Понятие математического анализа. Исторический очерк

Содержание

1 Понятие математического анализа.  Исторический очерк

2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа

3 Дальнейшее развитие математического  анализа

Заключение

Список литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Л. Эйлер - самый продуктивный математик  в истории, автор более чем 800 работ  по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. Многие его работы оказали значительное влияние на развитие науки.

Почти полжизни Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать  российскую науку. В 1726 году он был приглашён  работать в Санкт-Петербург. В 1731—1741 и начиная с 1766 года был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741-1766 годах работал в Берлине, оставаясь почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык, часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики по математике (С. К. Котельников), и по астрономии (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.

Л.Эйлер внес очень большой вклад в развитие математического анализа.

Цель реферата – изучить историю  развития математического анализа  в XVIII веке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Понятие математического  анализа. Исторический очерк

Математический анализ - совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.

В учебном процессе к анализу  относят

·           дифференциальное и интегральное исчисление

·           теорию рядов (функциональных, степенных и Фурье) и многомерных интегралов

·           векторный анализ.

При этом элементы функционального  анализа и теории интеграла Лебега даются факультативно, а ТФКП, вариационное исчисление, теория дифференциальных уравнений читаются отдельными курсами. Строгость изложения следует  образцам конца XIX века и в частности  использует наивную теорию множеств.

Предшественниками математического  анализа были античный метод исчерпывания и метод неделимых. Все три  направления, включая анализ, роднит общая исходная идея: разложение на бесконечно малые элементы, природа  которых, впрочем, представлялась авторам  идеи довольно туманно. Алгебраический подход (исчисление бесконечно малых) начинает появляться у Валлиса, Джеймса  Грегори и Барроу. В полной мере новое исчисление как систему создал Ньютон, который, однако, долгое время не публиковал свои открытия.

Официальной датой рождения дифференциального  исчисления можно считать май 1684, когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и  минимумов…». Эта статья в сжатой и малодоступной форме излагала принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением.

В конце XVII века вокруг Лейбница возникает  кружок, виднейшими представителями  которого были братья Бернулли, Якоб и Иоганн, и Лопиталь. В 1696, используя лекции И. Бернулли, Лопиталь написал первый учебник, излагавший новый метод в применении к теории плоских кривых. Он назвал его «Анализ бесконечно малых», дав тем самым и одно из названий новому разделу математики. В основу изложения положено понятие переменных величин, между которыми имеется некоторая связь, из-за которой изменение одной влечёт изменение другой. У Лопиталя эта связь даётся при помощи плоских кривых: если M - подвижная точка плоской кривой, то её декартовы координаты x и y, именуемые диаметром и ординатой кривой, суть переменные, причём изменение x влечёт изменение y. Понятие функции отсутствует: желая сказать, что зависимость переменных задана, Лопиталь говорит, что «известна природа кривой». Понятие дифференциала вводится так:

«Бесконечно малая часть, на которую  непрерывно увеличивается или уменьшается  переменная величина, называется ее дифференциалом… Для обозначения дифференциала переменной величины, которая сама выражается одной буквой, мы будем пользоваться знаком или символом d. Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается дифференциал переменной величины, называется … вторым дифференциалом».

Эти определения поясняются геометрически, при этом на рисунке бесконечно малые  приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно  было брать безразлично одну вместо другой. 

Отсюда получается x + dx = x, далее

dxy = (x + dx)(y + dy) − xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx)dy + ydx = xdy + ydx

и проч. правила дифференцирования. Второе требование гласит:

Требуется, чтобы можно было рассматривать  кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий.

Продолжение каждой такой линии  называется касательной к кривой.Исследуя касательную, проходящую через точку M = (x,y), Лопиталь придаёт большое значение величине

,

достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же dy к dx не придаётся никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума. Если при непрерывном увеличении диаметра x ордината y сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал dy сначала положителен по сравнению с dx, а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может  превратиться из положительной в  отрицательную, не проходя через  бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности.

Вероятно, эта формулировка не безупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, y = x2, тогда в силу первого  требования

2xdx + dx2 = 2xdx;

в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало  сказать, что dy можно преобразовать в соответствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума dy = 0. В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что dy равен нулю в точке максимума, будучи разделён на dx

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число  сложных задач, относящихся в  основном к дифференциальной геометрии  на плоскости. В конце книги, в  гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя, хотя и в не совсем обычной форме. Пусть величина ординаты y кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при x = a. Тогда точка кривой с x = a имеет ординату y, равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при x = a.

По замыслу Лопиталя написанное им составляло первую часть «Анализа», вторая же должна была содержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных по известной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернулли в его «Математических лекциях о методе интеграла». Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа

Леонард Эйлер (Euler, Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля 1707 в семье пастора и провел детство в близлежащем селении, где его отец получил приход. Здесь на лоне сельской природы, в благочестивой обстановке скромного пасторского дома Леонард получил начальное воспитание, наложившее глубокий отпечаток на всю его последующую жизнь и мировоззрение. Обучение в гимназии в те времена было непродолжительным. Осенью 1720 тринадцатилетний Эйлер поступил в Базельский университет, через три года окончил низший – философский факультет и записался, по желанию отца, на теологический факультет. Летом 1724 на годичном университетском акте он прочел по-латыни речь о сравнении картезианской и ньютонианской философии. Проявив интерес к математике, он привлек к себе внимание Иоганна Бернулли. Профессор стал лично руководить самостоятельными занятиями юноши и вскоре публично признал, что от проницательности и остроты ума юного Эйлера он ожидает самых больших успехов.

Еще в 1725 Леонард Эйлер выразил  желание сопровождать сыновей своего учителя в Россию, куда они были приглашены в открывавшуюся тогда  – по воле Петра Великого – Петербургскую  Академию наук. На следующий год  получил приглашение и сам. Покинул  Базель весной 1727 и после семинедельного путешествия прибыл в Петербург. Здесь он был зачислен сначала  адъюнктом по кафедре высшей математики, в 1731 стал академиком (профессором), получив  кафедру теоретической и экспериментальной  физики, а затем (1733) кафедру высшей математики.

Сразу же по приезде в Петербург  он полностью погрузился в научную  работу и тогда же поразил всех плодотворностью своей деятельности. Многочисленные его статьи в академических  ежегодниках, первоначально посвященные  преимущественно задачам механики, скоро принесли ему всемирную  известность, а позже способствовали и славе петербургских академических  изданий в Западной Европе. Непрерывный  поток сочинений Эйлера печатался  с тех пор в трудах Академии в течение целого века.

Наряду с теоретическими исследованиями, Эйлер уделял много времени и  практической деятельности, исполняя многочисленные поручения Академии наук. Так, он обследовал разнообразные  приборы и механизмы, участвовал в обсуждении способов подъема большого колокола в Московском кремле и т.п. Одновременно он читал лекции в академической гимназии, работал в астрономической обсерватории, сотрудничал в издании Санкт-Петербургских ведомостей, вел большую редакционную работу в академических изданиях и пр. В 1735 Эйлер принял участие в работе Географического департамента Академии, внеся большой вклад в развитие картографии России. Неутомимая работоспособность Эйлера не была прервана даже полной потерей правого глаза, постигшей его в результате болезни в 1738.

Осенью 1740 внутренняя обстановка в  России осложнилась. Это побудило Эйлера принять приглашение прусского  короля, и летом 1741 он переехал в  Берлин, где вскоре возглавил математический класс в реорганизованной Берлинской Академии наук и словесности. Годы, проведенные Эйлером в Берлине, были наиболее плодотворными в его  научной деятельности. На этот период падает и его участие в ряде острых философско-научных дискуссий, в том числе о принципе наименьшего  действия. Переезд в Берлин не прервал, однако, тесных связей Эйлера с Петербургской  Академией наук. Он по-прежнему регулярно  посылал в Россию свои сочинения, участвовал во всякого рода экспертизах, обучал посланных к нему из России учеников, подбирал ученых на замещение вакантных должностей в Академии и выполнял много других поручений.

Религиозность и характер Эйлера не соответствовали окружению «вольнодумного»  Фридриха Великого. Это привело к  постепенному осложнению отношений  между Эйлером и королем, который  при этом отлично понимал, что  Эйлер является гордостью Королевской  Академии. В последние годы своей  берлинской жизни Эйлер исполнял фактически обязанности президента Академии, но должности этой так  и не получил. В итоге летом 1766, несмотря на сопротивление короля, Эйлер принял приглашение Екатерины  Великой и вернулся в Петербург, где оставался затем до конца  своей жизни.

В том же 1766 Эйлер почти полностью  потерял зрение и на левый глаз. Однако это не помешало продолжению  его деятельности. С помощью нескольких учеников, писавших под его диктовку и оформлявших его труды, полуслепой Эйлер подготовил в последние  годы своей жизни еще несколько  сотен научных работ.

В начале сентября 1783 Эйлер почувствовал легкое недомогание. 18 сентября он еще  занимался математическими исследованиями, но неожиданно потерял сознание и, по меткому выражению панегириста, «прекратил вычислять и жить».

Похоронен на Смоленском лютеранском  кладбище в Петербурге, откуда его  прах перенесен осенью 1956 в некрополь  Александро-Невской лавры.

Научное наследие Леонарда Эйлера колоссально. Ему принадлежат классические результаты в математическом анализе. Он продвинул  его обоснование, существенно развил интегральное исчисление, методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений  и уравнений в частных производных. Эйлеру принадлежит знаменитый шеститомный курс математического анализа, включающий «Введение в анализ бесконечно малых», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление» (1748–1770). На этой «аналитической трилогии» учились многие поколения математиков всего мира.

Эйлер получил основные уравнения  вариационного исчисления и определил  пути дальнейшего его развития, подведя  главные итоги своих исследований в этой области в монографии «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума» (1744). Значительны  заслуги Эйлера в развитии теории функций, дифференциальной геометрии, вычислительной математики, теории чисел. Двухтомный курс Эйлера «Полное руководство  по алгебре» (1770) выдержал около 30 изданий  на шести европейских языках.

Фундаментальные результаты принадлежат  Леонарду Эйлеру в рациональной механике. Он впервые дал последовательно  аналитическое изложение механики материальной точки, рассмотрев в своей  двухтомной «Механике» (1736) движение свободной  и несвободной точки в пустоте  и в сопротивляющейся среде. Позже  Эйлер заложил основы кинематики и динамики твердого тела, получив  соответствующие общие уравнения. Итоги этих исследований Эйлера собраны  в его «Теории движения твердых  тел» (1765). Совокупность уравнений динамики, представляющих законы количества движения и момента количества движения, крупнейший историк механики Клиффорд Трусделл предложил называть «Эйлеровыми законами механики».

В 1752 была опубликована статья Эйлера «Открытие нового принципа механики», в которой он сформулировал в  общем виде ньютоновы уравнения движения в неподвижной системе координат, открыв путь для изучения механики сплошных сред. На этой основе он дал вывод классических уравнений гидродинамики идеальной жидкости, найдя и ряд их первых интегралов. Значительны также его работы по акустике. При этом ему принадлежит введение как «эйлеровых» (связанных с системой отсчета наблюдателя), так и «лагранжевых» (в сопутствующей движущемуся объекту системе отсчета) координат.