Основные понятия теории вероятностей

      5. Статистическое определение  вероятности.

     Формула (1.1) используется для непосредственного  вычисления вероятностей событий только тогда, когда опыт сводится к схеме случаев. На практике часто классическое определение вероятности неприменимо по двум причинам: во-первых, классическое определение вероятности предполагает, что общее число случаев должно быть конечно. На самом же деле оно зачастую неограничено; во-вторых, часто невозможно представить исходы опыта в виде равновозможных и несовместных событий.

      Частота появления событий при многократно  повторяющихся опытах имеет тенденцию стабилизироваться около какой-то постоянной величины. Таким образом, с рассматриваемым событием можно связать некоторую постоянную величину, около которой группируются частоты и которая является характеристикой объективной связи между комплексом условий, при котором производятся опыты, и событием.

      Вероятностью  случайного события  называется постоянное число, около которого группируются частоты  этого события  по мере увеличения числа испытаний.

      Это определение вероятности называется статистическим.

      Статистический  способ определения вероятности  имеет то преимущество, что он опирается  на реальный эксперимент. Однако он имеет  тот существенный недостаток, что  для надежного определения вероятности  необходимо проделать большое число  опытов, которые очень часто связаны с материальными затратами. Статистическое определение вероятности события хотя и достаточно полно выявляет содержание этого понятия, но не дает возможности фактического вычисления вероятности, т. е. не является рабочим определением.

      6. Геометрическая вероятность.

     В классическом определении вероятности  рассматривается полная группа конечного  числа равновозможных событий. На практике же очень часто встречаются такие  испытания, число возможных исходов  которых бесконечно. В таких случаях  классическое определение вероятности неприменимо. Однако иногда в таких случаях можно воспользоваться другим методом вычисления вероятности. Для определенности ограничимся двухмерным случаем.

      Пусть на плоскости имеется некоторая  область  , площадь которой , и в ней содержится другая область , площадь которой (рис. 3).  
 
 
 
 
 
 

Рис. 3 

В область  наудачу бросается точка. Спрашивается, чему равна вероятность того, что точка попадет в область ? При этом предполагается, что наудачу брошенная точка может попасть в любую точку области и вероятность попасть в какую-либо часть области пропорциональна площади части и не зависит от ее расположения и формы. В таком случае вероятность попадания в область при бросании наудачу точки в область равна

.     (1.3)

      Таким образом, в общем случае, если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером, т. е. длиной, площадью или объемом, то вероятность появления случайной точки внутри некоторой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка. Это есть геометрическое определение вероятности. 
 

      7. Аксиомы теории  вероятностей.

     Рассмотрим  аксиомы теории вероятностей. Из статистического определения вероятности случайного события следует, что вероятность события есть число, около которого устойчиво колеблется частота этого события, наблюдаемая на опыте. Поэтому аксиомы теории вероятностей вводятся таким образом, чтобы вероятность события обладала основными свойствами частоты.

      Аксиома 1. Каждому событию соответствует определенное число , удовлетворяющее условию и называемое его вероятностью.

      Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице.

      Аксиома 3. Вероятность невозможного события равна нулю.

      Аксиома 4 (аксиома сложения). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

      Аксиома 4’. Вероятность суммы конечного или бесконечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей. 

ЗАДАЧИ 

      1. В урне имеется  шаров: белых и черных. Из урны наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что этот шар: а) белый; б) черный?

Ответ: а) 3/10; б) 7/10.

      2. Из слова “НАУГАД” выбирается  наугад одна буква. Какова вероятность  того, что это буква “Я”? Какова  вероятность того, что это гласная?

Ответ: 0; 1/2.

      3. Брошены три монеты. Найти вероятность того, что выпадут два “герба”.

Ответ: 3/8.

      4. Бросают игральную кость. Какова  вероятность выпадения номера  на верхней грани упавшей кости?  Какова вероятность выпадения номера, большего ?

Ответ: 1/6; 1/3.

      5. Брошены две игральные кости.  Какова вероятность выпадения  на двух костях в сумме не  менее  очков? Какова вероятность выпадения единицы по крайней мере на одной кости?

Ответ: 5/18; 11/36.

      6. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово “ДВА” ?

Ответ: 1/60.

      7. Ребенок играет с четырьмя  буквами разрезной азбуки: А, А,  М, М. Какова вероятность того, что при случайном расположении букв в ряд он получит слово “МАМА” ?

Ответ: 1/6.

      8. При наборе телефонного номера  абонент забыл две последние  цифры и набрал их наудачу,  помня только, что эти цифры  нечетные и разные. Найти вероятность  того, что номер был набран правильно.

Ответ: 1/20.

      9. В партии из  изделий бракованных. Из партии выбираются наугад изделий. Определить вероятность того, что из изделий окажутся бракованными.

Ответ: 0,0938.

      10. Два лица, А и В, условились  встретиться в определенном месте  между двумя и тремя часами  дня. Пришедший первым ждет  другого в течение  минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти в любой момент?

Ответ: 11/36.