Работы Л. Эйлера в геометрии

МТЗ и СЗРТ

ГБОУ СПО

«Казанский строительный колледж »

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

на тему: «Работы Л. Эйлера в геометрии»

 

 

 

 

 

Выполнила:  студентка гр. С-9-22 Якупова Лейсан. Проверила: Школьникова Р. М.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Казань 2014 
   Содержание

 

Введение……………………………………………………………………………………..3

Углы Эйлера…………………………………………………………………………………3

Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями ………………………………………………………….4

Эйлерова Характеристика…………………………………………………………………..4

Исследование о кривизне поверхностей…………………………………………………...7

Работа об ортогональных траекториях…………………………………………………......8

Работа о  телах, поверхность которых может быть развернута в плоскость…………….8

Заключение…………………………………………………………………………………...8

Список литературы…………………………………………………………………………..9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

   Всех работ Эйлера по геометрии 75, и они занимают три тома полного собрания его сочинений. Часть, из них хотя и любопытна, но не очень важна. Некоторые же просто составили эпоху.

  

 

Углы Эйлера

  Эйлера надо считать одним из зачинателей исследований по геометрии в пространстве вообще. Он первый дал связное изложение аналитической геометрии в пространстве (во «Введении в анализ») и, в частности, ввел так называемые углы Эйлера, позволяющие изучать повороты тела вокруг точки. Углы Эйлера — углы, описывающие поворот абсолютно твердого тела в трёхмерном евклидовом пространстве. Углы Эйлера определяют три поворота системы, которые позволяют привести любое положение системы к текущему. Обозначим начальную систему координат как  , конечную как  . Пересечение координатных плоскостей   и   называется линией узлов  .

• Угол   между осью   и линией узлов — угол прецессии.
• Угол   между осями   и   — угол нутации.
• Угол   между осью   и линией узлов — угол собственного вращения.

Повороты системы на эти углы называются прецессия, нутация и поворот на собственный угол (вращение). Такие повороты некоммутативны и конечное положение системы зависит от порядка, в котором совершаются повороты. В случае углов Эйлера это последовательность 3,1,3 (Z,X,Z), то есть производится сначала поворот на угол   вокруг оси  , потом поворот на угол   вокруг оси  , и последним поворот на угол   вокруг оси  .

 

 

 

 

Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями

  В работе 1752 года «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями», Эйлер дал доказательство того, что у выпуклого многогранника с В вершин, Р ребер и Г граней эти числа всегда связаны соотношениями В — Р + Г = 2. Это в некотором смысле первая в истории математики крупная теорема топологии, самой глубокой части геометрии, которая (в несколько более общем виде) не утратила значения до сих пор.

Эйлерова Характеристика

Эйлерова характеристика или характеристика Эйлера — Пуанкаре — характеристика топологического пространства. Топологические свойства оболочки могут быть выражены через количество ее граней, ребер, вершин и циклов. Пусть оболочка содержит F граней, Е ребер, V вершин и L циклов. Число вершин, ребер, граней и циклов оболочки связаны между собой соотношением

(5.2.1)

где величина Н называется эйлеровой характеристикой оболочки. Формула (5.2.1) носит имя формулы Эйлера. Если каждая грань оболочки имеет один цикл, то   и слагаемое в скобках в левой части (5.2.1) может быть опущено. Одну и ту же оболочку можно построить из различного набора граней. Например, сферическую оболочку можно построить из двух полусфер или из нескольких сферических сегментов подобно футбольному мячу. Как будет видно далее, эйлерова характеристика оболочки не зависит от числа и формы составляющих ее граней, но зависит от природных характеристик оболочки, которые изучает топология.

Рассмотрим, как изменяется эйлерова характеристика оболочки при изменении составляющих ее элементов. Для этого будем изменять состав граней, ребер и вершин некоторого фрагмента оболочки, не изменяя состава остальной части оболочки.

Рис. 5.2.1. Эйлерова характеристика не изменяется при ликвидации ребра оболочки

При желании оболочкой можно считать только показанный на рисунках фрагмент. На рис. 5.2.1 показан фрагмент оболочки, у которого ликвидируется одно ребро. Из рисунка видно, что при ликвидации одного ребра число граней, число ребер и число циклов уменьшается на единицу, а эйлерова характеристика оболочки не изменяется.

Если объединить два ребра, ликвидировав общую для них вершину, то число ребер и вершин оболочки уменьшатся на единицу. Если разрезать ребро на две части, вставив вершину, то число ребер и вершин оболочки увеличится на единицу. Эйлерова характеристика оболочки в обоих случаях не изменится. При введении одного дополнительного ребра между существующими вершинами число граней, число циклов и число ребер увеличится на единицу.

Рис. 5.2.2. Эйлерова характеристика не изменяется при добавлении ребра в оболочку

При введении дополнительного ребра с добавлением двух новых вершин на его концах число граней и циклов увеличивается на единицу, число ребер увеличивается на три из-за деления двух существующих ребер на две части и добавления нового ребра, а эйлерова характеристика оболочки не изменяется, что показано на рис. 5.2.2.

Эйлерова характеристика оболочки не изменяется и при введении одного дополнительного ребра, соединяющего существующую вершину и новую вершину, делящую существующее ребро на два ребра.

В приведенных примерах все грани не изменяли число ограничивающих их циклов, а все новые грани имели один цикл. В общем случае грань может иметь вырезы внутри. Грань с вырезами с топологической точки зрения отличается от грани без вырезов, так как первую нельзя преобразовать во вторую путем деформирования.

Рис. 5.2.3. Добавление грани и двух циклов в оболочку

Число вырезов в грани также играет существенную роль. Топологически эквивалентными являются грани, которые путем деформирования могут быть преобразованы одна в другую. Для этого грани должны иметь одинаковое число вырезов или одинаковое число циклов. На рис. 5.2.3 показано добавление новой грани в оболочку путем введения замкнутого ребра, целиком лежащего внутри существующей грани.

Число граней, ребер и вершин при этом увеличится на единицу, а число циклов увеличится на два (цикл на добавленном замкнутом ребре должен быть посчитан дважды: один раз в одной грани, второй раз — в другой грани). Эйлерова характеристика оболочки при этом также не изменится. Эйлерова характеристика оболочки не изменится, если мы преобразуем грань с двумя циклами в грань с одним циклом, что приведено на рис. 5.2.4.

Рис. 5.2.4. Добавление ребра и ликвидация внутреннего цикла грани

Покажем это. Пусть новое ребро начинается и оканчивается в уже существующих вершинах, тогда число ребер увеличится на единицу, число циклов уменьшится на единицу, а эйлерова характеристика не изменится.

Все перечисленные модификации оболочки не изменяют ее эйлеровой характеристики. Это иллюстрирует то, что эйлерова характеристика не зависит от способа разбиения оболочки на грани, а зависит только от природы оболочки.

Рассмотрим еще один пример, показывающий, что эйлерова характеристика зависит от топологии оболочки, и не зависит от способа раскроя ее на грани.

Рис. 5.2.5. Эйлерова характеристика оболочек различна

Возьмем оболочку в форме четырех угольной призмы и превратим ее в оболочку в форме четырехугольной призмы с четырехугольным отверстием, что показано на рис. 5.2.5.

Исходная оболочки имела следующие числа граней, циклов, ребер и вершин:   и ее эйлерова характеристика равна  Результирующая оболочки имеет: граней   циклов   ребер   вершин   а ее эйлерова характеристика равна  . В двух гранях увеличилось число циклов (было по одному циклу, а стало по два).

Рис. 5.2.6

 

Эйлерова характеристика новой оболочки уменьшилась на две единицы. Повторим переход от той же призматической оболочки к призматической оболочке с вырезом, только верхнюю и нижнюю грань исходной оболочки представим в виде совокупности девяти граней, как показано на рис. 5.2.6.

Исходная оболочки имела следующие числа граней, циклов, ребер и вершин:   и ее эйлерова характеристика равна  . Результирующая оболочки имеет: граней   циклов   ребер   вершин   а ее эйлерова характеристика равна  . Все грани в исходной и результирующей оболочках имеют по одному циклу. Эйлерова характеристика результирующей оболочки, как и предыдущем примере, уменьшилась на две единицы.

Это произошло в результате того, что мы получили оболочку, которая топологически неэквивалентна исходной оболочке. Действительно, представив, что обе оболочки, показанные на рис. 5.2.5, выполнены из легко деформируемого материала, скруглив углы, из первой оболочки получим сферу, а из второй — тор (рис. 5.2.7).

Рис. 5.2.7. Сфера и тор имеют различную топологию

Никакими деформациями невозможно из сферы получить тор — они имеют разную топологию.

Эйлерова характеристика оболочки отражает ее природные свойства, связанные с возможностью деформировать одну оболочку в другую или, другими словами, установить между ними взаимно однозначное соответствие. Для описания топологических свойств оболочек и их граней используется понятие связности. Оболочки одинаковой связности могут быть деформированы одна в другую при условии, что они имеют равное число границ и одинаковую ориентируемость.

Исследование о кривизне поверхностей

В работе «Исследование о кривизне поверхностей» (1760 год) Эйлер рассматривает вопрос, до того никем подробно не изучавшийся. В дифференциальной геометрии, кривизна́ — собирательное название ряда количественных характеристик (скалярных, векторных, тензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» (кривой, поверхности, риманова пространства и т. д.) от соответствующих «плоских» объектов (прямая, плоскость, евклидово пространство и т. д.). Ответ на вопрос о том, какова изогнутость линии на плоскости в данной ее точке, состоит просто в нахождении радиуса такой окружности, которая так же изогнута. Он был решен Ньютоном. Этот радиус равен где y = f(x) — уравнение линии, а у' и у" — ее первая и вторая производные в этой точке.

Для поверхности все гораздо сложнее. Метод исследования этого вопроса очень характерен для Эйлера. Пусть М — точка поверхности. Он сначала находит формулу для радиуса кривизны R в точке М для кривой, получающейся сечением поверхности совсем произвольной плоскостью, проходящей через М. Формула получается сложной. Затем он рассматривает только нормальные сечения — такие, когда секущая плоскость проходит через нормаль (т. е. через перпендикуляр) в М к плоскости, касающейся поверхности в точке М. Формула становится проще. Наконец, он обнаруживает, что есть такие два взаимно перпендикулярных («главных») нормальных сечения, радиусы кривизны для которых R1 и R2 — наибольший и наименьший. При их помощи получается уже совсем простая формула для радиуса кривизны любого нормального сечения.

 

Работа об ортогональных траекториях

Ортогональные траектории - линии, пересекающие заданное семейство кривых под прямым углом. Работа 1769 года «Об ортогональных траекториях» Эйлера содержит блестящие соображения о получении с помощью функции комплексной переменной из уравнений двух взаимно ортогональных семейств кривых на поверхности (т. е. таких линий, как меридианы и параллели на сфере) бесконечного числа других взаимно ортогональных семейств. Работа эта в истории математики оказалась очень важной.

 

Работа о  телах, поверхность которых может быть развернута в плоскость

В следующей работе 1771 года «О телах, поверхность которых может быть развернута в плоскость» Эйлер доказывает знаменитую теорему о том, что любая поверхность, которую можно получить, лишь изгибая плоскость, но не растягивая ее и не сжимая (как лист бумаги, который легко изгибается, но почти нерастяжим), если она не коническая и не цилиндрическая (т. е. не получается движением образующей прямой, проходящей постоянно через одну точку или параллельно самой себе), представляет собой совокупность касательных к некоторой пространственной кривой (ее ребру возврата).

 

Заключение

В заключение описания геометрических работ Эйлера мы приводим высказывание немецкого математика Коммереля: «Слава и заслуги Гаусса не пострадают, если мы укажем на то, что ряд мыслей и методов, которые Гаусс так блестяще использовал в «Disquisitiones generates» (правда, частично лишь в специальной форме или лишь неполно формулированные), имеется уже у Эйлера. Речь идет, например, о сферическом отображении (когда куску поверхности ставится в соответствие кусок сферы радиуса 1, состоящий из всех таких точек, в которых радиусы этой сферы параллельны нормалям к поверхности в точках этого ее куска)-, о задании поверхности в параметрической форме, совпадении линейных элементов как условии наложимости при изгибании, об исследовании геодезических линий (т. е. кратчайших линий на поверхности между двумя ее точками) при помощи угла, который они образуют с кривыми некоторого семейства на поверхности, и другие».