Применение преобразований плоскости при решении задач планиметрии

Замечание. Треугольники АВС и А₁В₁С₁ гомотетичны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2

 

2.1. Решение задач

 

Обучение решению задач  является одним из основных элементов  математического образования. Вместе с тем – это наиболее трудный  вид деятельности и для учеников, и для учителей. В курсовой рассматривается  эффективный метод решения геометрических задач – метод подобия. Освоение этого метода весьма полезно для учителя математики.

Рассмотрим применение подобия плоскости, в частности  гомотетии, при решении задач  элементарной геометрии.

Рассмотрим примеры  применения гомотетии для доказательства некоторых хорошо вам известных фактов из планиметрии. Для этого докажем сначала довольно простое утверждение.

 

Пример 2. Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим треугольник А₁В₁С₁. Через его вершины проведем прямые, параллельные противоположным сторонам. Получим треугольник АВС, гомотетичный данному, с центром в точке H.

Покажем, что вершины первого треугольника служат серединами сторон второго треугольника:

ВС_1║ А₁В_1,  ВА_1║ В₁С₁ (по построению) => ВС₁В₁А₁ - параллелограмм

=> ВС₁ = А₁В_{1 ,} ВА₁ = В₁С_1. Аналогично С₁А₁ = А₁В₁= ВС_1, СВ₁ = С₁А₁ = В₁А_.

Высоты А₁Н₁, В₁Н₂ и С₁Н₃ исходного треугольника проходят через середины сторон треугольника АВС. В силу параллельности соответственных сторон рассматриваемых треугольников, прямые А₁Н₁, В₁Н₂ и С₁Н₃ будут перпендикулярны соответственным сторонам треугольника  АВС. Иными словами, эти прямые будут серединными перпендикулярами к сторонам треугольника АВС.

Докажем то, что серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке:

Пусть H₂ – точка пересечения С₁А₁ и В₁Н_1. Тогда В₁Н₂ перпендикулярно С₁А_1, то есть В₁Н₂ – это высота треугольника А₁В₁С_1. Значит прямые, содержащие высоты этого треугольника пересекаются в одной точке.

Ну из того, что рассматриваемые прямые А₁Н₁, В₁Н₂ и С₁Н₃ пересекаются в одной точке как серединные перпендикуляры  треугольника АВС, следует, что они пересекаются и как высоты треугольника А₁В₁С₁. Что и требовалось доказать.

Для того чтобы сформулировать следующий пример, нам понадобится  определить окружность девяти точек (окружность Эйлера).

Определение 2. Окружностью Эйлера называется окружность, проходящая через середины сторон треугольника. Центр этой окружности называют точкой Эйлера  для данного треугольника. Эту окружность называют также окружностью девяти точек, так как она проходит через девять замечательных точек треугольника: три середины сторон, три основания высот и три середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами треугольника.

 

Пример 3. (Прямая Эйлера.) В произвольном треугольнике точка пересечения высот (ортоцентр Н), точка пересечения медиан (центроид М), центр описанной окружности О и центр окружности Эйлера О₁ лежат на одной прямой – прямой Эйлера, при этом НО₁:О₁М:МО=3:1:2.

Доказательство. (См. рисунок 6.) Рассмотрим гомотетию с центром в точке М и коэффициентом . При этой гомотетии точка Н пересечения высот большого треугольника отобразится в точку О, являющуюся с одной стороны точкой пересечения серединных перпендикуляров большого треугольника, а с другой стороны (смотри пример 2) – точкой пересечения высот меньшего треугольника. Заметим также, что точки М, О и Н лежат на одной прямой. Заметим также, что рассматриваемая гомотетия отобразит точку О – центр описанной окружности большого треугольника, в точку  Эйлера О₁- центр описанной окружности малого треугольника. При этом точки О, М и О₁ будут также лежать на одной прямой. Из сказанного выше следует, что точки О₁ и Н лежат на прямой МО, что и требовалось доказать.

Заметим далее, что отрезок ОМ  равен 2О₁М, а отрезок НО₁=НМ - О₁М=2ОМ -

- О₁М=4 О₁М - О₁М =3О₁М. Из этого вытекает, что НО₁:О₁М:МО=3:1:2.

 

 На  практике большое значение имеет  умение находить центр гомотетии  двух гомотетичных фигур (например, это  могут быть два параллельных отрезка, два треугольника с параллельными соответственными сторонами, две окружности и так далее). Сделать такое построение достаточно просто: нужно провести прямые через две пары соответствующих точек, точка пересечения этих прямых и есть центр гомотетии. На рисунке  7 построены два центра гомотетии для отрезков АВ и А₁В₁. Центр О₁ получен, если считать соответствующими точки А и В₁, В и А₁, а центр О₂ получен, если считать соответствующими точки А и А₁, В и В₁. Нетрудно убедиться, что две неравные окружности с различными центрами тоже имеют два центра гомотетии. Для нас полезно будет рассмотреть пример построения этих центров.

 

Пример 4. Построение центра гомотетии для двух окружностей.

Построение.

1. Построим произвольный радиус О₁А для первой окружности.
2. Через центр второй окружности проведем ее диаметр ВВ’, параллельный отрезку О₁А.
3. Строим линию центров (прямую О₁О₂).
4. Пересечение АВ и О₁О₂ даст первый центр гомотетии О. А пересечение АВ’ и О₁О₂ будет вторым центром гомотетии – точкой О’.

Построение центра гомотетии пары окружностей – важный этап при решении более сложной задачи на построение: построение общей касательной к двум окружностям. Для того, чтобы выполнить это построение, нам потребуется доказать одно утверждение.

 

Утверждение. При гомотетии касательная к окружности переходит в касательную к окружности, в том числе, если касательная проходит через центр гомотетии, то она является касательной и ко второй окружности.

 

Доказательство. Начнем с очевидных фактов. Во – первых, гомотетия радиус окружности переводит в радиус. Во – вторых, при гомотетии сохраняются углы между прямыми. Таким образом, если касательная была перпендикулярна радиусу первой окружности, то ее образ так же будет перпендикулярен радиусу, на этот раз второй окружности. Следовательно, образ касательной также будет касательной.

Покажем теперь, что общая  касательная проходит через центр  гомотетии. Вообще говоря, это вытекает из построения в примере 4, для нас  было существенным то, что соответствующие  при гомотетии радиусы  параллельны. А параллельность радиусов, проведенных в точки касания к общей касательной очевидна.

С другой стороны, не менее  очевидно, что прямая, проходящая через  центр гомотетии отобразится  сама в себя. И так, рассмотрим касательную  к первой окружности, проходящую через центр гомотетии. С одной стороны, она отображается в касательную ко второй окружности, с другой переходит сама в себя. Поэтому она является общей касательной к двум окружностям. Утверждение доказано.

 

А теперь опишем процесс  построения общей касательной к двум окружностям.

 

Пример 5. Построение общей касательной к двум окружностям.

Построение.

1 этап. Строим центр  гомотетии для этих окружностей  (смотри пример 4).

2 этап. Из построенного центра  гомотетии проводим касательную  к одной из окружностей. Она  будет также касательной и ко второй окружности. Напомним, как строится касательная к окружности:

• Строим середина отрезка, соединяющего центр окружности и точку, через которую будет проходить касательная (в нашем случае это точка S на отрезке О’О₂).
• Строим окружность с центром в точке S, проходящую через точку O’.
• Находим точки пересечения построенной окружности и данной (это точки Т и L).
• Строим прямые О’Т и О’L – это и есть искомые касательные.

 

Гомотетию можно применять  при решении огромного количества задач, она особенно  эффективна при решении задач, в которых рассматриваются окружности. Объясняется это тем, что любые две окружности гомотетичны. Рассмотрим еще один пример, в котором используется это свойство.

 

Пример 6. В сегмент окружности вписаны две окружности (смотри рисунок 10). Докажите, что прямые, проходящие через точки касания этих окружностей с дугой сегмента и точки их касания с основанием сегмента (прямые АЕ и BF) пересекаются на большой окружности. Докажите, что точка пересечения совпадает для любых пар окружностей, вписанных в данный сегмент.

Решение.

Рассмотрим две гомотетии. Одна из них, с центром А, отображает окружность с центром О₁ в окружность с центром О. При этом хорда MN отобразится в касательную большой окружности, проходящую через точку С. Так как точка касания переходит в точку касания, то точка Е отобразится в точку С. Следовательно, Точки А, Е и С лежат на одной  прямой. Аналогичная гомотетия с центром в точке В отображает окружность с центром О₁ в большую окружность. При этом хорда MN вновь отобразится в ту же касательную. Как и при первой гомотетии, отсюда вытекает, что точки В, F и C лежат на одной прямой.

Таким образом, мы доказали, что интересующие нас прямые пересекаются на большой окружности в точке  С. нетрудно видеть, что точка С однозначно определена хордой MN – это точка, через которую проходит касательная к большой окружности, параллельная рассматриваемой хорде.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Многие задачи планиметрии можно изящно и просто решать при помощи преобразований плоскости. Однако, значение преобразований плоскости заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения преобразований плоскости при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Конечно, данная работа не может вместить в себя все теоремы  и задачи. Здесь рассмотрены лишь некоторые темы, по каждой из которых были представлены задачи и их решения. Так же приведен сравнительный анализ двух школьных учебников геометрии.

Подводя итоги, можно сделать вывод: преобразования плоскости в применении к решению задач планиметрии можно давать не только школьникам на факультативных занятиях, но и студентам высших учебных заведений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1. Александров А.Л. и др., Геометрия для 10-11 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики/М.: Просвещение, 1995 г.

3. Александров А.Л. и др., Геометрия: Учеб. Для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений/М.: Просвещение, 1995 г.
4. Атанасян Л.С. и др., Геометрия: Учеб. Для 7-9 классов общеобразовательных учреждений/М., 1999 г.
5. Атанасян Л.С. и др., Доп. главы к школьному учебнику 9 класса /М.: Просвещение, 1997 г.
6. Бахман Ф., Построение геометрии на основе понятия симметрии. – М.: Наука, 1969.
7. Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии: Учебное пособие. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
8. Каазик Ю.Я., Математический словарь./ Таллин: Валгус, 1985 г.
9. Погорелов А.В., Геометрия: Учеб. Для 7-9 классов средних школ /М.: Просвещение, 1993 г.

10.Понарин Я.П., Преобразования  пространства. – Киров: Издательство ВГПУ, 2000. – 80 с.

10. Расин В.В., Лекции по геометрии: Аксиомы планиметрии. Преобразования плоскости. Учебное пособие./Екатеринбург: УрГУ, 2000 г.
11. Математика. Большой энциклопедический словарь. Научное изд-во «Большая российская энциклопедия»/М., 1998 г.
12. Энциклопедический словарь юного математика/М.: Педагогика, 1989 г.
13. Материалы Internet