Несобственные интегралы первого, второго и третьего рода

.                                                                                                  (1.2.2.1)

Мы имеем 

                                       поэтому интеграл вида (1.2.2.1) сходится при < 1 и расходится при .

б. Применяя признак сравнения, получаем: если при выполняется неравенство

                                                                                то интеграл

                                                                                                сходится при < 1 и расходится при .

в. Рассмотрим, в частности, интеграл

.                                                                                            (1.2.2.2)

При малых x мы имеем а при любом . Можно взять ; сравнивая теперь интеграл (1.2.2.2) с интегралом

,                                                                                                     сходящимся в силу а, получаем, что и интеграл (1.2.2.2) сходится при любом .

1.2.3. Несобственные интегралы третьего рода. Пусть комплексная функция f(x) задана в промежутке (a, b), концы которого могут быть и в бесконечности (т.е. значения допускаются). По отношению к функции f(x) будем называть точку с особой в следующих случаях:

а) точки , если они являются концевыми точками промежутка (а,b), всегда считаются особыми;

б) точка с, лежащая внутри (а, b), называется особой, если функция f(x) не является интегрируемой в обычном смысле ни в какой окрестности этой точки; концевая точка с считается особой, если f(x) не интегрируема ни в какой односторонней (со стороны промежутка (а, b)) окрестности этой точки.

Будем предполагать, что  функция f(x) обладает не более чем конечным числом особых точек и что вне этих точек она непрерывна или кусочно-непрерывна. Мы хотим придать смысл «несобственному интегралу 3-го рода»

.                                                                                               (1.2.3.1)

Выбирая между каждыми двумя соседними особыми точками неособую точку мы получим совокупность промежутков вида , имеющих только по одной особой точке на границе. Определим сначала интегралы от функции f(x) по таким промежуткам, как несобственные интегралы 1-го и 2-го рода:

,       .

Только если все получающиеся несобственные интегралы сходятся, мы будем приписывать смысл интегралу  (1.2.3.1); именно, положим

.                                       (1.2.3.2)

Нужно проверить, что результат  не зависит от выбора точек . Проверим это для одного из промежутков [].

Пусть . Тогда

.

1.3. Вычисление  несобственных интегралов с помощью  вычетов 

1.3.1. Интеграл от рациональной функции.

Рассмотрим несобственный интеграл от рациональной функции— отношения двух многочленов Р(х) и Q(x) (с комплексными коэффициентами):

.                                                                                              (1.3.1.1)

Он сходится, если знаменатель  не имеет вещественных корней и степень  числителя по крайней мере на две единицы меньше, чем степень знаменателя.

Как вычислить значение этого  интеграла?

Можно, разумеется, взять  неопределенный интеграл от рациональной функции  и подставить пределы . Но, оказывается, иногда быстрее применить методы, связанные с аналитической природой функции .

Функция комплексного переменного z, равная , аналитична всюду в плоскости переменного z, за исключением конечного числа точек—корней знаменателя. Рассмотрим в верхней полуплоскости замкнутый кусочно-гладкий контур L, образованный отрезком [-R, R] вещественной оси и полуокружностью

                                                                                    где R настолько велико, что вне полученного полукруга уже нет в верхней полуплоскости ни одного корня знаменателя.

Внутри этого полукруга  имеется, вообще говоря, некоторое число  корней знаменателя, например (рис. 1.3.1).

Рис. 1.3.1

 

 

В силу формулы 

 мы получаем выражение

.                          (1.3.1.2)

Устремим теперь R в . На полуокружности мы имеем в силу условия на степени многочленов Р(z) и Q(z), где А — некоторая постоянная; поэтому

.

Отсюда следует, что интеграл

                                                                                               (1.3.1.3) имеет пределом при величину (1.3.1.2). Но так как интеграл (1.3.1.1) сходится, то он должен совпадать с пределом интеграла (1.3.1.3). Итак,

=.                                                    (1.3.1.4)

а. Если корни простые, то по формуле

 

                                                                                       и, следовательно,

 .                                                                (1.3.1.5)

б. Замечание. Интеграл их мы привели к сумме вычетов (умноженной на ) функции в верхней полуплоскости, рассматривая контур L, составленный из отрезка [-R, R] и полуокружности .

Но таким же образом  можно рассуждать и с контуром , составленным из отрезка [R, -R] (проходимого справа налево) и полуокружности в нижней полуплоскости; мы получим

 где - корни многочлена Q(z), лежащие в нижней полуплоскости. 

Переходя к пределу  при , найдем

.          (1.3.1.6)

Полученный результат по форме отличается от результата (1.3.1.4). В действительности они, конечно, совпадают, так что разность этих результатов, т. е. умноженная на сумма вычетов функции во всех корнях Q(z), как в верхней, так и в нижней полуплоскости, равна 0.

Это можно показать и непосредственно. Как мы знаем, эта сумма вычетов  совпадает с интегралом

                                                                                      (1.3.1.7) по полной окружности радиуса R, достаточно большого, чтобы она содержала внутри все корни Q(z). Этот интеграл не зависит от R и в то же время допускает оценку

.

Таким образом, интеграл (8) равен 0. Отсюда

.

1.3.2. а. Интегралы Фурье. Часто встречаются интегралы вида

,                                                                                      (1.3.2.1)

,                                                                                  (1.3.2.2)

,                                                                                   (1.3.2.3) содержащие вещественный параметр ; они называются интегралами Фурье.

Если выполнено условие 

                                                                                                      то все три интеграла Фурье абсолютно сходятся. Если при функция f(x) вещественна и монотонно стремится к нулю, интегралы (1.3.2.2) и (1.3.2.3) сходятся при , но, вообще говоря, неабсолютно. Если при этом f(- х)f(x) (т. е. функция f(x) четна), то интеграл (1.3.2.3) равен нулю, если же f(- х) = -f(x) (функция f(x) нечетна), то интеграл (1.3.2.2) равен нулю. Кроме того, имеется очевидная связь

                         так что в случае вещественной f(х) интегралы (1.3.2.2) и (1.3.2.3) представляют вещественную и мнимую части интеграла (1.3.2.1).

б. Часто бывают полезны методы контурного интегрирования. Пусть . есть рациональная функция и полином Q(х) имеет степень по крайней мере на единицу выше степени полинома Р(х) и не обращается в 0 при вещественных х. В этом случае интегралы (1.3.2.1) — (1.3.2.3) сходятся 

Пусть — корни многочлена Q(х), лежащие в верхней полуплоскости. Образуем замкнутый контур , состоящий из отрезка [-R, R] вещественной оси и полуокружности .Тогда

                                                                             (1.3.2.4)

Покажем, что при 

.                                                                   (1.3.2.5)

Если , , то ||=||=. Поэтому если степень многочлена Q(z) по крайней мере на две единицы выше степени многочлена P(z), доказательство соотношения (1.3.2.5) можно провести точно так же, как в 1.3.1.

в. Если степень многочлена Q(z) лишь на единицу выше степени многочлена P(z), то рассуждение 1.3.1 не проходит. Для этого случая мы установим следующую лемму.

Лемма. При справедливо неравенство

   (c – постоянная).

Доказательство. Так как , то достаточно рассмотреть интеграл

                                                                                   составляющий ровно половину предыдущего. Мы имеем при

                                                              поскольку функция при u>0 ограничена. Лемма доказана.

г. Следствие (лемма Жордана). Если функция f(z) определена и аполитична в полуплоскости при и при этом

,

то для 

.

Доказательство. Применяя лемму в, находим

                                            что и требуется.

д. Теперь завершим вычисление интеграла (1.3.21) для . Так как эта функция при достаточно больших |z| удовлетворяет неравенству

                                                                                                   то из леммы Жордана следует выполнение равенства (1.3.2.5). Интеграл Фурье от функции f(z) получается теперь при из (4) предельным переходом при :

.

е. Если , то проведенное рассуждение теряет силу, так как на дуге функция неограниченно возрастает. В этом случае аналогичное построение мы проведем не в верхней, а в нижней полуплоскости. Обозначим через полуокружность настолько большого радиуса, что все корни многочлена Q(z) в нижней полуплоскости оказываются внутри нее; тогда

.

Интеграл по полуокружности допускает оценку

                                                                                                                       и в силу леммы стремится к нулю при . Отсюда

           что дает значение интеграла Фурье от функции при .

1.3.3. Особые интегралы Фурье. Интегралы Фурье 1.3.2 (1.3.2.2) и (1.3.2.3) иногда могут существовать и для функций f(x), имеющих особенности на самой оси х, если эти особенности компенсируются соответствующими нулями функций или .

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4. Несобственные  интегралы, содержащие параметр

1.4.1. Определение. Несобственный интеграл с параметром

,                                                                               (1.4.1.1) сходящийся при каждом значении из некоторого множества S, называется равномерно сходящимся на S, если для любого существует такое N, что при любом и любом

.

Возьмем произвольно числа  и составим последовательность функций

.                                         (1.4.1.2)

Если интеграл (1.4.1.1) сходится равномерно на множестве S, то последовательность (1.4.1.2) в том же промежутке равномерно сходится к своему пределу, которым служит интеграл (1.4.1.1).

1.4.2. Теорема. Если S есть метрическое пространство, функция равномерно непрерывна на каждом произведении , и интеграл (1.4.1.1) сходится равномерно на S, то —непрерывная функция от на множестве S.

Доказательство. Функция  непрерывна при . Функция , как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций, также непрерывна при . Теорема доказана.

1.4.3. Теорема. Если функция непрерывна по совокупности на каждом прямоугольнике

 и интеграл (1.4.1.1) сходится при равномерно по, то функция

                                                                                обладает сходящимся несобственным интегралом по промежутку и

.                                      (1.4.3.1)

Доказательство. Из равномерной сходимости непрерывных функций к следует, что

.                                                          (1.4.3.2)

С другой стороны 

.

Поэтому равенство (1.4.3.2) можно переписать в форме

.                                   (1.4.3.3)

Но существование предела  справа для любых  означает существование несобственного интеграла . Поэтому из (1.4.3.3) получаем (1.4.3.1). Теорема доказана.

1.4.4. а. Теорема. Если частная производная непрерывна по совокупности в любом прямоугольнике ,, интеграл сходится при   равномерно по и сходится интеграл , то функция