Определение сводных выборочных характеристик

 Эмпирические законы распределения признака могут быть изображены графически в виде полигонов и гистограмм.

Полигоном частот, или относительных частот называется ломаная линия, получаемая путем откладывания по оси абсцисс значений признака Х (например, границ частных интервалов ∆х), построения над серединами частных интервалов соответствующих частот m или относительных частот w и соединения получаемых точек (рисунок 1).

Рисунок 1 – Полигон частот

Гистограммой называется ступенчатый график,  состоящий  из прямоугольников, основаниями которых служат частные интервалы ∆х_i, а площади равны частотам m_i или относительным частотам w_i (рисунок 2).

Кроме законов распределения  в виде таблиц распределения частот m (относительных частот W), существует также суммарный закон распределения накопленных частот S(m).

       

Рисунок 2 – Гистограмма частот

Накопленной частотой (или  кумулятивной частотой) для варианта х_p называется сумма частот S(m_p) вариантов, не превышающих х_p, т.е.

S(m_p)=m₁+m₂+…+m_p                                                                    (7)

График суммарного распределения  накопленных частот называется кумулятой. На рисунке 3  изображена кумулята, построенная по данным таблицы 3, в таблице 3 в столбце 7 подсчитаны накопленные частоты S(m) по формуле (7).

             

Рисунок 3 – Кумулята

1.2 Числовые характеристики совокупности случайных величин

Статистическую совокупность можно охарактеризовать различными средними величинами. Среднее значение определяет центр распределения  случайных величин, около которого группируется большая их часть. Этот центр распределения характеризуется  средней арифметической, средней квадратической, средней гармонической и средней геометрической.

Среднюю арифметическую определяют, складывая все результаты и деля на сумму испытаний:

 

(8)

 

где n – численность выборочной совокупности.

Если среднюю арифметическую Х используют для расчета других характеристик, то её записывают на один разряд ниже низшего разряда в отдельных измерениях. Если Х характеризует итоговый результат испытаний, её округляют до низшего разряда, одинакового с первичными данными.

Средней квадратической называют квадратный корень из частного от деления суммы квадратов отдельных значений Х_i совокупности на их число.

Выборочная средняя гармоническая определяется по формуле:

 

     (9)

 

Среднюю гармоническую применяют  при вычислении среднего номера и  при определении зависимости  между номером и линейной плотностью (текс).

 

    (10)

Выборочная средняя геометрическая определяется по формуле:

        (11)

Средняя геометрическая применяется в комплексных оценках.

Между рассмотренными средними существует следующее соотношение:

X_h≤ X_г≤ X≤X_k

Вспомогательными характеристиками признака являются мода и медиана.

Мода характеризует величину признака, появляющегося наиболее часто по сравнению с другими величинами данного признака. В вариационном ряду это будет значение признака, которое имеет наибольшую частоту.

Мода применяется в  тех случаях, когда нужно охарактеризовать наиболее часто встречающуюся величину признака.

Медиана – это варианта, которая находится в середине вариационного ряда. Медиана делит  ряд пополам, по обе стороны от неё (вверх и вниз) находится одинаковое количество единиц данных. Медиана интересна тем, что показывает количественную границу признака, которую достигла половина членов совокупности.

Абсолютной характеристикой  рассеяния случайной величины Хi около центра распределения Х является дисперсия S2{X}. При малом объеме выбор- ки (n30) дисперсия определяется по формуле:

     (12)

Расчеты числовых характеристик  совокупности случайных величин  в Excel находятся в приложении А.

1.3 Определение  сводных выборочных характеристик  способом сумм

Сводные выборочные характеристики  определили по способу сумм путем кратного сложения частот.  В качестве условного среднего выбрали интервал или класс, имеющий наибольшую частоту и расположенный в средней части колонки классов.  Против класса с наибольшей частотой в графе 4 поставили прочерк. В графе 4 проставляли накопленные частоты сверху вниз и снизу вверх до прочерка. Далее подсчитывали суммы нижней части и верхней части графы 4:

– сумма чисел графы 4 снизу до прочерка;

– сумма чисел  графы 4 сверху до прочерка.

 

Таблица 4 – Расчет выборочных характеристик способом сумм

Границы классов,	Среднее значение класса, Х	Частота, m	b1=79	b2=56	b3=24	b4=5
37,2-38,1	37,65	5	5	5	5	5
38,2-39,1	38,65	4	9	14	19	–
39,2-40,1	39,65	14	23	37	–	–
40,2-41,1	40,65	19	42	–	–	–
41,2-42,1	41,65	24	–	–	–	–
42,2-43,1	42,65	21	34	–	–	–
43,2-44,1	43,65	10	13	17	–	–
44,2-45,1	44,65	2	3	4	5	–
45,2-46,1	45,65	1	1	1	1	1
		100	a1=51	a2=22	a3=6	a4=1

 

В графе 5 ставили три прочерка: средний из них – против класса с наибольшей частотой, один строчкой выше и один строчкой ниже, далее подсчитывали накопленные частоты сверху и снизу до прочерков.  В графе 6 ставили пять прочерков, в графе 7 – соответственно семь прочерков, аналогично подсчитывали накопленные частоты, определяли сумму нижней части и верхней части граф:

–сумма чисел графы 5 снизу до прочерка;

– сумма чисел  графы 5 сверху до прочерка.

–сумма чисел  графы 6 снизу до прочерка;

–сумма чисел  графы 6 сверху до прочерка.

–сумма чисел  графы 7 снизу до прочерка;

–сумма чисел  графы 7 сверху до прочерка.

Суммы и контролируем крайними значениями, расположенными около черточек (эти цифры в табл.4 подчеркнуты).

 

 

Условные моменты определили по формулам:

    (13)

 

      (14)

 

    (15)

 

   (16)

 

Вычислили выборочное среднее по формуле:

   (17)

По данным таблицы 4 получили:

  (18)

 

Дисперсию рассчитали по формуле:

  (19)

 

где , – соответствующие условные моменты.

Среднее квадратическое отклонение определили по формулам:

              (20)

 

Коэффициент вариации:

     (21)

 

Показатели асимметрии и эксцесса рассчитывали по следующим формулам:

       (22)

 

 

     (23)

 

 

Таким образом, распределение  имеет отрицательную ассиметрию и отрицательный эксцесс.

Вывод: В первой части курсовой работы рассчитали сводные статистические характеристики: показатели асимметрии и эксцесса. Так как асимметрия и эксцесс стремятся к нулю, характеристики подчиняются нормальному закону распределения. Характеристики, рассчитанные способом сумм, совпадают с характеристиками, рассчитанными в электронной таблице Excel (см. приложение А).