Автор работы: Пользователь скрыл имя, 10 Июня 2014 в 15:03, курсовая работа
Поскольку речь идет об одной из разновидностей систем координат – аффинной – дадим общее определение системы координат. Системой координат называется совокупность одной, двух, трех или более пересекающихся координатных осей, с точкой их пересечения (началом координат) и единичными отрезками на каждой из осей. Любая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат. В данной невырожденной системе координат каждой точке будет соответствовать только один набор координат. Если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, то система координат называется прямоугольной или ортогональной. Прямоугольная система координат, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу, называется ортонормированной или декартовой системой координат. Декартовая система координат является наиболее простой и наиболее используемой системой. Любая из ныне существующих систем координат имеет свои недостатки и достоинства.
2. Учитывая, что двухмерное пространство является частным случаем трехмерного, можно распространить сделанные выводы и на три измерения. В правосторонней системе координат, когда оси х и у выглядят привычным для всех нас образом, положительное направление оси z трехмерной системы координат будет направлено на наблюдателя (т.е. ось z "исходит" из листа бумаг, на котором начерчены оси х и у). Положительное направление поворота — это направление против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительной полуоси z, исходящей из фиксированной точки. Это же определение положительного направления поворота мы будем использовать и для трехмерного случая при повороте вокруг произвольной оси.
3. Двухмерное вращение на плоскости эквивалентно трехмерному вращению вокруг оси z. Все точки на плоскости, параллельной ху (т.е. имеющие одинаковое значение компоненты z), поворачиваются одинаково, сохраняя значение компонента z.
Эти свойства мы используем при выводе обобщенного преобразования поворота в трехмерном пространстве, не зависящего от конкретного фрейма. Для такого преобразования (рис. 4.32) нужно специфицировать три параметра — фиксированную точку (Pf), угол поворота (θ) и прямую или вектор, вокруг которого выполняется поворот (ось вращения). Если фиксированная точка задана, то в нашем распоряжении имеются 3 степени свободы: два угла необходимы для задания ориентации оси вращения и один угол задает сам поворот.
Поворот и сдвиг относятся к группе так называемых изометрических преобразований (или преобразований твердого тела — rigid-body transformations). Комбинация этих преобразований не может изменить формы объекта, а изменяет только его положение в пространстве — позицию и ориентацию. Следовательно, сами по себе повороты и смещения не дают полного набора аффинных преобразований. Преобразования, представленные на последующем рисунке , также являются аффинными, но не относятся к группе изометрических преобразований.
Масштабирование
Масштабирование (scaling) представляет собой анизометрическое аффинное преобразование.
Практически любое аффинное преобразование можно свести к суперпозиции преобразований масштабирования, поворота и сдвига. Преобразование масштабирования увеличивает или уменьшает размеры объекта. На рис.7 показаны два варианта масштабирования — пропорциональное (равномерное во всех направлениях или преобразование подобия) и растяжение только в одном направлении. Последний вариант также понадобится включить в набор элементарных преобразований, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем при моделировании и визуализации объектов.
Как видно на рис.7, преобразование масштабирования также имеет фиксированную точку. Таким образом, набор параметров этого преобразования включает фиксированную точку, направление, вдоль которого изменяется масштаб, и масштабный множитель (α). При α > 1 объект растягивается в заданном направлении, а при объект сжимается. При отрицательном значении а происходит отражение (reflection) объекта относительно заданной фиксированной точки в указанном направлении.