Приблизительные числа и оценка погрешностей при вычислении

Очевидно, что при применении правила округления погрешность округления не превосходит 0,5 единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.

Пример. Округлить число 7,18342950 до восьми, семи и шести значащих цифр.

Соответствующие округленные числа равны: 7,1834295 (по правилу 2), 7,183430 (по правилу 4), 7,18343 (по правилу 2).

Точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр. В тех случаях, когда приближенное число содержит излишнее количество неверных значащих цифр, прибегают к округлению. Обычно руководствуются следующим практическим правилом: при выполнении приближенных вычислений число значащих цифр промежуточных результатов не должно превышать числа верных цифр более чем на одну или две единицы. Окончательный результат может содержать не более чем одну излишнюю значащую цифру, по сравнению с верными.

Приведенное правило позволяет без ущерба точности вычислений избегать написания лишних цифр и значительно экономит время вычислений. Сохранение запасных знаков имеет тот смысл, что обычно оценка погрешностей результатов производится для наихудших вариантов, и фактическая погрешность может оказаться значительно меньше максимальной теоретической. Таким образом, во многих случаях те значащие цифры, которые считаются неверными, на самом деле являются верными.

Приходится также иногда округлять и точные числа, содержащие слишком много или бесконечное количество значащих цифр, сообразуясь с общей точностью вычислений.

1.5. Вычисление  погрешности функции от п аргументов

Пусть задана некоторая функция у = f(x1, x2, . . ., хn), от n аргументов xl, x2, . . ., хп и пусть значения каждого из аргументов xi, определены с некоторыми погрешностями |Δxi|, i = 1, 2, ... n. Требуется найти погрешность данной функции.

Для решения этой задачи будем предполагать, что функция у = f(x1; xz, . . ., хn) является дифференцируемой в некоторой области D. Абсолютная погрешность (Δy) функции у при заданных абсолютных погрешностях |Δx1|,  |Δx2|, …,  |Δxn| аргументов x1; x2, . . ., хn равна

.   (1.13)

Предполагая, что величины |Δxi|, i = 1, 2, ... n достаточно малы, можно записать приближенные равенства |Δy| » |dy|

.

Следовательно, предельная абсолютная погрешность Δy функции y равна

,      (1.14)

где |Δxi| — предельная абсолютная погрешность аргумента xi.

Оценка для относительной погрешности функции получается путем деления обеих частей неравенства (1.13) на |у|

.    (1.15)

Из формулы (1.15) получаем выражение для предельной относительной погрешности функции у

.      (1.16)

Рассмотрим отдельные частные примеры на вычисление погрешностей основных функциональных соотношений. Будем предполагать, что в каждом примере заданы те или иные погрешности аргументов.

Погрешность суммы. Пусть у = x1 + x2 +. . .+ хn. По формуле (1.14) предельная абсолютная погрешность суммы n слагаемых равна

Δy = |Δx1| + |Δx2| +…+ |Δxn|.     (1.17)

Из формулы (1.17) следует, что предельная абсолютная погрешность суммы не может быть меньше предельной абсолютной погрешности наименее точного (в смысле абсолютной погрешности) из слагаемых, т. е. слагаемого, имеющего максимальную абсолютную погрешность. Следовательно, с какой бы степенью точности ни были определены остальные слагаемые, мы не можем за их счет увеличить точность суммы. Поэтому не имеет смысла сохранять излишние знаки и в более точных слагаемых. Отсюда вытекает следующее, обычно применяемое, практическое правило для сложения приближенных чисел.

Правило. Чтобы сложить числа различной абсолютной точности, следует:

1. выделить числа, десятичная запись которых обрывается ранее других, и оставить их без изменения;
2. остальные числа округлить по образцу выделенных, сохраняя один запасной десятичный знак;
3. произвести сложение данных чисел, учитывая все сохраненные знаки;
4. полученный результат округлить на один знак.

Пример. Найти сумму приближенных чисел: 0,348; 0,1834; 345,4; 235,2; 11,75; 9,27; 0,0849; 0,0214; 0,000354, каждое из которых имеет все верные значащие цифры.

Выделяем числа наименьшей точности 345,4 и 235,2, абсолютная погрешность которых может достигать 0,1. Округляя остальные числа с точностью до 0,01, получим:

345,4 + 235,2 + 11,75 + 9,27 + 0,35 + 0,18 + 0,08 + 0,02 + 0.00 = 602,25.

Округляя результат до 0,1 по правилу четной цифры, получим приближенное значение суммы 602,2.

Полная погрешность Δ результата складывается из трех слагаемых:

• суммы предельных погрешностей исходных данных

Δ1 = 10-3 + 10-4 + 10-1 + 10-1 + 10-2+ 10-2 + 10-4 + 10-4 + 10-6 = 0,221301 < 0,222;

• абсолютной величины суммы ошибок (с учетом их знаков) округления слагаемых

Δ2 = |-0,002 + 0,0034 + 0,0049 + 0,0014+0,000354| = 0,008054 < 0,009;

• заключительной погрешности округления результат: Δ3 = 0,050.

Следовательно, Δ = Δ1 + Δ2 + Δ3 < 0,222 + 0,009 + 0,050 = 0,281 < 0,3; и, таким образом, искомая сумма есть 602,2 ± 0,3.

Погрешность разности. Пусть у = x1 - x2. По формуле (1.14) предельная абсолютная погрешность разности двух чисел равна

Δy = |Δx1| + |Δx2|.

Отсюда предельная относительная погрешность разности

,      (1.18)

где А — точное значение абсолютной величины разности чисел xl и х2.

Замечание. Если приближенные числа х1 и х2 достаточно близки друг к другу и имеют малые абсолютные погрешности, то число А мало. Из формулы (1.18) вытекает, что предельная относительная погрешность в этом случае может быть весьма большой, в то время как относительные погрешности уменьшаемого и вычитаемого остаются малыми, т. е. здесь происходит потеря точности.

Пример. Вычислим разность двух чисел: x1 = 47,132 и x2 = 47,111, каждое из которых имеет пять верных знаков. Вычитая, получим y = 47,132 — 47.111=0,021.

Таким образом, разность y имеет лишь две значащие цифры, из которых последняя сомнительна, так как предельная абсолютная погрешность разности

Δy = 0,0005 + 0,0005 = 0,001.

Предельные относительные погрешности вычитаемого, уменьшаемого и разности:

;  ;  .

Предельная относительная погрешность разности здесь примерно в 5000 раз больше предельных относительных погрешностей исходных данных.

Исходя из вышесказанного, получаем следующее практическое правило: при приближенных вычислениях следует по возможности избегать вычитания двух почти равных приближенных чисел; если же в силу необходимости приходится вычитать такие числа, то следует уменьшаемое и вычитаемое брать с достаточным числом запасных верных знаков.

Погрешность произведения. Пусть у = , причем xi, (i = 1, 2, ... n) положительны. В соответствии с формулой (1.16) проведем преобразования с целью получения выражения для предельной относительной погрешности произведения n сомножителей

, δy = .

Правило. Чтобы найти произведение нескольких приближенных чисел с различным числом верных значащих цифр, достаточно округлить их так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем число верных цифр в наименее точном из сомножителей; в произведении следует сохранить столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в наименее точном из сомножителей.

Пример. Найти произведение приближенных чисел х1 = 2,5 и x2 = 72,397, верных в написанных знаках.

Применяя правило, после округления имеем х1 = 2,5 и x2 = 72,4.

Отсюда х1х2 = 2,5×72,4 = 181 » 1,8 102.

Погрешность частного. Пусть у = . По формуле (1.16) предельная относительная погрешность частного равна:

δy =

.

Погрешность степени. Пусть у = xn. Тогда ln y = n ln x и относительная погрешность степени равна:

δy = nδx.

Погрешность корня. Пусть у = . Следовательно, ln у = ln x и относительная погрешность корня равна:       δy = δx.

1.6. Вычисления  без точного учета погрешностей

В предыдущих параграфах мы указали способы оценки предельной абсолютной погрешности действий. При этом предполагалось, что абсолютные погрешности компонент усиливают друг друга, что практически бывает сравнительно редко.

При массовых вычислениях, когда не учитывают погрешность каждого отдельного результата, рекомендуется пользоваться следующими правилами подсчета цифр.

1. При сложении и вычитании приближенных чисел младший сохраненный десятичный разряд результата должен являться наибольшим среди десятичных разрядов, выражаемых последними верными значащими цифрами искомых данных.
2. При умножении и делении приближенных чисел в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим числом верных значащих цифр.
3. При возведении в квадрат или куб приближенного числа в результате нужно сохранять столько значащих цифр, сколько верных значащих цифр имеет основание степени.
4. При извлечении корней из приближенного числа в результате следует брать столько значащих цифр, сколько верных цифр имеет подкоренное число.
5. Во всех промежуточных результатах следует сохранять на одну цифру больше, чем рекомендуют предыдущие правила. В окончательном результате эта «запасная цифра» отбрасывается.

6. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с k верными цифрами исходные данные следует брать с таким числом цифр, которые согласно предыдущим правилам обеспечивают k +1 верную цифру в результате.

Если некоторые данные имеют излишние младшие десятичные разряды (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр, чем другие (при умножении, делении, возведении в степень и др.), то их предварительно нужно округлить, сохраняя одну запасную цифру.

1.7. Обратная  задача теории погрешностей

На практике важна также обратная задача: каковы должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины.

Эта задача математически неопределенна, так как заданную предельную погрешность Δy функции y = f(xl, х2, ..., хп) можно обеспечить, устанавливая по-разному предельные абсолютные погрешности Δxi ее аргументов.

Простейшее решение обратной задачи дается так называемым принципом равных влияний. Согласно этому принципу предполагается, что все частные дифференциалы      (i = 1, 2, ..., n) одинаково влияют на образование общей абсолютной погрешности Δy функции    y = f(xl, х2, ..., хп).

Пусть величина предельной абсолютной погрешности Δy задана. Тогда на основании формулы (5.3)

.

Предполагая, что все слагаемые равны между собой, будем иметь

.

Отсюда

  (i = 1, 2, ..., n).    (1.19)

Пример. Радиус основания цилиндра R » 2 м; высота цилиндра H » 3 м. С какими абсолютными погрешностями нужно определить R и H, чтобы его объем V можно было вычислить с точностью до 0,1 м 3?

Имеем V = πR2H и ΔV = 0,1 м3.

Полагая R = 2 м;  Н = 3 м;π = 3,14; приближенно получим:

Отсюда, так как n = 3, то на основании формулы (7.1) будем иметь:

Нередко при решении обратной задачи по принципу равных влияний мы можем столкнуться с таким случаем, когда найденные по формуле (1.19) предельные абсолютные погрешности отдельных независимых переменных окажутся настолько малыми, что добиться соответствующей точности при измерении этих величин практически невозможно. В таких случаях следует отступить от принципа равных влияний и за счет разумного уменьшения погрешностей одной части переменных добиться увеличения погрешностей другой части переменных.

1.8. Точность  определения аргумента для функции, заданной таблицей

В вычислительной практике часто возникает необходимость определить аргумент по значению функции, заданной таблицей. Например, постоянно встречается необходимость определить число по его табличному логарифму или угол по табличному значению какой-либо тригонометрической функции и т. п. Понятно, что погрешность функции вызывает погрешность в определении аргумента.

Пусть имеем таблицу с одним входом для функции у = f(x). Если функция f(х) дифференцируема, то для достаточно малых значений |Δx| имеем:

|Δy| = |f' (х)| |Δx|.

Отсюда

,

или в других обозначениях

.

Пример. Пусть у = ln х, тогда у' = и .

Если же y = lg x, то у' = , где М = 0,43429, а .

Отсюда, в частности, получаем δx = 2,30Δy, т. е. предельная относительная погрешность числа в таблице десятичных логарифмов равна примерно 2,5-кратной предельной абсолютной погрешности логарифма этого числа.

Вывод: Абсолютная погрешность приближенного числа характеризуется числом верных цифр после запятой, а относительная погрешность – числом верных значащих цифр.