Производственная функция

V

Производственная  функция

Возникновение данного понятия относят к 1928 г., когда появилась статья американских ученых Д. Кобба и П. Дугласа "Теория производства". В этой статье была предпринята попытка определить эмпирическим путем влияние затрачиваемого капитала и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США. Были использованы статистические данные за 1899-1922 гг. и поставлены следующие задачи:

1. Определить параметрический класс функций, наиболее точно приближающий количественные соотношения между тремя выбранными характеристиками производственной деятельности.
2. Найти числовые параметры, задающие конкретную функцию этого класса.
3. Сравнить результаты, получаемые как значения функций, с фактическими данными.

Д. Коббом была предложена функция вида Y = AK^аЬ^в\ где Y - объем выпущенной продукции, K - объем основного капитала, L - затраты труда, A, а, в - числовые параметры. Заранее накладывались условия A > 0,

а, в > 0 а + в = 1-

Была  составлена система уравнений

ln Y_t = ln A + a ln K_t + в ln L_t, 1899 < t < 1922,

где Yt, K_tj L_t - фактическое значение соответствующих величин в год t. Методом наименьших квадратов отыскивалось псевдорешение (A,a,в) данной системы. При этом оказалось, что A = 1.01 а = 0.25, в = 0.75, и вся функция получила вид Y + 1.01 • k°'²⁵L°'⁷⁵.

Сравнение величины Y(K_t, L_t) с фактическими значениями Y_t показало, что полученная зависимость дает хорошее приближение к действительности. Отклонения величин Y(K_t, L_t) и Y_t были связаны с периодами депрессии и оживления деловой активности.

Эти результаты и привлекли внимание как экономистов, так и математиков к определению и использованию производственных функций.

Вопрос  об адекватном описании экономической  реальности на языке производственных функций тесно связан с проблемой агрегирования экономических показателей. Пусть вектор £ = (£₁,£₂,... , £к) Е R+ описывает набор ресурсов, необходимых для функционирования производственного процесса Р, п = (11,12,... ,1s) Е R+ представляет вектор товаров, выпускаемых данным процессом. Зависимость затраты-выпуск задается отображением Р : R+ ^ 2^R+, ставящим в соответствие всякому набору ресурсов £ Е R+ множество Р(£) С R+ возможных товаров и услуг. Если отображение Р достаточно подробно описывает реальную технологию, то число учитываемых факторов достаточно велико.

Введем два  однозначных отображения:

1 : R+ ^R+, v : R+ ^ R+,

называемые  отображениями агрегирования.

Функция 1 ставит в соответствие вектору ресурсов £ Е R+ вектор х = i(£) Е R+ с меньшим числом координат (n < k), что интерпретируется как объединение, агрегирование нескольких различных видов ресурсов

n

щенных  ресурсов оказывается небольшим. Например, пусть первые три координаты £1, £₂, £3 вектор а £ означают £₁ = 10 тонн стального проката, £₂ = 15 тонн чугунного проката, £₃ = 5 тонн латунного проката. При

1

заменены  одной координатой х₁ вектор a x = ц(£), где х₁ = £₁ + £₂ + £₃ = 30

тонн  проката черных и цветных металлов. Если же было решено измерять данный обобщенный показатель в стоимостных терминах, то координата Х\ вектор a x = ц(£) может иметь вид x\ = pi£i + p₂£₂ + p₃£₃ ^_ на такую сумму требуется проката черных и цветных металлов, где p\,p₂,p₃ - цена одной тонны проката соответствующего вида. Хотя в приведенных примерах агрегирование производилось с помощью линейных отображений, тем не менее, на отображение д никаких априорных условий не накладывается. Аналогично можно привести примеры агрегирования различных видов труда к одному обобщенному виду, например, суммированием общего числа работников или подсчетом суммарной заработной платы, или каким-либо иным способом.

Отображение v ставит в соответствие материальному результату п £ P (£) производства набор чисел y = v (п) £ R™ - количественных оценок этого результата (стоимость выпущенной продукции, прибыль и т.д.). Такими количественными оценками могут служить, например, физический объем выпуска по обобщенным наименованиям выпускаемой продукции, стоимостные показатели.

Предположим, что отображения P,n,v,f заданы. Производственной функцией процесса P назовем такую однозначную функцию f : R+ ^ R что имеет место тождество

(№£ 6R+) f (р(£)) = v(P(£)). (7)

Данное  соотношение между P,д, v, f можно выразить диаграммой, приведенной на Рис. (2).

Ясно, что функциональное уравнение (7) не всегда имеет решение. В принятой интерпретации это означает, что  не для всякого производственного процесса P при заданных отображениях агрегирования ц, v существует производственная функция. В связи с этим необходимо учитывать следующие обстоятельства:

f

читься, что тождество (7) выполнятся не при произвольном £ £ R+,

Рис. 2:

 

а лишь в пределах некоторой области  D С R+, поэтому функцию надо рассматривать лишь на образе D = д(Б) С R™ этой области при отображении д. В этом случае может потребоваться несколько производственных функций с разными областями определения.

2. Весьма важен правильный выбор отображений агрегирования д и v. Может случиться, что при некоторых их значениях не существует производственной функции, моделирующей производственный процесс, в то время как при подходящем задании отображений д и v такую функцию удается построить.
3. Может оказаться, что существует производственная функция /, для которой равенство (7) выполняется приближенно но с достаточной степенью точности, что вполне позволяет использовать ее как модель производственного отображения P.
4. В реальных ситуациях построение производственной функции происходит обычно на основе ограниченного статистического материала. В этом случае отчетные данные, на основе которых строится функция, заполняют ограниченные участки соответствующих пространств. При этом может оказаться, что удобная аналитическая форма представле-

ния результатов  дает правильные результаты только в  пределах неко-

D

Несмотря  на широту приведенного определения  производственной функции, в основном изучен случай, когда m = 1, т.е. когда имеется единственная оценка результатов производства. В этом случае производственная функция обычную скалярную функцию n переменных. Мы в дальнейшем будем рассматривать только этот случай.

Основные  математические характеристики производственных функций и их экономическую интерпретацию рассмотрим на примере двухфакторной производственной функции. Обозначим через K объем основных фондов либо в стоимостном выражении, либо в количественном. Пусть L - числовое выражение объема трудовых ресурсов, т.е. число рабочих, число человеко-дней и т.п., Y - объем выпущенной продукции в стоимостном выражении либо, если рассматривается отрасль выпускающая один продукт, в натуральном. Тогда производственная функция имеет вид

Y = F(K, L). (8)

Обычно требования на производственную функцию заключаются  в требовании гладкости, монотонности и выпуклости

dF dF

ак>⁰ Ж>^0 (9)

д ²F д ²F

_Ж2 < ^ ^K,L> ⁰ (10)

Смысл условий (9) ясен: при увеличении объема одного из продуктов при неизменном объеме другого выпуск продукции возрастает. Условия (10) означают, что при фиксированном объеме одного из факторов последовательное увеличение другого приводит ко все меньшим приростам произведенного продукта.

Основными экономико-математическими характеристиками производственной функции являются:

1. Средняя производительность труда y = Y/L- отношение объема произведенного продукта к количеству затраченного труда.
2. Средняя фондоотдача z = Y/K -отношение объема произведенного продукта к величине основных фондов.
3. Фондовооруженность труда k = K/L объем основных фондов, приходящийся на одного работника.
4. Предельная производительность труда v = dF/dL характеризует величину дополнительного эффекта от каждой дополнительной единицы

K, L

5. Предельная фондоотдача определяется аналогично:

r = dF/dK.

6. Коэффициент эластичности по фондам определяется равенством

dF K

а = .

dKY

Поясним данную формулу. Пусть приращению AK основных фондов при неизменном втором факторе - трудовых ресурсах - соответствует

AY

фондов  на AK/K • 100% соответствует увеличение выпуска на AY/Y • 100%. Следовательно при увеличении основных фондов на 1% объем выпуска увеличится на

AFK %

AKY .

Переходя в последнем равенстве  к пределу при AK ^ 0 получаем определение коэффициента эластичности по фондам.

7. Коэффициент эластичности по труду имеет аналогичный смысл.

dFL

а =

dLY Выпуклость

Выпуклые множества

Пусть xi,x₂ £ Rⁿ. Множество

[xi, x₂] = {x = ax₁ + (1 — a)x₂ : 0 < a < 1} 

называется отрезком., соединяющим точки x₁,x₂ £ Rⁿ. Чтобы пояснить геометрический смысл данного понятия, вспомним, что параметрическое уравнение прямой в Rⁿ, проходящей через точки x₁,x₂ £ Rⁿ, имеет вид z(а) = x₂ + (x₁ — x₂)a, где x₁ — x₂ - направляющий вектор прямой. Когда а меняется в пределах от 0 до 1, точка z^) пробегает весь отрезок между точками x₁ и x₂. Перегруппировав члены мы получим z(а) = ax₁ + (1 — a)x₂.

Подмножество D С Rⁿ называется выпуклым множеством, если

(x₁,x₂ £ D) ^ [x₁,x₂] С D,

т.е. если вместе с люыми двумя своими точками, оно целиком содержит и отрезок  их соединяющий.

D1 , D2

пуклыми также являются множества

D₁ П D₂ = {x : x £ D]^,x £ D₂} ,

D1 + D2 = {x = x1 + x2 : x1 £ D1,x2 £ D2} ,

представляющие пересечение и сумму исходных множеств.

Основным  свойством, характеризующим выпуклые множества, является так называемое свойство отделимости. Для пояснения рассмотрим на плоскости замкнутое выпуклое множество X и точку d, не принадлежащую этому множеству (рис. 3). Найдется такая прямая ax₁ + bx₂ = с, что множество X и точка d = (d₁,d₂) лежат по разные стороны от нее, т.е. длл любой точки (x₁,x₂) £ X выполняется неравенство ax₁ + bx₂ < с, в то время как для точки (d₁, d₂) имеет место противоположное неравенство: ad₁ + bd₂ > с. Строгая формулировка свойства отделимости для выпуклых множеств имеет вид [2]

Теорема 1 (о разделяющей гиперплоскости) Пусть X С Rⁿ замкнутое выпуклое множество, a £ Rⁿ точка такая, что a £ X. Тогда сущщесгпвуегп гиперплоскость с нормалью p = 0, такая, что p^Ta > с и (Vx £ X) (p^Tx < с).

Рис. 3:

 

Выпуклые  функции

Функцию f : X ^ R можно охарактеризовать через ее надграфик, который является подмножеством множества X xR.

f

r(f ) = {(ж, А) е X xR : f (x) < А} .

Подграфиком функции f : X ^ R называется надграфик функции —f. В дальнейшем будет полезно следующее свойство надграфика (докажите его!).

Теорема 2 Рассмотрим семейство функций fi : X ^Ru его верхнюю огибающую sup_l f. Тогда

r^sup ^f^ = П ^r(fi⁾. (И)

Функция f : X ^ R называется выпуклой вверх, если ее надграфик r(f ) является выпуклым множеством. Функция f : X ^ R называется выпуклой вниз (вогнутой), если выпуклым является ее подграфик. В дальнейшем, если это не приводит к недоразумениям, будем использовать термин выпуклая функция как для выпуклых вверх, так и для выпуклых вниз (вогнутых) функций.

Теорема 3 Функция f : X ^ R является выпуклой тогда и только тогда, если

(Vxi, x₂ е X, Va е [0,1])

(f (axi + (1 — а)ж2) < af (xi) + (1 — a)f (x₂)). (12)

f

надграфика r(f), имеем

^(xi^{,f (x}l^{), (x}2^{, f (x}2^{)) е r(f)} ^

(Va е [0,1]) a(xi,f (xi)) + (1 — a)(x2, f (x2)) =

= (axi + (1 — a)x2, af (xi) + (1 — a)f (x2)) е r(f).

Но последнее включение, в соответствии с определением надграфика, означает f (ax_i + (1 — a)x₂) < af (x_i) + (1 — a)f (x₂), что и требовалось доказать.

Достаточность. Пусть имеет место условие (12). Рассмотрим две произвольные точки (xi, А), (x₂, д) е r(f). Тогда, в силу определения надгра-

a (1 — a)

f (x_i) < А, f (x₂) < ц ^ af (x_i) + (1 — a)f (x₂) < aX + (1 — a)д.

Следовательно, учитывая (12), имеем

f (ax_i + (1 — a)x₂) < aX + (1 — a)д,

что и  означает включение (ax_i + (1 — a)x₂, aX + (1 — о)д) = a(x_i, А) + (1 — a)(x₂,^) е r(f). Достаточность доказана.

Следующие утверждения (докажите их самостоятельно!) дают способы построения выпуклых функций  по заданным:

1. Если fi и f₂ - выпуклые функции, то выпуклыми будут функции gi^(x) = ^fi^(x) + ^f2^(x) и §2^(x) = max^{fi^(x),/2^(x)};
2. Если f : X x Y ^ R - выпуклая функция, то функция f : X ^ R, определенная по формуле

^x) = ⁱⁿf g^(x,y^),

уеУ

является выпуклой.

Из курса математического  анализа известны следующие свойства дифференцируемых выпуклых функций:

1. Если f : R ^ R - выпуклая вниз дважды дифференцируемая функция, то f" > 0;
2. f : D С Rⁿ ^ R - выпуклая вниз дважды дифференцируемая функция, то (Vx £ D) ((x^TH(x)x > 0), где H(x) - матрица вторых производных.
3. Локальный безусловный экстремум выпуклой функции является ее глобальным экстремумом.
4. Множество экстремальных значений выпуклой функции на выпуклом множестве является выпуклым.
5. Строго выпуклая функция на выпуклом множестве имеет единственный экстремум.