Принципы продуктивного повторения и их реализация в старших классах математики

Продуктивное повторение на уровне теорий освещает полученные знания в плане не только внутри-предметных, но и меж предметных-связей, так как многие понятия различных учебных предметов получают единую трактовку с позиций какой-либо одной теории. Разумеется, в 7-9 классе, когда только начинается изучение систематического курса геометрии, продуктивное повторение на уровне теорий невозможно.

Для того чтобы продуктивное повторение сыграло определенную положительную роль, нужно не эпизодическое, а систематическое, целенаправленное его использование после изучения различных тем, разделов и всего курса в целом.

В методической литературе по математике наибольшее распространение получили следующие виды повторения:

• повторение в начале учебного года;
• текущее повторение ранее пройденного материала в связи с изучением нового и вне связи с новым материалом;
• тематическое повторение с целью систематизации и обобщения учебного материала, изученных тем;
• заключительное повторение в конце учебного года или после прохождения всего курса

Рассмотрим повторение в начале учебного года, которое обусловлено необходимостью восстановить в памяти учащихся минимум знаний, которые стали бы опорой для дальнейшего изучения самой математики и других предметов. Планируя такое повторение на первом курсе, следует учитывать, что общий уровень математической подготовки поступающих в колледж выпускников девятилетней школы зачастую недостаточен для успешного овладения нового программного материала по математике.

Как показывает опыт, наиболее целесообразно повторение в начале учебного года на первом курсе организовать по принципу обзора и систематизации фактов, понятий и зависимостей, отмеченных выше. Это облегчает включение учащихся в круг новых идей и методов, рассматриваемых в курсах алгебры с началами анализа и геометрии.

Повторение должно быть направлено также на ликвидацию пробелов в математической подготовке учащихся, на выравнивание их знаний.

В процессе вводного повторения приходится систематизировать сведения из учебников по математике с 4-ого по 9-ый классы. И это определяет специфику работы преподавателя и учащихся: отдаётся преимущество повторению на уроке, а домашние задания с использованием учащимися нескольких учебников исключаются.

Наряду с обзорными беседами преподавателя широко применяются обобщающие таблицы на классификацию понятий, таблицы-справочники, задачи на готовых чертежах, схемы, фолии, DVD и CD диски.

Стараюсь добиться, чтобы на этих уроках работали все учащиеся и притом каждый в меру своих сил, возможностей и способностей.

 

Организовать повторение материала на практической основе:

• по каждой теме предусмотрено выполнение учащимися самостоятельных работ. Для проведения каждой самостоятельной работы заготавливить 6 вариантов карточек;
• готовить тексты математических диктантов.

Итак, для организации повторения учебного материала с учащимися 7-9 класса можно использовать математические диктанты, таблицы, упражнения, тексты для самостоятельной работы.

 

Результаты этого вводного повторения фиксировать в таблице в виде оценок “5”, “4”, “3”.

 

Например:

 

 

 

Класс ____

№ п/п	Ф.И.О. учащегося	дроби	отрицательные числа	квадратныеуравнения	действия со степенями	элементарные графики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание и методика обобщающего повторения на примере темы: “Четырехугольники”.

 

Решением одной из важных задач общеобразовательной и профессиональной школы является усиление прикладной направленности обучения. В этой связи важно выработать у учащихся умение при решении конкретных вопросов ориентироваться на существенные свойства объектов и явлений.  Большие возможности для формирования такого умения имеются при изучении темы "Четырёхугольники".

Предлагаемый материал представляет большие возможности для организации разных форм коллективной учебно-познавательской деятельности учащихся, формирования их диалектико–материалистического мировоззрения, закладывает фундамент для развитая умения применять геометрические знания при решении вопросов жизненно–практического и производственного характера.

В качестве ведущей идеи берем идею четкого разграничения свойств и признаков параллелограмма и его частных видов.

Прежде всего нужно добиться, чтобы учащиеся научились различать понятия "свойство фигуры" и "признак фигуры". Если дано, что фигура параллелограмм, и исходя из этой посылки доказывают некоторые соотношения между элементами рассматриваемой фигуры, то каждое из этих соотношений называется свойством фигуры, о которой речь идет в условии теоремы.

Например, теорема: "У параллелограмма противоположные стороны равны, противоположные углы равны", кратко может быть записано так:                                        

 Дано:  АВСД – параллелограмм.                                        

 Доказать:  1) АВ = СД; АД = ВС                                                       

2) ÐА = ÐС; ÐВ = ÐД

Каждое из соотношений (1), (2) заключения теоремы дает свойство параллелограмма.

В теореме же "Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм" указаны соотношения между элементами некоторого четырехугольника (АО=ОС, ВО=ОД) и доказывается, что при их выполнении четырехугольник будет принадлежать к классу параллелограммов (будет являться параллелограммом).  В этом случае условия (АО=ОС, ВО=ОД) называют признаками параллелограмма, т. к. при их выполнении мы можем смело утверждать, что четырехугольник, для которого выполняются эти условия, обязательно будет параллелограммом (теорема).

Более глубокого и осознанного усвоения понятий "свойство" и "признак" можно добиться, если связать их с понятиями "необходимое условие", "достаточное условие", "необходимое и достаточное условие".

Сообщаем школьникам, что любая теорема может быть записана в виде АÞВ, где А — условие теоремы (что дано), а В — заключение теоремы (что требуется доказать).

Если доказана теорема АÞВ, то А является достаточным для В (как только есть А, то сейчас же будет и В), а В — необходимо для А, из А неизменно (необходимо) следует В.

Ещё более убедительное обоснование того, почему условие В считается необходимым для А, можно дать, если познакомить учащихся с вопросом о видах теорем и связи между ними. Записываем схему:

(1) АÞВ                  ВÞА (2)

(3) нет А Þ нет В   нет В Þ нет А (4)

Сообщаем, что если утверждение (1) назвать прямым, то утверждение (2) будет к нему обратным, утверждение (3) — противоположным прямому, а (4)—противоположно обратному. Далее доказывается, что из справедливости утверждения (1) следует справедливость утверждения (4) [(1)Þ(4)] и наоборот, т. е. (4)Þ(1).

Сообщается, что если (1)Þ(4), то утверждения называются эквивалентными. Аналогично эквивалентны утверждения (2) и (3) [(2)Û(3)].

Словами формулу (1)Þ(4) можно расшифровать так: если из условия А следует (вытекает) условие В, то без в нет и А (из нет в нет А), иными словами В необходимо для А (без В не будет и А).

А далее сообщаем, что необходимое условие дает нам свойство, а если условие не только необходимо, но и достаточно, то получаем признак.

Иными словами, чтобы получить свойство В какого-нибудь объекта А, достаточно доказать теорему АÞВ, а чтобы убедиться, что рассматриваемое свойство В является признаком, следует ещё доказать теорему ВÞА (обратную).

Вместе с учащимися вспоминаем все свойства параллелограмма и составляем таблицу.

Дано: АВСД – параллелограмм

Доказать:      1) АВ || СД

2)  ВС || АД

3)  АВ = СД

4)  ВС = АД

5)  АО = ОС

6)  ВО = ОД

7)  ÐА = ÐС

8)  ÐВ = ÐД

9)  ÐА + ÐВ = 1800

10)ÐС + ÐВ = 1800

11)ÐС + ÐД = 1800

12)ÐА + ÐД = 1800

Обращаем внимание на тот факт, что каждое из условий 1–12 вытекает из того, что АВСД — параллелограмм, следовательно, каждое из них является необходимым условием того, чтобы четырехугольник АВСД был параллелограммом. Легко убедиться, что из каждого из условий 1–12 не следует, что АВСД — параллелограмм (например, если дано, что АВ II СД, что имеем трапецию, ибо ВС || АД).

Таким образом, каждое из условий 1–12, взятое в отдельности, признаком параллелограмма не является. Теперь начнём комбинировать свойства по два (Сколько таких комбинаций будет? Как сосчитать все комбинации, чтобы быть убеждённым, что ни одна не пропущена?). Убеждаемся, что некоторые из комбинаций дают признак параллелограмма. Какие из комбинаций по два дают известные уже вам признаки параллелограмма? [(1, 2), (1, 3), (2, 4), (5, 6)].

В то же время легко видеть, что не каждая из комбинаций по два дает признак параллелограмма. Например, из того что АВ II СД и ВС = АД следует, что фигура АВСД — равнобочная трапеция, а не параллелограмм.

Вопрос, сколько же всего признаков у параллелограмма?

Для ответа на этот вопрос нужно перебрать все возможные комбинации и либо доказать полученную теорему, либо привести пример, опровергающий её. Эта работа может быть дана в качестве индивидуальных заданий на дом хорошо успевающим учащимся, или еще лучше, предложена в качестве коллективной работы кружковцам. Здесь встают интересные вопросы о планировании работы, о разделении труда при решении этой проблемы, об организации самоконтроля и взаимоконтроля, о подведении окончательных итoгoв, т.e. вопросы, возникающие при организации любой трудовой деятельности.

 

 

Рассмотрение примеров показывает, как достаточно широко можно использовать обучающие, развивающие и воспитывающие функции задач в их единстве. В самом деле, в ходе решения этих задач используются различные свойства геометрических фигур, активно работает метод параллельного переноса и прием построения вспомогательной фигуры с весьма интересными свойствами, тесно связанными со свойствами заданной (искомой) фигуры (реализуются различные развивающие функции), задача легко моделируется (дотекает опытные решения),  возбуждает интерес школьников (реализуются воспитывающие функции). Задача такова, что может служить источником разнообразных аналогичных задач, многие из которых как показал опыт, успешно составляются самими школьниками, что способствует формированию у них творческой активности.

Опыт показывает, что успешность в реализации воспитывающих функций математических задач во многом определяется пробуждением у учащихся интереса к данной задаче, возникновением у них устойчивой потребности в её решении, наличием интереса к самому процессу решения задач на основе последнего часто возбуждается и формируется интерес учащихся к изучению самой математики и смежных учебных дисциплин, интерес к учению в целом.

Факторы, существенно влияющие на формирование у учащихся устойчивого интереса к решению математических задач, весьма разнообразны. К ним, например, относится доступность предложенной задачи, внешняя или внутренняя занимательность задачи, осознанная возможность проявить при этом творческую самостоятельность

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

 

Темой данной курсовой работы является одна из важных проблем обучения математике в школе - организация итогового повторения курса геометрии 7-9 класса. В работе рассмотрены общие принципы организации продуктивного  повторения, разработаны уроки продуктивного  повторения по теме «Четырехугольники» , а также приведена подборка задач, которые можно использовать на данных уроках.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1. Геометрия: Учебник для 7-9 классов средней школы /Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. - М: Просвещение, 1990.
2. Далингер В.А. Методические рекомендации к проведению продуктивного повторения /Математика в школе. - 1983. - №1.
3. Бескин Н.М. “Методика геометрии”. Учебник для педагогических институтов. Учпедгиз. 1947.

 

Интернет - источники:

 

1. http://www.uraledu.ru/files/Matematika-7-9kl.pdf
2. http://nauka-pedagogika.com/viewer/16839/d#?page=9