Народна математика українців

Стародавні міри довжини та маси на практиці майже не вживаються, але їх часто можна зустріти в оповіданнях, повістях, книгах з історії. Назви мір довжини згадуються також і в прислів'ях: "Від горшка два вершка", "Коса сажень в плечах", "Міряє на свій аршин".

2.5. Міри сипких тіл і рідин

 З розвитком обміну продуктів виникла потреба у їх вимірюванні за допомогою мір об'єму. Сипкі тіла та рідини міряли, наповнюючи ними посудину певної місткості. Так з'явилися одиниці вимірювання сипких тіл та рідин. Але у цих мірах був великий різнобій.  
     Отже, сипкі тіла та рідини в Україні міряли такими мірками:

1.    Пуд - 16 кг (1 мірка). 
2.    Корчак — 2 відра. 
3.    Бочка — 40 відер. 
4.    Лукно — 4 відра. 
5.    Відро — 12,5 л. 
6.    Цебер — 3 відра. 
7.    Пляшка — 0,77 л. 
8.    Кварта —  л. 
9.    Крігель (гальба) — 0,5 л. 
10.    Синжап - 100 г. 
11.    Кубка-0,5 л. 
12.    Фелея — 2,5 л. 
13.    Деко - 10 кг. 
14.    Кіло - 1 кг. 
15.    Корець - 100 кг. 
16.    Фунт - 0,4 кг. 
17.    Око – 1-- л. 
18.    Корець — 10 деко. 
19.    Колода — 4 корці. 
20.    Маца - 62,5 л. 
21.    Лашт — ЗО корців. 
22.    Гарнець — 4 л. 
23.    Чвертка — 25 кг. 
24.    Гелетка — 25 кг. 
25.    Гарчик — 1,5 кг. 
26.    Кавуш — 5 кг. 
27.    Мацьок — 50 кг. 
28.    Літерка — 1-- ока.

На Поділлі зерно вимірювали корцями. Бочку називали куфою, ними возили чумаки вино з Криму. Мірами 5—17 користувалися на Буковині. На Дрогобиччині були і свої міри 18—28, якими в основному користувалися для вимірювання зерна. Міру 9 використовували для вимірювання об'єму пива, а міру 11 — для об'єму молока. 
      Під час жнив, сінокосів селяни користувалися такими мірами:

1.    Сирота — 3 кулаки стеблин. 
2.    Сніп — 3 сироти. 
3.    Копа — 60 снопів. 
4.    Околіт — вимочений сніп. 
5.    Стос — велика купа снопів. 
6.    Пук — 10 снопів для покриття хати. 
7.    Китиця — жмут соломи для покриття хати.

Міри скошеного сіна — копиця, скирта, оборіг. 
   Міри дров — чвертка — 1м3, тух — 4 м3, фіра дров, оберемок, латер -8. 
   Тютюн міряли скжутками (10 листків), папушами (30— 40 листків). 
   Міри яєць і фруктів - мендель — 15 штук, копа — 4 менделі.

2.6. Грошові міри

Міри маси багатьох народів збігалися з грошовими одиницями. Це пояснюється тим, що до появи карбованих монет грошовими одиницями були вагові одиниці металу. У X ст. з'явилася металева грошова одиниця — срібна гривня. Вага першої дрібної гривні невідома. Очевидно, що вона у різних місцевостях мала різну вагу. Велику срібну гривню, яка була незручною у повсякденному вжитку, у XIV ст. стали рубати навпіл. Злиток срібла вагою у половину гривні називали малою гривнею або карбованцем. 
Старовинні монети мали такі назви:

шаг — 0,5 копійки; 
гривня — 3 копійки; 
золотий — 5 гривень; 
семигривеник — 20 копійок (на Полтавщині); 
сороківка — 20 копійок (на Житомирщині); 
копа грошей — 25 копійок (на лівобережжі Дніпра ).

У 1835 р. випущено монети із зображенням вершника, який у руці тримав спис («копіє»). Звідси і походить назва копійки. 

3.1. Народна лічба

Математичні відомості українського народу мало досліджені не лише істориками математики, але і етнографами. Однак ця галузь знань дає цінний матеріал для вивчення розвитку культури українського народу. Значного розвитку математичні знання набули ще в часи Київської Русі. Незважаючи на всю різноманітність лічби, основною системою числення в українців була десяткова. 
    Археологічні пам'ятки свідчать, що вже у IX—X ст. східні слов'яни застосовували прості прийоми лічби. У ХУШ-ХІХ ст. способи лічби поступово удосконалювалися, хоч подекуди серед населення залишились у вжитку обчислення, що виникли у давнину. Деякі селяни дуже швидко і правильно обчислювали на пальцях, особливо дію множення. 
Наприклад, 7*9. На одній руці загинаємо стільки пальців, наскільки 7 більше 5, тобто загинаємо 2 пальці. На другій — на скільки 9 більше 5, тобто загинаємо 4 пальці. Отже, на одній руці загнуто 2, не загнуто 3 пальці; на другій руці загнуто 4 пальці, не загнутий 1    палець. Далі знаходимо число усіх загнутих пальців 2 + 4 = 6 (це будуть десятки ) і знаходимо добуток числа незагнугих пальців 3*1 = 3 (це будуть одиниці). У результаті одержуємо число 63. Цей спосіб описано у підручнику «Арифметика» Магницького, який вийшов у світ у 1703 р.

Наведемо приклади усного рахунку селян. 
1.    На млин привезли спочатку 48 пудів, потім 95, а пізніше 117 плаїв зерна. 
     Щоб дізнатися, скільки всього зерна привезли на млин, мірошник підрахував: перший раз — 50 пудів (на 2 менше), другий раз — 100 пудів (на 5 менше), третій 120 пудів (на 3 менше). Мірошник спочатку додавав «круглі» числа, потім віднімав зазначені числа: 50+100+120-(2+5+3)=260

2.    Нехай за 5 аршинів полотна заплатили 1 крб. 85 коп. Скільки потрібно грошей, щоб купити ще 2 аршини полотна? 
Міркування проводилося так: якби 5 аршинів коштували 2 крб., то за 1 аршин треба заплатити 40 коп., але заплачено на 15 коп. менше за них, тому 1 аршин коштує на 3 коп. менше, тобто коштує 37 коп. Отже, за 2 аршини треба заплатити 30 + 30 =60 і 7 + 7 = 14. Разом: 60 + 14 = 74 (коп.).

3.    Наші предки дію множення виконували використовуючи пальці рук. За допомогою пальців рук, як своєрідної «лічильної машини», можна автоматично одержувати добутки, починаючи від 6 * 6 і закінчуючи 15 * 15. Цей спосіб полягає у виконанні алгоритму, описаному у прикладі вище (7*9).

3.2. Народні прийоми швидкого усного  рахунку

Є багато народних прийомів, які мали за мету настанови до швидкого виконання усного обчислення рахункових операцій з натуральними числами. Наведемо деякі найпростіші з них, які легко засвоюватимуться учнями. Більш-менш довгочасне тренування дасть можливість виконувати швидкі усні обчислення з такою безпомилковістю, як і при письмових обчисленнях.

3.3. Множення і ділення на 4 і на 8:

а) щоб усно помножити число на 4, його двічі подвоюють:  
112*4 = 224*2 = 448;  
б) щоб усно помножити число на 8, його тричі подвоюють:  
117*8 = 434*4 = 868*2  = 1736; 
в)    щоб усно поділити число на 4, його двічі ділять навпіл: 
76:4 = 38 : 2 = 19; 
г)    щоб усно поділити число на 8, його тричі ділять навпіл: 
464: 8 = 232:4= 116:2 = 58.

3.4. Множення на 5 і на 25:

а)    щоб усно помножити число на 5, його множать на 10 і ділять 
на 2, тобто дописують до числа 0 і ділять навпіл: 
74 • 5 = 740 : 2 = 370.  
     При множенні парного числа на 5 зручніше спочатку його поділити на 2 і до одержаного результату дописати 0: 
74 • 5 = 74 : 2 • 10 = 370; 
б)    щоб усно помножити число на 25, його множать на 100 і ділять на 4, тобто, якщо число ділиться на 4, то його ділять на чотири і до частки дописують два нулі: 
72*25 = 72: 4*100= 18*100 = 1800.

3.5. Множення на 9 і на 11:

а)    щоб усно помножити число на 9, треба дописати до нього 0 і додати задане число:     62*9 = 620 - 62 = 600 - 42 =  558; 
б)    щоб усно помножити число на 11, треба дописати до нього 0 і відняти задане число:  87*11 = 870 + 87 = 957.  
Корисно запам'ятати: 
37*3=111 
  Запам'ятавши це, легко виконати усне множення числа 37 на числа, кратні 3: 
37*6 = 37*3*2=111*2 = 222; 
 37*9 = 37*3*3 = 111*3 = 333;  
37*12 = 37*3*4 = 444;  
37* 15 = 37*3*5 = 555 і т.ін.

Корисно запам'ятати:  
7*11*13= 1001. 
Запам'ятавши це, легко виконати усне множення таких чисел:  
77*13 = 1001;  
77*26 = 2002; 
       77*39 = 3003 іт. ін.;  
       91*11 = 1001;  
       91*22 = 2002; 
91*33 = 3003 іт. ін.; 
143*7= 1001; 
  143*14 = 2002; 
  143*21 = 3003 і т. ін.

3.6. Староруський прийом  множення двох чисел

Суть цього прийому полягає у тому, що один множник збільшували удвоє, а другий зменшували удвоє, поки один з них не дорівнював одиниці (другий множник — степінь числа 2). 
Наприклад, 27*16. Один співмножник ставили на початку одного стовпчика і подвоювали, а другий — на початку другого стовпчика і відповідно ділили навпіл 
доти, поки не отримували 1: 
27               16 
54                8 
108             4 
216             2 
432             1

Отже, 27*16 = 54*8 = 108*4  = 216*2 = 432*1 =432.

Висновок

Народна математика — сукупність народних математичних знань та навичок, в основі якої лежать потреби практичної діяльності (необхідність виконання різних арифметичних дій при проведенні землемірних робіт, зведенні житла та інших споруд тощо). Недоступність професійних математичних знань для широких верств українського населення у минулому зумовлювала удосконалення найпростіших традиційних прийомів лічби, вимірювання, способів зображення чисел і т. ін.  
     На Україні найдавнішими засобами лічби були пальці рук, різні дрібні предмети. Так, при лічбі на пальцях, або, як називали, на колодочках, на одній руці було прийнято налічувати 15 "колодочок" з долоні та 15 — з іншої частини цієї ж руки. З предметів використовували картоплини, квасолинки, палички та ін. Для економії лічби існували числові групи: пара, трійка, п'ятка, десяток, копа тощо. Парами лічили худобу, птицю, хатнє добро (чоботи, підошви), трійками — нитки у прядиві (три нитки складали чисницю), п'ятками — снопи, десятками — яйця, гарбузи, кавуни, копами — яйця та снопи.  
     Українська Н. м. мала у своєму арсеналі оригінальні способи зображення чисел. Одиниці позначалися паличками, десятки — хрестиками, сотні — кружечками, тисячі — квадратиками. Що ж до дробових чисел, то їх передавали переважно в усній формі з відповідними назвами (половина, чверть, осьмушка, шістнадцятка та ін.). Письмово (невеличкими горизонтальними рисками) зображалися лише найбільш уживані дроби.  
     Для написання числових знаків використовували найрізноманітніші предмети (дощечки, палички). Проте найчастіше для цього послуговувалися одвірками, дверима, стінами, на яких малювали рисочки або карбували зарубки. Досить поширеним засобом для позначення чисел були зарубки на невеличких дощечках, прямокутних брусках чи палицях. Такі своєрідні "документи" використовували лісоруби, ремісники, ними послуговувалися, позичаючи гроші, здаючи податки, засипаючи в амбари на зберігання зерно тощо. Карбування у різних місцевостях України мало різні назви (карбики на Поділлі, цурки на Полтавщині, раваші на Гуцульщині, бірки на Київщині).  
     Арифметичні дії виконувалися усно. Існували своєрідні народні назви дій — додати, докласти, відкинуть, відлічить. Поширеним був спосіб додавання, коли спочатку додавалися сотні, потім десятки, а в кінці — одиниці. Множили шляхом повторного послідовного додавання. Ділення виконували, підбираючи частку послідовним повторним відніманням.  
     Українські селяни знали й деякі основи геометрії. Зокрема, вони мали уявлення про просту й ламану лінії, про властивості рівнобіжних ліній тощо. При будівництві хат та виготовленні бондарських виробів використовували властивості діагоналей прямокутника (щоб побудувати стіни під прямим кутом), обчислювали відношення довжини кола до діаметра (за останній приймали третину довжини кола). Бондарі та теслярі вміли користуватися циркулем. Розписуючи хати, побутові вироби, селяни послуговувалися різними геометричними фігурами. Українцям були відомі оригінальні прийоми визначення відстані до недоступного предмета, виміру площі земельних ділянок різноманітних форм. Знали й основи механіки, які використовували при будівництві хат, вітряків, культових споруд та ін.  
     Відомості з народної математики викликають зацікавленість до вивчення математики та її історії, культури нашого народу, розвивають кругозір.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список використаної літератури:

1.    Ганчев И., СтояновИ. Математический фольклор. — М.: Знание, 1987. 
2.    Граціанська  Л. Н. Нариси з народної математики України. — Київ, 1968. 
3.    Дорошенко М. Й. Народознавство і математика //Поч.школа. — 1995. - №  
4.    Пташник Б. Й., Дутко Л. П. Всю силу на роботу клав // Наука і суспільство.— 1989.— № 11. 
5.    Сов'як П. Народна лічба.// Галицька зоря від 21.07.1994. — Дрогобич. 
6.  Сов'як П. Народні міри // Галицька зоря від 03.03.1995. — Дрогобич.