Применение преобразований плоскости при решении задач планиметрии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3. Анализ школьных  учебников геометрии.

 

В своем сравнительном  анализе преподавания теории движений я рассмотрела 2 учебника школьной программы:

- Атанасян Л.С. и др. «Геометрия. 7-9 класс»

- Погорелов А.В. «Геометрия»  для 7-9 классов средних школ.

По итогам этого анализа я  составила таблицу, в которой  постаралась отобразить все изученные  аспекты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4. Движения

 

Теорию движений изложим, опираясь на учебник А. В. Погорелова «Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений».

Движением называется отображение  плоскости на себя при котором сохраняются все расстояния между точками.

Движение имеет ряд  важных свойств:

1. Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой.

Доказательство: пусть  движение переводит точки А, В, С  в токи А', В', С'. Тогда выполняются равенства

А'В'=АВ,

А'С'=АС,

В'С'=ВС. (1)

Если точки А, В, С  лежат на одной прямой, то одна из ни, например точка В лежит между двумя другими. В этом случае АВ+ВС=АС, и из равенства(1) следует, что А'С'+В'С'=А'С'. А из этого следует, что точка В' лежит между точками А' и С'. Первое утверждение доказано.

Второе утверждение  докажем методом от противного: Предположим, что точки А', В', С' лежат на одной прямой даже в том случае, если точки А,В,С не лежат на одной прямой, то есть  являются вершинами треугольника. Тогда должны выполнятся неравенства треугольника:

АВ≤АС+ВС,

АС≤АВ+ВС,

ВС≤АВ+АС,

но из равенства (1) следует  что те же неравенства должны выполнятся и для точек А', В', С' следовательно точки А', В', С' должны быть вершинами треугольника, следовательно точки А', В', С' не должны лежать на одной прямой.

2. Отрезок движения переводится в отрезок.

3. При движении луч переходит в луч, прямая в прямую.

4. Треугольник движением переводится в треугольник.

5. Движение сохраняет величину углов.

6. При движении сохраняются площади многоугольных фигур.

7. Движение обратимо. Отображение, обратное движению является движением.

8. Композиция двух движений также является движением.

Используя определение  можно дать такое определение  равенства фигур: Две фигуры называются равными, если одну из них можно перевести  в другую некоторым движением.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5. Виды движений

 

На плоскости существует четыре типа движений:

- Параллельный перенос;

- Осевая симметрия;

- Поворот вокруг точки;

- Центральная симметрия.

Рассмотрим подробнее  каждый вид.

 

Параллельный  перенос

 

Параллельным переносом называется такое движение, при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние.

Подробнее: параллельный перенос произвольным точкам плоскости  Х и У ставит в соответствие такие точки Х¹ и У¹, что ХХ¹=УУ¹ или еще можно сказать так: параллельный перенос это отображение, при котором все точки плоскости перемещаются на один и тот же вектор – вектор переноса. Параллельный перенос задается вектором переноса: зная этот вектор всегда можно сказать, в какую точку перейдет любая точка плоскости.

Параллельный перенос  является движением, сохраняющим направления. Действительно, пусть при параллельном переносе точки Х и У перешли  в точки Х¹ и У¹ соответственно. Тогда выполняется равенство ХХ¹=УУ¹, откуда получаем, что во-первых ХУ=Х¹У¹, то есть параллельный перенос является движением, и во-вторых, ХУ=Х¹У¹, то есть при параллельном переносе сохраняются направления.

Это свойство параллельного  переноса – его характерное свойство, то есть справедливо утверждение: движение, сохраняющее направление является параллельным переносом.

 

Осевая симметрия

 

Точки Х и Х¹ называются симметричными относительно прямой а, и каждая из них симметрична другой, если а является серединным перпендикуляра отрезка ХХ¹. Каждая точка прямой а считается симметрично самой себе( относительно прямой а) если дана прямая а, то каждой точке Х соответствует единственная точка Х¹, симметричная Х относительно а.

Симметрией плоскости  относительно прямой а называется такое  отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствии точка, симметричная ей относительно прямой а.

Докажем, что осевая симметрия  является движением используя метод  координат: примем прямую а за ось  х  декартовых координат. Тогда при  симметрии относительно нее точка, имеющая координаты (х; у) будет преобразована в точку с координатами (х; -у).

Возьмем любые две  точки А (х1; -у1) и В (х2; -у2) и рассмотрим симметричные АВ и А¹В¹, получим АВ =А¹В¹.

Таким образом, осевая симметрия сохраняет расстояние, следовательно она является движением.

 

Центральная симметрия

 

Центральная симметрия  с центром в точке О это  такое отображение плоскости, при  котором любой точке Х сопоставляется такая точка Х¹, что точка О является серединой отрезка ХХ¹.

Однако можно заметить, что центральная  симметрия является частным случаем поворота на 180 градусов. Действительно, пусть при центральной симметрии относительно точки О точка Х перешла в Х¹. тогда угол ХОХ¹= 180 градусов, как развернутый, и ХО = ОХ¹, следовательно такое преобразование является поворотом на 180 градусов. Отсюда также следует, что центральная симметрия также является движением.

Центральная симметрия  является движением, изменяющим направление  на противоположные. То есть если при центральной симметрии относительно точки O точкам X и Y соответсвуют точки X' и Y', то

XY= - X'Y'

Доказательство: Поскольку точка O - середина отрезка XX', то, очевидно,

OX'= - OX

Аналогично

OY'= - OY

Учитывая это находим  вектор X'Y':

X'Y'=OY'-OX'=-OY+OX=-(OY-OX)= -XY

 

Таким образом X'Y'=-XY.

Доказанное свойство является характерным свойством центральной симметрии, а именно, справедливо обратное утверждение, являющееся признаком центральной симметрии: "Движение, изменяющее направления на противоположные, является центральной симметрией."

 

 

Поворот

 

Поворот плоскости относительно центра О на данный угол β в данном направлении определяется так: каждой точке Х плоскости ставится в соответствие такая точка Х¹, что во-первых, ОХ=ОХ¹, во-вторых угол ХОХ¹ равен углу поворота β и, в-третьих ОХ¹ откладывается от луча ОХ в заданном направлении. Точка О называется центром поворота, а угол β – углом поворота. Поворот является движением.

 

 

 

Подобие

 

Теорию подобия изложим, опираясь на учебник А. В. Погорелова «Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений».

Подобием с коэффициентом k>0 называется отображение плоскости, при котором любым двумя точкам X и Y соответсвуют такие точки X' и Y', что X'Y'=kXY.

Отметим, что при k=1 подобие  является движением, то есть движение есть частный случай подобия.

Фигура F называется подобной фигуре F' с коэффициентом k, если существует подобие с коэффициентом k, переводящее F в F'.

 

Свойства подобия.

1. Подобие отрезок переводит в отрезок.

2. Подобие сохраняет величину углов.

3. Подобие треугольник переводит в треугольник. Соответсвенные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответсвенные углы равны.

4. В результате подобия с коэффициентом k площади фигур умножаются на k².

5. Композиция подобий с коэффициентами k₁ и k₂ есть подобие с коэффициентом k₁k₂.

6. Подобие обратимо. Отображение, обратное подобию с коэффициентом k есть подобие с коэффициентом 1/k.

Простейшим, но важным примером подобия является гомотетия.

 

 

 

 

Гомотетия

 

Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k называется такое  отображение плоскости, при котором  каждой точке X сопоставляется такая точка X', что OX' = kOX, причем не исключается и возможность k<0.

При k =-1 получается центральная симметрия с центром в точке O, при k =1 получается тождественное преобразование.

 

Главное свойство гомотетии:

При гомотетии с коэффициентом k каждый вектор умножается на k. Подробнее: если точки A и B при гомотетии с коэффициентом k перешли в точки A' и B', то

A'B' = k AB

Доказательство.

Пусть точка O - центр гомотетии. Тогда OA' = kOA, OB' = kOB. Поэтому A'B' = OB' - OA' = kOB - kOA = k(OB - OA) = kAB.

Из равенства A'B' = kAB следует, что A'B' = |k|AB, то есть гомотетия с коэффициентом k является подобием с коэффициентом |k|.

Отметим, что любое  подобие с коэффициентом k можно представить в виде композиции гомотетии с коэффициентом k и движения.

Основные свойства гомотетии:

1. Гомотетия отрезок переводит в отрезок.
2. Гомотетия сохраняет величину углов.
3. Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами k₁ и k₂ ,будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом. Преобразование, обратное гомотетии с коэффициентом k будет гомотетией с тем же центром и коэффициентом 1/k.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1. Гомотетия с центром в точке М₀ и коэффициентом k=2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2. Гомотетия с центром в точке М₀ и коэффициентом k=-2.

 

На первом рисунке  построен образ треугольника  АВС при гомотетии с коэффициентом 2, а на втором – приведен пример гомотетии с коэффициентом  -2. Наблюдательный читатель сразу заметит, что на обоих чертежах изображены пары подобных треугольников. Причем в обоих случаях коэффициент подобия равен 2.  Кроме того, хорошо видно, что соответствующие стороны треугольника АВС и треугольника А’В’С’ – попарно параллельны.

Следствие 1. Гомотетия любую фигуру отображает в подобную ей, причем коэффициент подобия равен модулю коэффициента гомотетии.

Доказательство.  Достаточно показать, что это утверждение выполняется для треугольников. (Используем следующий признак подобия: два треугольника подобны,  если соответственные углы у них равны.)

Равенство соответственных углов вытекает из свойства 2. Действительно, соответственные стороны исходного треугольника и его образа попарно параллельны, а это приводит к равенству углов.

Осталось доказать, что коэффициент  подобия равен модулю коэффициента гомотетии. Рассмотрим чертеж на рисунке 3. Из определения гомотетии следует, что

   (2).

Из этого, по свойству пропорциональных отрезков, следует, что  АВ параллельна А’В’, откуда вытекает, что треугольники М₀АВ и М₀А’В’ подобны, так как у них пропорциональны длины сторон, прилежащих к общему (или вертикальным, если k <0) углу при вершине М₀. Из полученного подобия следует, что длины соответственных сторон при гомотетии относятся как |k|. Что и требовалось доказать.

 

 Рассмотрим примеры применения гомотетии для доказательства некоторых хорошо вам известных фактов из планиметрии. Для этого докажем сначала довольно простое утверждение.

Пример 1. При гомотетии с коэффициентом и центром в точке пересечения медиан треугольника вершины этого треугольника переходят в середины противоположных сторон.

Доказательство. Рассмотрим чертеж на рисунке 4. По известному свойству медиан, точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1 считая от вершины. Таким образом, при гомотетии с центром в точке М и коэффициентом , вершина А перейдет в вершину А₁, В в В₁, а С в С₁. Что и требовалось доказать.