Основные элементарные функции и их графики

Основные элементарные функции и их графики.

1. Линейные функции.

Линейная функция - функция вида y=kx+b, где k,b=const. K – угловой коэффициент (тангенс угла, который образует прямая с положительным направлением оси абсцисс), b – свободный член. Область определения функции – множество всех действительных чисел R. Область значений функции, при условии, что k≠0 – множество всех действительных чисел. Если k=0, то множество значений функции состоит из одной точки b. При k≠0, b≠0 функция не является ни чётной, ни нечётной. Если k=0 (b любое) – функция чётная. Если b=0 (k любое) функция нечётная, прямая проходит через начало координат. При k>0 функция возрастает при любых x, прямая образует острый угол с осью абсцисс. При k<0 функция убывает при любых x, прямая образует тупой угол с осью абсцисс. При k=0 функция постоянна, прямая параллельна оси абсцисс.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Степенные функции.

Степенная функция — функция  , где (показатель степени) – некоторое вещественное число. Существует несколько ситуаций, когда >0:

1. ; n N, в этом случае область определения степенной функции совпадает со множеством  R.
2. ; r Q. Пусть (несократимая дробь), тогда =. Область определения функции зависит от сочетания значений m и n. При нечётном n выражение   определено для любых x принадлежащих R, а при чётном n, когда n≤0.
3. , ∏(положительное иррациональное число), в этом случае область определения функции являются все неотрицательные R.

Если , то , также .

Также, например, пусть . Тогда общая степенная функция определяется так:

, где  – любое фиксированное число, ради определённости больше единицы.

  возрастает при и убывает при на полупрямой

Справедливы следующие свойства:

1. Для степенной функции выполнены следующие соотношения:

  при , при

2. Степенная функция непрерывна в каждой точке открытой полупрямой .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Показательные функции.

Показательная функция – функция вида Область определения функции – все вещественные числа R. Область значений совпадает с положительным R.

Свойства показательной функции:

1. Степенная функция и целом положительном возрастает и непрерывна.
2. Для любых фиксированных вещественных чисел и всевозможных рациональных чисел α и β удовлетворяющих неравенствам   , существует и притом единственное число , удовлетворяющее неравенствам .
3. Показательная функция при   возрастает на всей бесконечной прямой.
4. Показательная функция () является непрерывной в любой точке бесконечной прямой.

Следствия:

1. Показательная функция при   положительна (при всех значениях ).
2. Показательная функция при   удовлетворяет условиям: .
3. Значение функции при   заполняют всю положительную полупрямую .
4. Для любых вещественных чисел справедливы соотношения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Логарифмические функции

Функция вида   y = log_a х (где а > 0, а ≠ 1)   называется логарифмической.

1) Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел. 
Это следует из определения логарифма, так как выражение log_ax имеет смысл только при x > 0.

2) Множество значений логарифмической функции — множество R всех действительных чисел. 
Это следует из того, что для любого действительного числа b есть такое положительное число x, что log_ax = b, т.е. уравнение log_ax = b имеет корень. Такой корень существует и равен x = a^b, так как log_aa^b = b.

3) Логарифмическая функция y = log_ax является возрастающей на промежутке x > 0, если a > 0, и убывающей, если 0 < a < 1.

4) Если a > 0, то функция y = log_ax принимает положительные значения при x > 1,отрицательные — при 0 < x < 1. Если 0 < a < 1, то функция y = log_ax принимает положительные значения при 0 < x < 1, отрицательные — при x > 1. 
Это следует из того, что функция y = log_ax принимает значение , равное нулю, при x = 1 и является возрастающей на промежутке x > 0, если a > 1, и убывающей, если 0 > a > 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.   Тригонометрические функции

 Тригонометрические функции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе(или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла в круге)

К тригонометрическим функциям относятся:

прямые тригонометрические функции

• синус ( )
• косинус ( )

производные тригонометрические функции

• тангенс ( )
• котангенс ( )

Геометрическое определение

 

Обычно тригонометрические функции  определяются геометрически. Пусть  нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса   с центром в начале координат  . Измерим углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча  . Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки   обозначим  , ординату обозначим   (см. рисунок).

• Синусом называется отношение 
• Косинусом называется отношение 
• Тангенс определяется как 
• Котангенс определяется как 

Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Непрерывность

Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс имеет точки разрыва  ; котангенс - …

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

Область определения:

Для синуса и косинуса – все  вещественные числа.

Для тангенса это 

Для  котангенса это 

Область значений:

Для синуса и косинуса [-1;1]

Для тангенса и котангенса все вещественные числа.

Периодичность

Функции   — периодические с периодом  ,  функции   — c периодом  .

Также стоит отметить формулы сложения, приведения, произведения, степени, суммы, формулы для кратных углов и однопараметрическое представление.

                           6. Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

• арксинус (обозначение:  )
• арккосинус (обозначение:  )
• арктангенс (обозначение:  )
• арккотангенс (обозначение:  )

Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого 

Функция   непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция   является строго возрастающей.

•  при 
•  при 
•  (область определения),
•  (область значений).

 

Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, для которого 

Функция   непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция  является строго убывающей.

•  при 
•  при 
•  (область определения),
•  (область значений).

 

Арктангенсом числа m называется такое значение угла  , для которого 

Функция   непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция   является строго возрастающей.

•  при 
•  при 

 

арккотангенсом числа m называется такое значение угла x, для которого 

Функция   непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция   является строго убывающей.

•  при 
•  при 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                7. Гиперболические функции

Функции вида (гиперболический косинус), (гиперболический синус), (гиперболический тангенс), (гиперболический тангенс) называются гиперболическими. Все перечисленные функции заданы на всей числовой оси, а гиперболический котангенс определён всюду на числовой оси, за исключением точки .