               -0.55    0.9

Построим присоединенную матрицу ( Е - А )*. Имеем:

 

                              0.9     0.4

 

       ( Е - А )* =                           ,

 

                              0.55   0.8

откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов полных затрат, будет следующей:

 

                                   1        0.9      0.4              1.8    0.8       

 

       S = ( Е - А )-1 = –––                            =

 

                                  0.5      0.55    0.8              1.1    1.6

 

      Из этой матрицы  заключаем, что полные затраты  продукции 1-й и 2-й отрасли, идущие  на производство единицы конечного  продукта 1-й отрасли, составляет S11=0.8 и S21=1.5. Сравнивая с прямыми затратами  а11=0.2 и а21=0.55, устанавливаем, косвенные  затраты в этом случае составят 1.8-0.2=1.6 и 1.1-0.55=0.55.

 

      Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство  единицы конечного продукта 2-й  отрасли равны S12=0.8 и S22=1.5, откуда  косвенные затраты составят       0.8-0.4=0.4 и 1.6-0.1=1.5.

 

      Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й  и 170 единиц 2-й отраслей.

Тогда необходимый валовый выпуск х =  х1 найдется из равенства ( 7 ):

 

                                                                       х2

 

       _        _          1.8     0.8         480            1000

 

       х = S·У =                         ·                =

     1.6         170             800     .

ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА                       КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т.Д.

 

      Расширим табл.1, включив  в нее, кроме производительных  затрат xik, затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т.д. дополнительные строки.

 

      Обозначим затраты  труда в k-ю отрасль через xn+1,k, и затраты капиталовложений –  через xn+2,k ( где k = 1, 2, …, n ). Подобно тому как вводились прямые затраты  aik,   

 

                                                                                                                    xn+1,k

введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда an+1,k = –––––  , и

 

                                                                                                                       xk

 

                                               xn+2,k

капиталовложений  an+2,k = ––––– ,  представляющих    собой  расход  соответствующего 

 

                                                  xk  

ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-й отраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу ( т.е. дописав их в виде дополнительных строк ), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:

 

                          a11     a12     …     a1k     …     a1n

 

                          a21     a22     …     a2k     …     a2n             основная часть матрицы

 

                          …………………………………

 

          А' =         ai1      ai2     …     aik      …     ain

 

                          …………………………………

an1     an2     …     ank     …     ann

an+1,1 an+1,2  …    an+1,k   …   an+1,n          

 

                          an+2,1 an+2,2  …    an+2,k   …   an+2,n           дополнительные строки

 

      При решение балансовых  уравнений по-прежнему используется  лишь основная часть матрицы  ( структурная матрица А ). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки.

 

      Так, пусть, например, производится  единица продукта 1-й отрасли, т.е.

 

       _       1

 

       У =   0

 

                 :

 

                0        .

 

      Для этого требуется  валовый выпуск продукции

 

                       S11

 

       _    _        S21

 

       x = S1 =     :

 

                       Sn1

 

      Подсчитаем необходимые  при этом затраты труда Sn+1,1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов an+1,k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S11, S12, …, S1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как an+1,1S11, во 2-ю – an+1,2S21 и т.д., наконец в n-ю отрасль an+1,nSn1. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:

 

                                                                                _    _

 

       Sn+1,1 = an+1,1S11 + an+1,2S21 + … + an+1,nSn1 = an+1S1  ,

т.е. равны скалярному произведению ( n+1 )-й строки расширенной матрицы А', которую обозначим an+1, на 1-й столбец матрицы S.

 

      Суммарные затраты  труда, необходимые для производства  конечного продукта k-й отрасли, составят:

 

                    _    _

 

       Sn+1,k = an+1Sk            ( 13 )

Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений:

 

                    _    _

 

       Sn+2,k = an+2Sk            ( 14 )

 

      Теперь можно дополнить  матриц S строками, состоящими из  элементов Sn+1,k и  Sn+2,k, образовать расширенную матрицу коэффициентов полных затрат:

 

                              S11     S12     …     S1k     …     S1n                 матрица коэффициентов

 

                              S21     S22     …     S2k     …     S2n                  полных внутрипроизводст.

 

                               …………………………………                  затрат 

 

              S' =          Si1      Si2     …     Sik      …    Sin

 

                               …………………………………                                                          ( 15 )

Sn1     Sn2     …     Snk     …    Snn

 

                               Sn+1,1 Sn+1,2  …   Sn+1,k   …   Sn+1,n               дополнительные строки

 

                               Sn+2,1 Sn+2,2  …   Sn+2,k   …   Sn+2,n   

 

      Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х ( для чего используется матрица S ), но и необходимые суммарные затраты труда xn+1, капиталовложений xn+2 и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У.