Преобразования плоскости в решении задач

Содержание:

Введение………………………………………………………………….2

§1. Отображение плоскости на себя……………….………………….3

§2. Движение…………………………….……………………………….4

1. Параллельный перенос.

Теоретическая часть…………………………………….…………..5

     Практическая часть…………………………………………………6

2. Осевая симметрия

Теоретическая часть…………………………………………….......7

Практическая часть…………………………………………….…...8

2.3 Поворот вокруг точки

     Теоретическая  часть………………………………………………....10

     Практическая часть…………………………………………………11

2.4 Центральная симметрия

     Теоретическая  часть……………………………………………………17

      Практическая часть……………………………………………………18

§3 Подобие…………………………………………………………………....21

     3.1 Гомотетия…………………………………………………...……...…22

Заключение…………………………………………………………………..24

Список литературы………………………………..………………………..25

 

 

Введение.

В последнее десятилетие  у большинства учеников школ России значительно снизился интерес к  изучению геометрии. В то же время  эта удивительная наука чрезвычайно  увлекательна и полезна для развития воображения и формирования строгой  логики. К тому же этот предмет отличается примечательной особенностью – все  понятия геометрии наглядно представимы, система их четко структурируется  и может быть изложена в доступной  форме.

При систематическом изучении школьного курса геометрии обычно начинают с изучения планиметрии, а  затем приступают к изучению стереометрии, изучающей пространственные фигуры. Основными понятиями школьного  курса планиметрии являются точка, прямая, плоскость и расстояние (между  двумя точками или от точки  до точки), а также некоторые общематематические понятия, такие, как множество, отображение  множества на множество и некоторые  другие.

Целью данной курсовой работы является исследование возможности  применения преобразований плоскости  к решению задач планиметрии  школьного курса.

 

Задачи курсовой работы:

1. Изучение свойств преобразований плоскости;
2. Примеры решения задач с использованием преобразований плоскости;
3. Проанализировать школьные учебники геометрии.

 

 

 

§1.Отображение плоскости на себя.

Определение1:Отображенем плосости на себя называется такое преоброзование, что каждой точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленой другой точке.

 Определение2:Если при отображении плоскости на себя фигура F преобразовывается в фигуру F', то говорят, что фигура F' - образ фигуры F, а фигура F - прообраз фигуры F'.

Определение3:Если одним отображением фигура F переводится в фигуру F', а затем фигура F' переводится в фигуру F'', то отображение, переводящее F в F'' называется композицией двух отображений.

Определение4:Неподвижной точкой отображения называется такая точка A которая этим отображением переводится сама в себя.

Отображение, все точки  которого неподвижные называется тождественным отображением . Если при данном отображении разным точкам фигуры соответствуют разные образы, то такое отображение называется взаимно однозначным . Пусть фигура F' получена из фигуры F взаимно однозначным отображением f, то можно задать отображение обратное отображению f, которое определяется так: композиция отображения f и отображения, обратного f является тождественным отображением. Существует множество видов отображения плоскости на себя, рассмотрим некоторые из них:

1. Движения.

Существуют движения первого  и второго рода:

Движения 1го рода:

• Параллельный перенос
• Поворот вокруг точки

Движения 2го рода:

• Осевая симметрия
• Центральная симметрия

2. Подобие

Гомотетия

Подробнее рассмотрим каждое из них и применим к решению  различных задач.

§2.Движения

Определение1:Движением называется отображение плоскости на себя при котором сохранаяются все расстояния между точками. Движение имеет ряд важных свойств:

1. Образом трех точек, лежащих на одной прямой будут являться три точки,лежащие на одной прямой,а образом трех точек, не лежащих на одной прямой будут являться три точки , не лежащие на одной прямой.
2. При движении образом отрезка является отрезок.
3. При движении образом луча является луч, образом прямой – прямая.
4. Образом треугольника является треугольник.
5. Движение сохраняет величины углов.
6. При движении сохраняются площади многоугольных фигур.
7. Движение обратимо. Отображение, обратное движению является движением.
8. Композиция двух движений также является движением.

 

Используя определение движения можно дать такое определение  равнества фигур:

Определение2:Две фигуры называются равными, если одна из них является образом другой при некотором движении.

Виды движений

На плоскости существуют четыре типа движений:

1. Параллельный перенос.
2. Осевая симметрия
3. Поворот вокруг точки
4. Центральная симметрия

Рассмотрим подробнее  каждый вид:

2.1Параллельный перенос.

Определение 3. Параллельным переносом плоскости на вектор называется такое отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М плоскости переходит в такую точку М`, что MM` =

Для обозначения параллельного  переноса на вектор  обычно используют символ . Если при переносе на вектор   образом точки М является точка М`, то пишут (M) = M`.

Рассмотрим основные свойства параллельного переноса:

1. При параллельном переносе образом прямой является прямая
2. Образом прямой является прямая ей параллельная
3. При параллельном переносе плоскости сохраняется простое отношение трех точек.
4. Образом отрезка является отрезок.
5. Образом угла является равный ему угол.
6. При параллельном переносе образом ортонормированного репера является ортонормированный репер.
7. Композиция двух параллельных переносов есть параллельный перенос.
8. Множество всех параллельных переносов образует группу относительно композиции переносов.

 

Далее рассмотрим как данное движение применяется в решении задач:

Задачи:

Пример1 Найти площадь ромба, зная длину d его большей диагонали и величину α острого угла при вершине.

Решение. Применим параллельный перенос на вектор АC. При этом вершина В ромба ABCD перейдет в некоторую точку B`

 

Рассмотрим прямоугольный  треугольник DBB`. Заметим, что площадь ромба ABCD равна площади треугольника DBB`. Поскольку АС=d, ∠BAD = α,то∠  DB`B  BB` =d. Откуда получаем, что BD = d ⋅tg . Следовательно, Значит

 

Пример 2. Определить площадь треугольника, если две стороны АВ и ВС, соответственно, равны 13 см и 15 см, а медиана ВМ, проведенная к третьей стороне, равна 6 см.

Решение. Применим параллельный перенос на вектор ВC. Тогда точка А перейдет в некоторую точку A`

Важно заметить, что площадь  треугольника АВС равна площади треугольника A`AB. Поскольку в треугольнике A`AB известны длины всех сторон:

AB=13, A`B=12, AA`=15 , то по формуле  Герона находим, что

 Следовательно,  = 20.

 

2.2Осевая симметрия

Определение 4. Осевой симметрией с осью d называется такое отображение плоскости на себя, при котором образом каждой точки М является такая М`, что отрезок MM` пересекает прямую d под прямым углом и в точке их пересечения делится пополам

Формулы осевой симметрии:

 

Свойства осевой симметрии

1. При осевой  симметрии образом прямой является прямая, образом параллельных прямых являются параллельные прямые

3. Осевая симметрия сохраняет простое отношение трех точек.

3. При осевой  симметрии отрезок переходит  в отрезок, луч – в луч,  полу-

плоскость – в  полуплоскость.

4. При осевой  симметрии угол переходит в  равный ему угол.

5. При осевой  симметрии с осью d всякая прямая, перпендикулярная оси d остается на месте.

6. При осевой  симметрии ортонормированный репер  переходит в ортонормированный репер. При этом точка М с координатами х и у относительно репера R переходит в точку M` с теми же самыми координатами х и у, но относительно репера R`.

7. Осевая симметрия  плоскости переводит правый ортонормированный репер в левый и, наоборот, левый ортонормированный репер – в правый.

8. Композиция  двух осевых симметрий плоскости  с параллельными осями есть параллельный перенос на вектор, перпендикулярный данным прямым, длина которого в два раза больше расстояния между данными прямыми

 

Задачи:

 

Пример 1. На биссектрисе внешнего угла С треугольника АВС взята точка М. Доказать, что АС + СВ < АМ + МВ.

Решение. В данном случае в качестве оси симметрии можно принять прямую, содержащую биссектрису внешнего угла ∠С треугольника АВС.

При симметрии, определяемой этой прямой, образом точки В является точка В`, лежащая на прямой АС. Рассмотрим треугольник AМB`, который определяется вершиной А данного треугольника, точкой М и точкой B`

Применяя неравенство  треугольника, получаем, чтоAМ + МВ` > АВ`. Поскольку MB`=MB, а АВ` = АС + ВС, то требуемое неравенство доказано.

 

 

Пример 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС точка Е является центром вписанной окружности. Прямые СЕ и ВЕ пересекают окружность, описанную около треугольника АВС в точках D и F. Доказать, что ЕDAF – ромб.

Решение. Применим осевую симметрию с осью АЕ

Поскольку точки А и Е лежат на оси, значит, они инвариантны, т.е. перходят в себя; равнобедренный треугольник АВС и окружность, описанная около него, тоже переходят в себя; биссектриса СЕ угла АСВ переходит в биссектрису ВЕ угла АВС. Следовательно, точки D и F переходят друг в друга. Таким образом, мы показали, что прямая АЕ является осью симметрии четырехугольника ЕDAF (рис. 3.4). Для того чтобы доказать, что этот четырехугольник является ромбом, достаточно показать, что треугольник ADE равнобедренный. По условию задачи ВЕ – биссектриса угла АВС, значит, ∠ABF = ∠FBC. Поскольку эти углы вписаны в окружность и опираются на дуги AF и FC, то эти дуги также равны. С другой стороны, на эти же дуги опираются вписанные в окружность углы: ∠ADF и ∠FDC. Следовательно, ∠ADF =35=∠FDC. А это значит, что в четырехугольнике EDAF диагонали не только взаимно перпендикулярны, но и делят пополам углы при вершинах. Отсюда следует, что четырехугольник EDAF – ромб.

 

 

 

 

2.3ПОВОРОТ ПЛОСКОСТИ ВОКРУГ ТОЧКИ

Определение 5. Поворотом плоскости вокруг точки S на направленный угол α называется такое отображение плоскости на себя, которое каждую точку М плоскости переводит в такую точку M`, что SM = SM` и направленный угол ∠MSM` равен α.

Точка S называется центром  поворота, а направленный угол α  – углом поворота.

Напомним, что угол называется направленным, если указано, какая из его сторон считается первой, а какая – второй.

Для обозначения поворота будем использовать символ .

Формулы поворота плоскости вокруг начала координат на заданный угол:

 

   

 

Свойства поворота плоскости вокруг точки

1. При повороте плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол образом прямой является прямая, образующая с данной прямой направленный угол, равный углу поворота.

2. При повороте  вокруг данной точки на заданный  направленный угол образом параллельных прямых будут параллельные прямые.

3. Поворот плоскости  вокруг данной точки на заданный  направленный угол сохраняет простое отношение трех точек.

4. При повороте  плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол образом отрезкаявляется равный ему отрезок, луча –  луч, полуплоскости – полуплоскость.

5. При повороте  плоскости вокруг данной точки на заданный направленный угол образом ортонормированного репера R является ортонормированный R`.

При этом точка  М с координатами х и у относительно репера R переходит в точку М` с  теми же самыми координатами х и  у, но относительно репера R`.

6. Композиция  двух поворотов вокруг точки О есть поворот с центром в точке О.

8. Композиция  двух осевых симметрий плоскости  с непараллельными осями m1 и m2, пересекающимися в точке О и образующими направленный угол α, есть поворот плоскости вокруг точки О.

9. Всякий поворот  плоскости вокруг точки О можно представить в виде композиции двух осевых симметрий, осью одной из них будет служить прямаяp, проходящая через центр О, а осью другой – прямая q, содержащая биссектрису угла, образованного образом m` луча m при повороте вокруг точки О на заданный угол и образом m`` луча m` при осевой симметрии с осью р.

 

Задачи

Пример 1. Два квадрата BCDA и BKMN имеют общую вершину В. Докажите, что медиана ВЕ треугольника АВК и высота ВF треугольника СBN лежат на одной прямой. (Вершины квадратов перечислены против часо- вой стрелки).

Решение. Для доказательства того, что медиана ВЕ и высота BF лежат на одной прямой, достаточно показать, что прямая ВЕ перпендикулярна прямой CN.

 

Применим поворот плоскости  вокруг точки В на угол 90° против часовой стрелки. При этом повороте образом  К будет вершина N, вершины С –