Многочлены

Теперь, используя только что предложенную схему проверки корня на кратность, решим следующую  задачу. При каких a и b многочлен f (x) =x⁴+2x³+ax²+ (a+b) x+2 имеет число - 2 корнем кратности 2?

Так как кратность корня - 2 должна быть равна 2, то, выполняя деление  на х+2 по предложенной схеме, мы должны два раза получить остаток 0, а в третий раз - остаток, отличный от нуля. Имеем:

Таблица 9.

	1	2	a	a+b	2
-2	1	0	a	-a+b	2a-2b+2
-2	1	-2	а+4	-3a+b-8
-2	1	-4	а+12

Таким образом, число - 2 является корнем кратности 2 исходного многочлена тогда и только тогда, когда

Отсюда получаем: a=-7/2, b=-5/2.

Рациональные  корни многочлена

Как мы уже отмечали, одной  из важнейших задач в теории многочленов  является задача отыскания их корней. Для решения этой задачи можно  использовать метод подбора, т.е. брать  наугад число и проверять, является ли оно корнем данного многочлена.

При этом можно довольно быстро "натолкнуться" на корень, а можно и никогда его не найти. Ведь проверить все числа  невозможно, так как их бесконечно много.

Другое дело, если бы нам  удалось сузить область поиска, например знать, что искомые корни находятся, скажем, среди тридцати указанных  чисел. А для тридцати чисел можно  и проверку сделать. В связи со всем сказанным выше важным и интересным представляется такое утверждение.

Если несократимая дробь l/m (l,m - целые числа) является корнем многочлена f (x) с целыми коэффициентами, то старший коэффициент этого  многочлена делится на m, а свободный  член - на 1.

В самом деле, если f (x) =a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+... +a₁x+a0, a_n?0, где a_n, a_n-1,...,a₁, a₀ - целые числа, то f (l/m) =0, т.е.

а_n (l/m) ⁿ+a_n-1 (l/m) ^n-1+... +a₁l/m+a₀=0.

Умножим обе части этого  равенства на mⁿ. Получим

a_nlⁿ+a_n-1l^n-1m+... +a₁lm^n-1+a₀mⁿ=0.

Отсюда следует

a_nlⁿ=m (-a_n-1l^n-1-... - a₁lm^n-2-a₀m^n-1).

Видим, что целое число a_nlⁿ делится на m. Но l/m - несократимая дробь, т.е. числа l и m взаимно просты, а тогда, как известно из теории делимости целых чисел, числа lⁿ и m тоже взаимно просты. Итак, a_nlⁿ делится на m и m взаимно просты с lⁿ, значит, a_n делится на m.

Доказанная тема позволяет  значительно сузить область поиска рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Продемонстрируем это  на конкретном примере. Найдем рациональные корни многочлена f (x) =6x⁴+13x²-24x²-8x+8. Согласно теореме, рациональные корни этого многочлена находятся среди несократимых дробей вида l/m, где l - делитель свободного члена a₀=8, а m - делитель старшего коэффициента a₄=6. при всём этом, если дробь l/m - отрицательная, то знак "-" будем относить к числителю. Например, - (1/3) = (-1) /3. Значит, мы можем сказать, что l - делитель числа 8, а m - положительный делитель числа 6.

Так как делители числа 8 - это ±1, ±2, ±4, ±8, а положительными делителями числа 6 будут 1, 2, 3, 6, то рациональные корни рассматриваемого многочлена находятся среди чисел ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. напомним, что мы выписали лишь несократимые дроби.

Таким образом, мы имеем двадцать чисел - "кандидатов" в корни. Осталось только проверить каждое из них и  отобрать те, которые действительно  являются корнями. Но опять-таки придется сделать довольно много проверок. А вот следующая теорема упрощает эту работу.

Если несократимая дробь l/m является корнем многочлена f (x) с целыми коэффициентами, то f (k) делится  на l-km для любого целого числа k при  условии, что l-km?0.

Для доказательства этой теоремы  разделим f (x) на x-k с остатком. Получим f (x) = (x-k) s (x) +f (k). Так как f (x) - многочлен с целыми коэффициентами, то таким является многочлен s (x), а f (k) - целое число. Пусть s (x) =b_n-1+b_n-2+…+b₁x+b₀. Тогда f (x) - f (k) = (x-k) (b_n-1x^n-1+b_n-2x^n-2+ …+b₁x+b₀). Положим в этом равенстве x=l/m. Учитывая, что f (l/m) =0, получаем

f (k) = ( (l/m) - k) (b_n-1 (l/m) ^n-1+b_n-2 (l/m) ^n-2+…+b₁ (l/m) +b₀).

Умножим обе части последнего равенства на mⁿ:

mⁿf (k) = (l-km) (b_n-1l^n-1+b_n-2l^n-2m+…+b₁lm^n-2+b₀m^n-1).

Отсюда следует, что целое  число mⁿf (k) делится на l-km. Но так как l и m взаимно просты, то mⁿ и l-km тоже взаимно просты, а значит, f (k) делится на l-km. Теорема доказана.

Вернемся теперь к нашему примеру и, использовав доказанную теорему, еще больше сузим круг поисков  рациональных корней. Применим указанную  теорему при k=1 и k=-1, т.е. если несократимая дробь l/m является корнем многочлена f (x), то f (1) / (l-m), а f (-1) / (l+m). Легко находим, что в нашем случае f (1) =-5, а f (-1) =-15. Заметим, что заодно мы исключили из рассмотрения ±1.

Итак рациональные корни  нашего многочлена следует искать среди  чисел ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3.

Рассмотрим l/m=1/2. Тогда l-m=-1 и f (1) =-5 делится на это число. Далее, l+m=3 и f (1) =-15 так же делится на 3. Значит, дробь 1/2 остается в числе "кандидатов" в корни.

Пусть теперь l\m=- (1/2) = (-1) /2. В этом случае l-m=-3 и f (1) =-5 не делится на - 3. Значит, дробь - 1/2 не может быть корнем данного многочлена, и мы исключаем ее из дальнейшего рассмотрения. Выполним проверку для каждой из выписанных выше дробей, получим, что искомые корни находятся среди чисел 1/2, ±2/3, 2, - 4.

Таким образом, довольно-таки простым приемом мы значительно  сузили область поиска рациональных корней рассматриваемого многочлена. Ну, а для проверки оставшихся чисел  применим схему Горнера:

Таблица 10.

	6	13	-24	-8	8
1/2	6	16	-16	-16	0

Видим, что 1/2 - корень многочлена f (x) и f (x) = (x-1/2) (6x³+16x²-16x-16) = (2x-1) (3x³+8x²-8x-8). Ясно, что все другие корни многочлена f (x) совпадают с корнями многочлена g (x) =3x³+8x²-8x-8, а значит, дальнейшую проверку "кандидатов" в корни можно проводить уже для этого многочлена. При этом мы несколько выиграем по времени в вычислениях, так как проверку будем выполнять для более "короткого" многочлена. Находим:

Таблица 11.

	3	8	-8	-8
2/3	3	10	-4/3	-80/9

Получили, что остаток  при делении g (x) на x-2/3 равен - 80/9, т.е.2/3 не является корнем многочлена g (x), а значит, и f (x).

Далее легко находим, что - 2/3 - корень многочлена g (x) и g (x) = (3x+2) (x²+2x-4). Тогда f (x) = (2x-1) (3x+2) (x²+2x-4). Дальнейшую проверку можно проводить для многочлена x²+2x-4, что, конечно, проще, чем для g (x) или тем более для f (x). В результате получим, что числа 2 и - 4 корнями не являются.

Итак, многочлен f (x) =6x⁴+13x³-24x²-8x+8 имеет два рациональных корня: 1/2 и - 2/3.

Напомним, что описанный  выше метод дает возможность находить лишь рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Между тем, многочлен может иметь и иррациональные корни. Так, например, рассмотренный  в примере многочлен имеет  еще два корня: - 1±v5 (это корни многочлена х²+2х-4). А, вообще говоря, многочлен может и вовсе не иметь рациональных корней.

Теперь дадим несколько  советов.

При испытании "кандидатов" в корни многочлена f (x) с помощью второй из доказанных выше теорем обычно используют последнюю для случаев k=±1. Другими словами, если l/m - "кандидат" в корни, то проверяют, делится ли f (1) и f (-1) на l-m и l+m соответственно. Но может случится, что, например, f (1) =0, т.е.1 - корень, а тогда f (1) делится на любое число, и наша проверка теряет смысл. В этом случае следует разделить f (x) на x-1, т.е. получить f (x) = (x-1) s (x), и проводить испытания для многочлена s (x). При этом не следует забывать, что один корень многочлена f (x) - x₁=1 - мы уже нашли.

Если при проверке "кандидатов" в корни, оставшиеся после использования  второй теоремы о рациональных корнях, по схеме Горнера получим, что, например, l/m - корень, то следует найти его  кратность. Если она равна, скажем, k, то f (x) = (x-l/m) ^ks (x), и дальнейшую проверку можно выполнять для s (x), что сокращает вычисления.

Таким образом, мы научились  находить рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Оказывается, что тем самым мы научились  находить иррациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами. В самом деле, если мы имеем, например, многочлен f (x) =x⁴+2/3x³+5/6x²+3/8x+2, то, приведя коэффициенты к общему знаменателю и внеся его за скобки, получим f (x) =1/24 (24x⁴+16x³-20x²+9x+48). Ясно, что корни многочлена f (x) совпадают с корнями многочлена, стоящего в скобках, а у него коэффициенты - целые числа. Докажем, например, что sin10⁰ - число иррациональное. Воспользуемся известной формулой sin3б=3sinб-4sin³б. Отсюда sin30⁰=3sin10⁰-4sin³10⁰. Учитывая, что sin30⁰=0.5 и проводя несложные преобразования, получаем 8sin³10⁰-6sin10⁰+1=0. Следовательно, sin10⁰ является корнем многочлена f (x) =8x³-6x+1. Если же мы будем искать рациональные корни этого многочлена, то убедимся, что их нет. Значит, корень sin10⁰ не является рациональным числом, т.е. sin10⁰ - число иррациональное.

§ 2. Задачи о многочленах

Задача 1.

Доказать, что многочлен

a₁+a₂x+a₃y+a₄xy+a₅x²+a₆y²+a₇x⁴+a₈y⁴+a₉x²y²+a₁₀xy³+a₁₁x³y

не является произведением  двух многочленов, одного от x, другого от y, если не один из его коэффициентов не равен нулю.

Решение.

Пусть денный многочлен является произведением многочленов P (x) и Q (y).

Так как в этом многочлене есть такие коэффициенты, как a₁₀xy³ и a₁₁x³y и есть свободный член a₁, следовательно, при произведении должны быть такие коэффициенты как mx³+ny³, а их нет, следовательно данный многочлен не является произведением многочленов P (x) и Q (x). ч. т.д.

Задача 2.

Многочлен с действительными  коэффициентами ax²+bx+c, a>0 имеет чисто мнимый корень. Доказать, что его можно представить в виде (Ax+B) ²+ (Cx+D) ².

Решение.

Если x=i - корень многочлена, то его корнем является так же число x=-i, теперь по теореме Виета найдем b и c:

и многочлен принимает  вид: ax+a, который можно привести к нужному виду:

ч. т.д.

Задача 3.

Докажите, что многочлен x¹²-x⁹+x⁴-x+1 при всех действительных значениях x положителен.

Решение.

Разберем отдельно случаи при x<0 и x?0.

В первом случае разобьем многочлен  на три слагаемых:

(1-x) + (x⁴-x⁹) +x¹², 1-x>0, x⁴-x⁹=x⁴ (1-x⁵) >0, x¹²>0, следовательно и вся сумма больше нуля.

Во втором случае представим многочлен в виде:

(x⁸+1) (x⁴-x) +1, x⁸+1>0.

Для x⁴-х рассмотрим два случая: при х>1, x⁴-х>0, следовательно и все выражение больше нуля; при х<1, - 1<x⁴-х?0, а выражение x⁸+1 чуть больше 1, следовательно произведение - 1< (x⁸+1) (x⁴-x) ?.0 и вся сумма больше нуля.Ч. т.д.

Задача 4.

При каких значениях a и b многочлен x⁴+ax³+bx²-8x+1 имеет точный квадрат.

Решение.

Точный квадрат имеет  вид: (mx²+nx+p) ², возведем его в квадрат: (mx²+nx+p) ²=m²x⁴+ (nx+p) ²+2mx² (nx+p) =m²x⁴+n²x²+p²+2npx+2mnx³+ 2mpx²=m²x⁴+2mnx³+ (n²+2mp) x²+2npx+p². Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях.

1 случай:

2 случай:

3 случай:

4 случай:

Ответ: a₁=-8, b₁=18; a₂=8, b₂=14.

Задача 5.

Докажите, что если многочлен a₀xⁿ+a₁x^n-1+ … +a_n, a₀?0 при всех действительных значениях х положителен, то он представляется в виде суммы квадратов двух многочленов.

Решение.

Данный многочлен не может  иметь действительных корней; следовательно, его корни являются попарно комплексно-сопряженными. Поэтому многочлен представляется в виде:

A [ (x-б₁) … (x-б_k)] [ (x-) … (x-)], где А>0.

Если f (x) - действительная часть многочлена, получающегося после раскрытия скобок в первой квадратной скобке, и g (x) - его мнимая часть, то вторая квадратная скобка представляется в виде f (x) -ig (x) (так как она комплексно-сопряжена с первой).

Данный многочлен, следовательно, равен

A [f (x) +ig (x)] [f (x) - ig (x)] = A [f² (x) +g² (x)].

Задача 6.

Число с является корнем многочлена

f (x) =a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+ … +a₁x+a₀. Укажите какой-либо корень многочлена на g (x) =aⁿxⁿ-a_n-1x^n-1+a_n-2x^n-2+ … + (-1) ⁿa₀.

Решение.

Так как с - корень, то

f (c) =a_ncⁿ+a_n-1c^n-1+a_n-2c^n-2+ … +a₁x+a₀=0.

Покажем, что -с - корень многочлена g (x). Вычислим

g (-c) =a_n (-c) ⁿ-a_n-1 (-c) ^n-1+a_n-2 (-c) ^n-2 - … + (-1) ⁿa₀.

Если n - четное число, то n-1 - нечетное, n-2 - четное, n-2 - четное и т.д. Тогда g (-c) =a_ncⁿ+a_n-1c^n-1+a_n-2c^n-2+ … +a₀=0. Если же n - нечетное, то n-1 - четное, n-2 - нечетное и т.д. Тогда g (-c) =-a_ncⁿ-a_n-1c^n-1-a_n-2c^n-2 - … - a₀= - f (c) =0.

Задача 7.

Пусть многочлен f (x) с целыми коэффициентами принимает значение, равное 5, при пяти различных целых значениях переменной х. докажите, что f (x) не имеет целых корней.

Решение.

Пусть с₁, с₂, с₃, с₄, с₅ - такие числа, что f (c₁) =f (c₂) =f (c₃) =f (c₄) =f (c₅) =5. Рассмотрим многочлен g (x) =f (x) - 5. Числа с₁, с₂, с₃, с₄, с₅ являются его корнями, а значит, f (x) =f (x) - 5= (x-c₁) (x-c₂) (x-c₃) (x-c₄) (x-c₅) s (x). Если теперь а - целый корень многочлена f (x), то, положив в последнем равенстве х=а, получим - 5= (a-c₁) (a-c₂) (a-c₃) (a-c₄) (a-c₅) s (a). так как все числа с₁, с₂, с₃, с₄, с₅ различны, то различны и числа a-c₁, a-c₂, a-c₃, a-c₄, a-c₅. Следовательно, число - 5 имеет по крайней мере пять различных целых делителей, в то время как на самом деле их только четыре: ±1, ±5. Пришли к противоречию.

Задача 8.

Пусть f (x) - многочлен с целыми коэффициентами и несократимая дробь l/m является его корнем. Докажите, что если: f (0), f (1) - нечетные числа, то m - четное число.

Решение.

Так как f (0) - свободный член многочлена f (x), f (0) делиться на l. Отсюда следует, что l - нечетное число. Далее, так как f (1) делится на l-m, то l-m - тоже нечетное число. Отсюда следует, что разность l- (l-m) =m - четное число.

Задача 9.

Многочлен f (x) обладает следующим свойством: для некоторой арифметической прогрессии значения х с разностью, отличной от нуля, соответствующее значение многочлена так же образует арифметическую прогрессию.

Докажите, что ст. f (x) ?1.

Решение.