Потоки платежей

^{Содержание}

 

^{Введение                                                                                          3}

^{1. Потоки  платежей                                                                                                                          5}

^{2. Конечная годовая рента                                                                                                               7}

^{3. Вечная годовая  рента                                                                                                                  10}

^{Список  используемой литературы                                                                                                11}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^{Введение} 

 

^{Финансовая  математика -что это  за наука? Что в  ней есть, кроме  элементарных процентов-простых и сложных?Псоле замечательных работ американских экономистов  Марковитца (Н.М.Markowitz,1952г.) и Тобина (D.Tobin,1958г.),за которые их авторы получили Нобелевские премии, можно с уверенностью сказать, что такая наука есть.}

^{Чем интересна любая наука? Идеями ,в ней содержащимся ,прежде всего. В финансовой математике такие идеи есть. Идеи Марковитца и Тобина о строении оптимального портфеля ценных бумаг доступны даже домохозяйкам. Идея из оптимального портфеля очень проста. 
 Предположим ,что Вы имеете 1000000000 долларов. Вы хотите купить на всю эту сумму ценных бумаг: облигаций ,акций и т.п.Конечно, Вы хотите ,чтобы они приносили Вам некоторый доход, но Вы не хотите излишне рисковать. Теория Марковитца и Тобина диктует изящный вывод: Вы должны повторить среди рисковых ценных бумаг Вашего портфеля структуру большого рынка  этих бумаг(скажем фондового рынка США). Например, если на большом  рынке 1 % всех бумаг по стоимости составляют акции и облигации "General Motors" , то и в Вашем портфеле среди рисковых бумаг бумаги этой компании должны составить такую же долю безрисковых ценных бумаг в своем портфеле(больше таких бумаг-меньше доход и меньше риск, и наоборот).}

^{Безусловно, достойны внимания великолепные конструкции опционов, начисто уничтожающие риск. Наверное, как и выводы теории Марковитца  и Тобина, эти конструкции должен знать как можно более широкий круг людей - и не только финансистов .}

^{Конечно, нужно трезво сознавать ,что  все эти финансовые инструменты придуманы  для того чтобы извлекать прибыль на финансовом рынке ,т.е. из остальных участников этого рынка. Давний вывод о том, что на финансовом рынке выигрывает лишь "акулы",лишь те, кто имеет больше денег, кто имеет больше информации ,остается верными и по сегодняшний день.}

^{Понятно, что финансы являются лишь частью (очень важной, но всего лишь частью) всей экономики. Настоящие лидеры экономики - это производители материальных ценностей  и услуг: автомобилей ,магнитофонов ,компьютеров и т.п.Только там, в реальном секторе экономики ,делаются "настоящие" деньги ,а финансовая сфера, какие бы цели она ни преследовала сама по себе, вынуждена заниматься обслуживанием этого сектора.}

^{Основные  темы финансовой математики разбиваются  на две  части:}

^{I. Финансовые расчеты в условиях определенности: наращение  простых процентов  и сложных процентов; потоки платежей, ренты; кредитные расчеты; анализ инвестиционных процессов; общее понятие доходности финансовых операций; различные виды доходности операций; финансовые инструменты и их характеристики .}

^{II. Основы стохастической математики:}

^{Изменение расчетных  схем в  условиях неопределенности ;общие  методы уменьшение рисков; модели ценообразования  активов; опционы  и ценообразование  опционов; оптимальный  портфель ценных бумаг; финансовый рынок  и его модели.}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^{Потоки  платежей}

 

^{Потоки  платежей  весьма часто встречаются  на практике. Зарплата выплачивается ,как  правило, в виде потока платежей 2 раза в  месяц, примерно через 15 дней. Плата за квартиру - потока, как правило  ежемесячных  платежей. Семья откладывает на покупку автомобиля ,внося ежегодно на счет в банк некоторую сумму. И т.д.Поэтому изучение потоков платежей очень важно.}

^{1. Потоки платежей. Поток платежей-это последовательность величин самих платежей (со знаками ) и моментов времени, когда они осуществлены .}

^{Поток платежей со знаком "+" (знак может быть опущен)- это поступление, платежи со знаком "-" представляют собой  выплаты.}

^{Поток называется конечным или бесконечным ,смотря по количеству платежей в нем.}

^{Пусть  R=(r_k  ,t_k ) - поток платежей, в нем r_k - платежи, t_k - соответствующие моменты времени. Кроме того, предполагаются знание ставки процента i,обычно неизменной в течение всего потока.}

^{Величиной потока R в момент T называется сумма платежей потока, дисконтированных к этому моменту:}

^{Достаточно  найти величину потока в какой-то момент T,тогда в любой другой момент t величина потока равна} 

Величина R(0) называется современной величиной потока; если есть последний платеж ,то величина потока в момент этого платежа называется конечной величиной потока.

 

Пример 1. Пусть поток есть R=(-2000,1);(1000,2);(2000,3):

0	1	2	3
	-20000	10000	20000

 

Найдем характеристики этого  потока при ставке процента i=10%.

Сначала найдем современную величину потока:

R(0)=-2000/(1+0,1)¹  + 1000/(1+0,1)² +2000/(1+0,1) ³=-1818,2+826,4+1502,6=511.

Теперь можно найти  и конечную величину потока:

R(3)=R(0)(1 + 0,1) ³)=680

Поток положительных платежей с постоянными промежутками между  ними называется рентой. Часто сами платежи также являются одинаковыми. В дальнейшем рассматриваются только ренты с одинаковыми платежами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 . Конечная годовая рента. Это самая простая рента: в ней только один платеж r в год, длительность ее n лет, годовая процентная ставка i.

На рентные  платежи начисляются сложные  проценты.

Если платежи  поступают в конце очередного промежутка, то рента называется постнумерандо , в начале - пренумерандо.

 

Пример 2. Рассмотрим 5- летнюю ренту с годовым платежом 1000руб.,процентная ставка i=10%

 

года	0	1	2	3	4	5
Годовые платежи		1000	1000	1000	1000	1000
Всего на счете			2100	3310	4641	6105,1

 

 

Рассматриваемая рента постнумерандно .

Поясним движение денежных сумм. В конце 1-го года в  банк вносится 1000руб. В конце 2-го эта сумма возрастает за счет начисленных 10-ти процентов до 1100руб. Вместе с очередным внесенным платежом в 100руб на счете уже 2100. В конце 3-го года эта сумма возрастает за счет начисленных 10-ти процентов до 2310.Вместе с очередным внесенным платежом на счете уже 3310.И т.д.Наращенная сумма ренты найдем, дисконтируя к моменту 0 наращенную сумму 6105,5.Получаем 6105,5/(1,1)⁵=5550.

Изучим подробно конечную годовую ренту (r,n,i) в общем виде:

 

Года	0	1	2	3	......	n
Платежиb		r	r	r	.....	r

 

Главное найти  современную величину этой ренты.

Имеем

A=r/(1+i)¹  + r/(1+i)²+...+r/(1+i)ⁿ=r((1+i) ^-1+...+(1+i) ^-n).

Как видно, в скобках стоит сумма n членов геометрической прогрессии с 1-м членом (1+i) ^-1

и знаменателем (1+i) ^-1.Как известно, сумма n членов геометрической прогрессии с 1-м членом b₁ и знаменателем q равна b₁(qⁿ-1)/(q-1), или (b_nq-b₁)/(q-1).Следовательно, сумма в скобках есть (1-(1+i) ^-n)/i, и поэтому современная величина ренты есть A=r(1-(1+i) ^-n)/i.

Величина (1-(1+i) ^-n)/i. обозначается a(n,i) b и называется  коэффициентом  наращения ренты. С учетом этого обозначения  имеем A=ra(n,i).

Зная современную величину ренты, можно легко найти конечную  ее величину S, которая называется еще наращенной величиной ренты: S=A(1+i)ⁿ,или S=ra(n,i)(1+i)ⁿ= r((1+i) ⁿ-1)/i.

Величины a(n,i) и s(n,i) связаны очевидным соотношением : s(n,i)=a(n,i)(1+i)ⁿ, или s(n,i)=a(n,i)M(n_i,i) (M(n_i,i) -это мультиплицирующий множитель).

Коэффициент наращения s(n,i) показывает, во сколько раз наращенная  величина ренты больше ее годового платежа. Аналогичный смысл имеет и коэффициент привидения ренты: он показывает, во сколько раз современная величина ренты больше ее годового платежа. Отметим также следующий смысл понятия "современная величина ренты":если в момент 0 положить в банк современную величину ренты под i процентов годовых, то к концу n-го года она вырастет  до наращенной величины ренты S.

Ниже приведены  фрагменты таблиц коэффициентов привидения и наращения годовой ренты.

 

Коэффициенты  привидения годовой ренты

a(n,i)= (1-(1+i) ^-n)/i

n\i	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	2,829	2,775	2,723	2,673	2,624	2,577	2,531	2,487	2,444
4	3,717	3,630	3,546	3,465	3,387	3,312	3,240	3,170	3,102
5	4,580	4,452	4,329	4,212	4,100	3,993	3,890	3,791	3,696
6	5,417	5,242	5,076	4,917	4,767	4,623	4,486	4,3551	4,231
7	6,230	6,002	5,786	5,582	5,389	5,206	5,033	4,868	4,712
8	7,020	6,733	6,483	6,210	5,971	5,747	5,535	5,335	5,146
9	7,786	7,435	7,108	6,802	6,515	6,247	5,995	5,759	5,537
10	8,530	8,110	7,722	7,360	7,024	6,710	6,418	6,145	5,889

 

Коэффициенты  наращения годовой ренты

s(n,i)= ((1+i) ⁿ-1)/i.

n\i	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	3,091	3,122	3,153	3,184	3,215	3,246	3,278	3,310	3,342
4	4,184	4,246	4,310	4,375	4,440	4,506	4,573	4,641	4,710
5	5,309	5,416	5,526	5,637	5,751	5,867	5,985	6,105	6,228
6	6,468	6,633	6,802	6,975	7,153	7,336	7,523	7,716	7,913
7	7,662	7,898	8,142	8,394	8,654	8,923	9,200	9,487	9,783
8	8,892	9,214	9,549	9,897	10,26	10,63	11,02	11,43	11,85
9	10,15	10,58	11,02	11,49	11,97	12,48	13,02	13,57	14,16
10	11,46	12,00	12,57	13,18	13,81	14,48	15,19	15,93	16,72