Автор работы: Пользователь скрыл имя, 27 Ноября 2014 в 14:59, реферат
Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
Цель данного реферата – изучить ряды в приближенных вычислениях.
Оглавление
Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
Цель данного реферата – изучить ряды в приближенных вычислениях.
Если неизвестное число М разложить в ряд
где ai — некоторые числа и Mn=a1+a2+a3+... — частичная сумма этого ряда, то погрешность при замене М на Мп выражается остатком
При достаточно большом п погрешность может стать как угодно малой, так что Мп выразит М с любой заданной точностью. В случае знакочередующегося ряда погрешность оценивается очень быстро с помощью теоремы Лейбница. Если члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине, то сумма остатка Мп меньше его первого члена ап+1 по абсолютной величине и совпадает с ним по знаку.
В случае знакоположительного ряда необходимо найти новый ряд с большими членами , который легко суммируется. В качестве оценки погрешности при отбрасывании остатка rn берут величину остатка введённого ряда
Новым рядом может служить убывающая геометрическая прогрессия
если
Иногда приходится искать десятичное приближение числа М, хотя члены ряда не обязательно десятичные числа. При замене чисел ап десятичными округление их служит источником дополнительной погрешности, которую также необходимо учитывать.
Прежде чем решать задачи, перечислим эталонные ряды, полученные в предыдущих пунктах:
–1<x<1;
–1<x<1;
Пример 1:
Вычислить ln3 с точностью до 10- 3.
Решение:
Предварительно заметим, что представление
ln 3 = ln (1+x) = ln (1+2)
приведёт нас к расходящемуся числовому ряду, т. к. х = 2 не принадлежит интервалу сходимости (- 1, 1) ряда Маклорена функции ln (1 + х), а, значит, его частичная сумма не будет представлять сумму ряда.
Воспользуемся представлением откуда Подставим в разложение
Для оценки погрешности составим ряд, представляющий убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем
При этом выполняются условия: члены обоих рядов монотонно убывают и bn > an:
Остаток rn вычислим как сумму геометрической прогрессии с первым членом
Значит, для требуемой точности мы можем взять следующие первые слагаемые:
При вычислении достаточно брать четыре знака, результат округлить до трёх знаков после запятой:
Пример 2:
Вычислить с точностью 10- 3.
Решение:
Воспользуемся биномиальным рядом (25)
сходящимся в интервале (- 1, 1).
Чтобы число, подставленное в ряд, принадлежало интервалу сходимости, извлечём целую часть корня
где
Подставляя в разложение получим выражение данного числа в виде ряда
Поскольку числовой ряд – знакочередующийся, для достижения требуемой точности достаточно оценить первый отброшенный его член, проверим четвёртый:
значит можно ограничиться первыми тремя слагаемыми.
Итак,
Пример 3:
Вычислить с точностью 10- 3 интегралы:
3.1. 3.2.
Решение:
3.1. Найти точное значение интеграла, применив формулу Ньютона-Лейбница, в этом случае нельзя, т.к. первообразная не выражается через элементарные функции. Поэтому разложим функцию в ряд, заменив в эталонном ряде (21) х на - х2:
он сходится на всей числовой оси. Следовательно, его можно почленно интегрировать на любом промежутке, в результате получим
Интеграл равен сумме найденного знакочередующегося ряда, для которого выполняются условия теоремы Лейбница, поэтому остаток ряда, полученного в результате почленного интегрирования, не превосходит первого из отброшенных членов. Так как то с точностью до 0,001 имеем
3.2. Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд, а затем, в силу его равномерной сходимости, проинтегрируем почленно. Используем эталонный ряд, сходящийся для :
Тогда
Полученный числовой ряд – знакочередующийся, следовательно, для достижения требуемой точности, по следствию теоремы Лейбница, достаточно оценить первое отброшенное слагаемое; т.к.
то достаточно взять первые три члена разложения:
Напомним формулировку теоремы Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка:
y/=f (x) (27)
Если функция f (x, y) непрерывна в некоторой области D плоскости хоу и имеет там ограниченную производную , то в каждой внутренней точке существует функция , и притом единственная, удовлетворяющая уравнению y/=f (x) и условию y0=y (x0), т.е. где
Функция , удовлетворяющая начальным условиям y0=y(x0), называется частным решением дифференциального уравнения первого порядка.
Рассмотрим два метода решения задачи о нахождении частного решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.
Первый метод основан на последовательном дифференцировании исходного уравнения и применении ряда Тейлора:
при условии, что х0 = 0 и у0 = у(0) или
если х = х0 и у0 = у(х0), причём полученное разложение как решение задачи Коши существует, и единственно.
Ищем коэффициенты ряда Тейлора: у(х0) = у0 по условию. Подставив у0 в уравнение (27), найдём у/(х0) = f(х0, у0).
Следующий коэффициент ряда у//(х0) найдём, дифференцируя уравнение (27) как функцию двух переменных
и т. д.
Пример 4:
Решить уравнения. Найти первые пять членов разложения:
4.1. y/=e–x–y, y (0) = 0 4.2. y/ = 2x cos x + y2 , y(
Решение:
Ищем решение задачи Коши в виде ряда
4.1. Коэффициент у(0) = 0 по условию. Подставляя начальные условия в дифференциальное уравнение, имеем
y / (0) = e 0 – 0 = 1.
Дифференцируем уравнение и вычисляем последующие коэффициенты:
На этом остановимся, поскольку по условию необходимо найти только пять ненулевых членов ряда.
Итак, решение имеет вид
или
4.2. где у(0) = 1 по условию;
Итак,
или
Второй метод, метод неопределённых коэффициентов, удобно использовать для решения линейных дифференциальных уравнений
(10.28)
где функции с1(х), с2(х), …, сп(х), f(x) разлагаются в ряды по степеням (х - х0), сходящиеся в некотором интервале .
Решение дифференциального уравнения (10.28) ищем в виде многочлена
(10.29)
где а1, а2, …, ап - неопределённые коэффициенты.
Подставляем многочлен (10.29) и его производные в уравнение (10.28), затем приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях равенства. Остаётся решить полученную систему уравнений.
Пример 5:
Решить уравнения. Найти первые шесть членов разложения:
5.1. y/=y, y(0)=1;
5.2. y///-2xy//=e-x, y(0)=-1,
Решение:
5.1. Ищем решение дифференциального уравнения в виде многочлена (10.29), дифференцируя который, получаем
y/(x)=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x
Подставим у и уў в исходное уравнение
a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+…= a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+….
Приравниваем
коэффициенты при одинаковых степенях х:
Заметим, что полученный ряд сходится к функции ех (см. 10.21), которая и является частным решением данного дифференциального уравнения первого порядка.
Действительно, разделив переменные и проинтегрировав, получим общее решение данного уравнения:
ln y=x+ln c, y=cex.
Частное решение найдём, вычислив константу с. Подставим начальные условия в общее решение:
Отсюда частное решение у = ех.
5.2. y//-2xy//=e-x, y=1, y/=-
Ищем решение в виде многочлена (10.29). Дифференцируем его три раза и подставляем многочлен и его производные в дифференциальное уравнение, правую часть разложим с помощью ряда (10.21), заменив х на (-х):
y(x) =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+…,
y/ =a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+
y// =2a2+3 . 2a3x + 4 . 3a4x2+5 . 4a5x3+…,
y/// =3 . 2a3 + 4 . 3 . 2a4x+5.4 . 3a5x2+…,
Вычисляем оставшиеся коэффициенты:
Итак,
Пример 6:
Найти с помощью рядов решение задачи Коши:
xy/=y ln x, y=1 при x=1.
Указать первые четыре ненулевых члена разложения.
Решение:
Первый вариант. Воспользуемся рядом Тейлора
Найдём коэффициенты разложения. По условию у(1) = 1. Подставив эти данные в уравнения, вычислим: у/ = 0. Далее дифференцируем уравнение нужное число раз:
подставляем х = 1, у = 1, у/ = 0 => у// = 1;
Подставляем значения производных в ряд Тейлора:
Преобразуя, получим требуемое решение дифференциального уравнения
Второй вариант. Воспользуемся методом неопределённых коэффициентов. Будем искать решение дифференциального уравнения в виде полинома
его первая производная
Заметим, что у(1) = а0, у/(1) = а1. Вычислим эти коэффициенты, подставив начальные условия в исходное уравнение:
следовательно, а0 = у(1) = 1, а1 = у/(1) = 0.
Для разложения логарифмической функции используем эталонный ряд
Преобразовав его, имеем
где |х - 1| < 1 или 0 < x < 2.
В левой части уравнения получим очевидное равенство
xy/=(x-1)y/+y/
и для краткости записи обозначим z = x - 1; уравнение примет вид:
zy/ + y/ = ylnx.
Теперь
подставляем в обе части дифференциального
уравнения вместо у и y/ соответствующие полиномы, учитывая,
что
а0 = 1, а1 = 0:
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях z в левой и правой частях равенства, причём в правой части предварительно надо найти произведение двух рядов, затем решаем полученную систему уравнений:
Подставляя все найденные коэффициенты в полином, получаем искомое решение задачи Коши:
Как видим, разложения, полученные двумя разными методами, совпадают.
Пусть требуется найти решение уравнения
y' = f(x, y),
удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0. Будем искать ре-шение уравнения в виде:
y= y(x0)+ (2)
Свободный член y(x0) этого разложения известен: он равен y0. Подставив в (1) значение x=x0, найдем и y'(x0)= f(x0, y0).
Далее, дифференцируя (1), получаем
y''=fx'(x, y)+fy'(x, y)y', (3)
откуда находим y''(x0).
Аналогично этому, дифференцируя (3), найдем y'''(x0) и т.д.
Пример 7:
Представить
решение уравнения в виде
y'=x-y2, (4)