Приблизительные числа и оценка погрешностей при вычислении

1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ОЦЕНКА  ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

Введение

Для современных задач необходимо использовать сложный математический аппарат и развитые методы их решения. При этом часто приходится встречаться с задачами, для которых аналитическое решение, т.е. решение в виде аналитического выражения, связывающего исходные данные с требуемыми результатами, либо вообще невозможно, либо выражается такими громоздкими формулами, что использование их для практических целей нецелесообразно.

В этом случае применяются численные методы решения, которые позволяют достаточно просто получитьчисленное решение поставленной задачи. Численные методы реализуются с помощью вычислительных алгоритмов.

Все многообразие численных методов подразделяют на две группы:

Точные – предполагают, что если вычисления ведутся точно, то с помощью конечного числа арифметических и логических операций могут быть получены точные значения искомых величин.

Приближенные– которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение задачи лишь с заданной точностью.

1. величина  и число.Величиной называется то, что в определенных единицах может быть выражено числом.

Когда говорят о значении величины, то имеют в виду некоторое число, называемое числовым значением величины, иединицу ее измерения.

Например, длина, площадь, объем – величины. Если объем какого-то тела равен 100 см3, то объем – это величина, а число 100 – значение данной величины.

Таким образом, величиной называют характеристику свойства объекта или явления, которая является общей для множества объектов, но имеет индивидуальные значения для каждого из них.

Величины могут быть постоянными и переменными. Если при некоторых условиях величина принимает только одно значение и не может его изменять, то она называется постоянной,если же она может принимать различные значения, то – переменной. Так, ускорение свободного падения тела в данном месте земной поверхности есть величина постоянная, принимающая единственное числовое значение g=9,81… м/с2, в то время как путь s, проходимый материальной точкой при ее движении, – величина переменная.

2. приближенные  значения чисел. Значение величины, в истинности которого мы не сомневаемся, называетсяточным. Часто, однако, отыскивая значение какой-либо величины, получают лишь ее приближенное значение. В практике вычислений чаще всего приходится иметь дело с приближенными значениями чисел. Так, p – число точное, но вследствие его иррациональности можно пользоваться лишь его приближенным значением.

Во многих задачах из-за сложности, а часто и невозможности получения точных решений применяются приближенные методы решения, к ним относятся: приближенное решение уравнений, интерполирование функций, приближенное вычисление интегралов и др.

Главным требованием к приближенным расчетам является соблюдение заданной точности промежуточных вычислений и конечного результата. При этом в одинаковой степени недопустимы как увеличение погрешностей (ошибок) путем неоправданного загрубления расчетов, так и удержание избыточных цифр, не соответствующих фактической точности.

 

1.1. Приближенные числа. Классификация погрешностей

В процессе вычислений весьма часто приходится иметь дело с приближенными числами. Пусть А — точное значение некоторой величины, называемое в дальнейшем точным числом А. Под приближенным значением величины А, или приближенным числом, называется число а, заменяющее точное значение величины А. Если а < А, то а называется приближенным значением числа А по недостатку. Если а > А, — то по избытку. Например, 3,14 является приближенным значением числа π по недостатку, а 3,15 — по избытку. Для характеристики степени точности данного приближения пользуются понятием погрешности или ошибки.

Погрешностью Δа приближенного числа а называется разность вида

Δа = А — а,      (1.1)

где А — соответствующее точное число.

Определение. Абсолютной погрешностью А приближенного числа а называется абсолютная величина погрешности этого числа

Δ = |А — а|.      (1.2)

В силу того, что точное число А, как правило, неизвестно, то пользуются понятием предельной абсолютной погрешности.

Определение. Предельной абсолютной погрешностью Δa приближенного числа а называется число, не меньшее абсолютной погрешности этого числа, т. е.

Δa ≥ Δ.       (1.3)

Из (1.3) имеем

Δa ≥ |А — а|,

следовательно,

а - Δa £ А £ а + Δa,     (1.4)

т. е. а - Δa является приближением числа А по недостатку, а а + Δa — приближением числа А по избытку. Формулу (1.4) кратко записывают в виде А = а ± Δa.

На практике под точностью измерений обычно понимают предельную абсолютную погрешность. Например, если расстояние между двумя пунктами, равное S = 900 м, получено с точностью до 0,5 м, то точное значение величины S заключено в границах 899,5 м £ S £ 900,5 м.

Введение абсолютной или предельной абсолютной погрешностей совершенно недостаточно для характеристики степени точности приближенных чисел. Существенным показателем точности приближенных чисел является их относительная погрешность.

Определение. Относительной погрешностью δ приближенного числа а называется отношение абсолютной погрешности Δ этого числа к модулю соответствующего точного числа А (А ¹ 0)

.      (1.5)

Определение. Предельной относительной погрешностью приближенного числа а называется число δа не меньшее относительной погрешности этого числа, т. е.

δа ≥ δ.       (1.6)

Из (1.6) имеем

Δ £ |А|δа

Следовательно, можно считать, что предельная абсолютная погрешность числа а равна

Δа £ |А|δа.      (1.7)

Если принять А » а, то формула (1.7) примет вид

Δа £ |а|δа.      (1.8)

Следовательно, точное число А  лежит в следующих границах:

а(1 - δа) £ А £ а(1 + δа).

Формула (1.8) позволяет определять предельную абсолютную погрешность по заданной предельной относительной погрешности и наоборот.

1.2. Основные  источники погрешностей

Погрешности, встречающиеся в математических задачах, могут быть в основном разбиты на пять групп.

1. Погрешности, связанные с самой постановкой математической задачи. Математические формулировки редко точно отображают реальные явления: обычно они дают лишь более или менее идеализированные модели. Как правило, при изучении тех или иных явлений природы мы вынуждены принять некоторые, упрощающие задачу, условия, что вызывает ряд погрешностей (погрешности задачи).

Иногда бывает и так, что решить задачу в точной постановке трудно или даже невозможно. Тогда ее заменяют близкой по результатам приближенной задачей. При этом возникает погрешность, которую можно назвать погрешностью метода.

2. Погрешности, связанные с наличием бесконечных процессов в математическом анализе. Функции, фигурирующие в математических формулах, часто задаются в виде бесконечных последовательностей или рядов (например, ). Более того, многие математические уравнения можно решить, лишь описав бесконечные процессы, пределы которых и являются искомыми решениями.

Так как бесконечный процесс, вообще говоря, не может быть завершен в конечное число шагов, то мы вынуждены остановиться на некотором члене последовательности, считая его приближением к искомому решению. Понятно, что такой обрыв процесса вызывает погрешность, называемую обычно остаточной погрешностью.

3. Погрешности, связанные с наличием в математических формулах числовых параметров, значения которых могут быть определены лишь приближенно. Таковы, например, все физические константы. Условно назовем эту погрешность начальной.

4. Погрешности, связанные с системой счисления. При изображении даже рациональных чисел в десятичной системе или другой позиционной системе справа от запятой может быть бесконечное число цифр (например, может получиться бесконечная десятичная периодическая дробь). При вычислениях, очевидно, можно использовать лишь конечное число этих цифр. Так возникает погрешность округления. Например, полагая , получаем погрешность Δ = 4 10-4. Приходится так же округлять и конечные числа, имеющие большое количество знаков.

5. Погрешности, связанные с действиями над приближенными числами (погрешности действий). Понятно, что, производя вычисления с приближенными числами, погрешности исходных данных в какой-то мере мы переносим в результат вычислений. В этом отношении погрешности действий являются неустранимыми.

Само собой разумеется, что при решении конкретной задачи те или иные погрешности иногда отсутствуют, или влияние их ничтожно. Но, вообще говоря, для полного анализа погрешностей следует учитывать все их виды.

1.3. Значащая  цифра. Число верных знаков

Всякое число а может быть представлено в виде конечной или бесконечной суммы слагаемых

а = ± (am10m + am-110m-1 +… +  am-n+110m-n+1 + …),   (1.9)

где ai — цифры числа a (at = 0, 1, 2, . . ., 9), т, — некоторое целое число, называемое старшим десятичным разрядом числа а. Например, число 476,93 может быть представлено в виде

476,93 = 4 102 + 4 10 +6 100 +9 10-1 + 3 10-2.

При проведении реальных вычислений всякое число, имеющее вид бесконечной суммы слагаемых, заменяется на сумму конечного числа слагаемых, т. е. вместо суммы (1.9) записывают сумму

а = ± (bm10m + bm-110m-1 +… +  bm-n+110m-n+1), bm ¹ 0.

Определение. Значащей цифрой приближенного числа называются всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда. Все остальные нули, входящие в состав приближенного числа и служащие лишь для обозначения десятичных разрядов его, не причисляются к значащим цифрам.

Например, в числе 0,002080 первые три нуля не являются значащими цифрами, так как они служат только для установления десятичных разрядов других цифр. Остальные два нуля являются значащими цифрами, так как первый из них находится между значащими цифрами 2 и 8, а второй, как это отражено в записи, указывает, что в приближенном числе сохранен десятичный разряд 10-6. В случае, если в данном числе 0,002080 последняя цифра не является значащей, то это число должно быть записано в виде 0,00208. С этой точки зрения числа 0,002080 и 0,00208 не равноценны, так как первое из них содержит четыре значащих цифры, а второе — лишь три значащих цифры.

При написании больших чисел нули справа могут служить как для обозначения значащих цифр, так и для определения разрядов остальных цифр. Поэтому при обычной записи чисел могут возникнуть неясности. Например, рассматривая число 689000, мы не имеем возможности по его виду судить о том, сколько в нем значащих цифр. Хотя можно утверждать, что их не меньше трех. Этой неопределенности можно избежать, выявив десятичный порядок числа и записав его в виде 6,89 105, если оно имеет три значащих цифры или 6,8900 105, если число имеет пять значащих цифр, и т. п. Вообще, такого рода запись удобна для чисел, содержащих большое количество незначащих нулей, например 0,000000120 = 1,20 10-7 и т. п.

Первые п значащих цифр приближенного числа называются верными, если абсолютная погрешность этого числа не больше половины единицы разряда, выражаемого n-й значащей цифрой.

Например, для точного числа А = 14,298 число а = 14,300 является приближенным числом с четырьмя верными знаками, так как

Δ = |А — а | = 0,002 < 0, 5 0,01 = 0,005.

Число верных знаков приближенного числа связано с относительной погрешностью этого числа. Эта связь выражается формулой

,      (1.10)

где δ — относительная погрешность приближенного числа а, п — число верных десятичных знаков числа а, am — первая значащая цифра числа а.

Из формулы (1.10) следует, что в качестве предельной относительной погрешности числа а можно взять величину

.      (1.11)

Если число верных знаков n ≥ 2, то справедлива формула

.     (1.12)

Пример. Найти предельную относительную погрешность, если точное число 14,298 заменяется приближенным 14,300. Здесь aт = 1, п = 4. По формуле (3.5) имеем: δа = 5 10-4.

Пример. Определить число десятичных знаков при относительной погрешности       δа £ 0,001.

Очевидно, что aт = 2; 0,5 101-n £ 0,001 и п ≥ 4.

1.4. Правила округления  чисел

Определение. Округлением данного числа а (точного или приближенного) называется замена его числом b с меньшим количеством значащих цифр. Эта замена производится таким образом, чтобы погрешность округления а — b была минимальной.

Для округления числа до n-й значащей цифры отбрасывают все его цифры справа, начиная с п+1-й, или, при необходимости сохранения разрядов, заменяют их нулями. Указанное отбрасывание цифр осуществляется по следующим правилам округления:

1. если п+1-я цифра больше 5, то к п-й цифре прибавляется единица;
2. если п+1-я цифра меньше 5, то все оставшиеся цифры сохраняются без изменения;
3. если п+1-я цифра равна 5 и среди отбрасываемых цифр имеются ненулевые, то к п-й цифре прибавляется единица;
4. если п+1-я цифра равна 5, а все остальные отбрасываемые цифры равны нулю, то п-я сохраняется без изменения, если она четная, и к п-й прибавляется единица, если она нечетная.

Иными словами, если при округлении числа отбрасывается меньше половины единицы последнего сохраняемого десятичного разряда, то цифры всех сохраненных разрядов остаются неизменными; если же отброшенная часть числа составляет больше половины единицы последнего сохраненного десятичного разряда, то цифра этого разряда увеличивается на единицу. В исключительном случае, когда отброшенная часть в точности равна половине единицы последнего сохраненного десятичного разряда, то для компенсации знаков ошибок округления используется правило четной цифры.