Многочлены

Суперпозицией многочленов f (x) и g (x) называется многочлен, обозначаемый f (g (x)), который получается если в  многочлене f (x) вместо x подставить многочлен g (x).

Например, если f (x) =x²+2x-1 и g (x) =2x+3, то f (g (x)) =f (2x + 3) = (2x+ 3) ²+2 (2x+3) - 1=4x²+16x+14,g (f (x)) =g (x²+2x-1) =2 (x²+2x - 1) +3=2x²+4x+1.

Видно, что f (g (x)) ?g (f (x)), т.е. суперпозиция многочленов f (x), g (x) и суперпозиция многочленов g (x), f (x) различны. Таким образом, операция суперпозиции не обладает свойством переместительности.

Схема Горнера

Разделить с остатком многочлен f (x) на ненулевой многочлен g (x) - это значит представить f (x) в  виде f (x) =g (x) s (x) +r (x), где s (x) и r (x) -многочлены и либо r (x) =0, либо ст. r (x) < ст. g (x). S (x) назовем неполным частным, а r (x) - остатком при делении f (x) на g (x).

Неполное частное при  делении можно найти с помощью  простого правила, называемого схемой Горнера, которое, кстати, позволяет найти и остаток.

Пусть f (x) =a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+ … +a₁x+a_0, a_n?0 - многочлен n-й степени. При делении его на x - c мы получим неполное частное s (x) и остаток r, т.е. f (x) = (x - c) s (x) + r. Так как ст. f (x) = n, а ст. (x - c) = 1, то

ст. s (x) = n - 1, т.е. s (x) = b_n-1x^n-1 + b_n-2x^n-2 + … + b₁x+ b₀, b_n-1 ? 0. Таким обрзом, имеем равенство

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+ … +a₁x+a₀ = (x - c) (b_n-1x^n-1+b_n-2x^n-2+ …+b₁x+b₀) +r.

Многочлены, стоящие в  левой и правой частях этого соотношения, равны, а значит, равны их соответствующие  коэффициенты. Приравняем их, раскрыв  предварительно скобки и приведя  подобные члены в правой части  данного равенства. Получим:

a= b_n-1,a_-1 = b_n-2 - cb_n-1,a_-2 = b_n-3 - cb_n-2,

a₂ = b₁ - cb_2,a₁ = b₀ - cb_1,a₀ = r - cb₀.

Напомним, что требуется  найти неполное частное, т.е. его  коэффициенты, и остаток.

Выразим их из полученных равенств:

b_n-1 = a_n,

b _n-2 = cb_n-1 + a_n-1,b _n-3 = cb_n-2 + a _n-2,

b₁ = cb₂ + a_2,b₀ = cb₁ +a_1,r = cb₀ + a_0.

Мы нашли формулы, по которым  можно вычислять коэффициенты неполного  частного s (x) и остаток r. При этом вычисления оформляются в виде следующей таблицы; она называется схемой Горнера.

Таблица 1.

Коэффициенты f (x)

	an	an-1	an-2	…	a0
c	bn-1	bn-2 = cbn-1+ an-1	bn-3 = cbn-2+an-2	…	r = cb0 + a0

Коэффициенты s (x) остаток

В первую строку этой таблицы  записывают подряд все коэффициенты многочлена f (x), оставляя первую клетку свободной. Во второй строке в первой клетке записывают число c.

Остальные клетки этой строки заполняют, вычисляя один за другим коэффициенты неполного частного s (x) и остаток r. Во второй клетке записывают коэффициент b_n-1, который, как мы установили, равен a_n.

Коэффициент, стоящие в  каждой последующей клетке, вычисляются  по такому правилу: число c умножается на число, стоящее в предыдущей клетке, и к результату прибавляется число, стоящее над заполняемой клеткой. Чтобы запомнить, скажем, пятую клетку, т.е. найти стоящий в ней коэффициент, нужно c умножить на число, находящееся в четвертой клетке, и к результату прибавить число, стоящее над пятой клеткой.

Разделим, например, многочлен f (x) =3x⁴-5x²+3x-1 на х-2 с остатком, используя схему Горнера.

При заполнении первой строки этой схемы нельзя забывать о нулевых  коэффициентах многочлена.

Так, коэффициенты f (x) - это числа 3, 0, - 5, 3, - 1. И еще следует помнить, что степень не полного частного на единицу меньше степени многочлена f (x).

Итак, выполняем деление  по схеме Горнера:

Таблица 2.

	3	0	-5	3	-1
2	3	6	7	17	33

Получим неполное частное s (x) =3x³+6x²+7x+17 и остаток r=33. заметим, что одновременно мы вычислили значение многочлена f (2) =33.

Разделим теперь тот же многочлен f (x) на х+2 с остатком. В этом случае с=-2. получим:

 

Таблица 3.

	3	0	-5	3	-1
-2	3	-6	7	-11	21

В результате имеем f (x) = (x+2) (3x³-6x²+7x-11) +21.

Корни многочленов

Ранее мы установили что  если с - корень многочлена f (x) делится на х-с. Сейчас обобщим это утверждение.

Пусть с₁, с₂, …, с_m - различные корни многочлена f (x). Тогда f (x) делится на х-с₁, т.е. f (x) = (x-c₁) s₁ (x). Положим в этом равенстве х=с₂. Получим f (c₂) = (c₂-c₁) s₁ (c₂) и, так f (c₂) =0, то (с₂-с₁) s₁ (c₂) =0. Но с₂?с₁, т.е. с₂-с₁?0, а значит, s₁ (c₂) =0. Таким образом, с₂ - корень многочлена s₁ (x). Отсюда следует, что s₁ (x) делится на х-с₂, т.е. s₁ (x) = (x-c₂) s₂ (x). Подставим полученное выражение для s₁ (x) в равенство f (x) = (x-c₁) s₁ (x). Имеем f (x) = (x-c₁) (x-c₂) s₂ (x). Положив в последнем равенстве х=с₃ с учетом того, что f (c₃) =0, с₃?с1, с₃?с₂, получим, что с₃ - корень многочлена s₂ (x). Значит, s₂ (x) = (x-c₃) s₃ (x), а тогда f (x) = (x-c₁) (x-c₂) (x-c₃) s₃ (x) и т.д. Продолжив эти рассужденья для оставшихся корней с₄, с₅, …, с_m, мы, наконец, получим f (x) = (x-c₁) (x-c₂) … (х-с_m) s_m (x), т.е. доказано формулируемое ниже утверждение.

Если с₁, с₂, …, с_m - различные корни многочлена f (x), то f (x) можно представить в виде f (x) = (x-c₁) (x-c₂)... (x-c_m) s_m (x).

Отсюда вытекает важное следствие.

Если с₁, с₂,…, с_m - различные корни многочлена f (x), то f (x) делится на многочлен (х-с₁) (х-с₂) … (х-с_m).

Как мы уже отмечали, одной  из важных задач в теории многочленов  является задача отыскания корней многочлена. В связи с этим существенным представляется вопрос о их числе. В самом деле, если дан какой-то многочлен и  уже найдено, скажем, 10 его корней, то нужно знать, следует ли продолжать поиски. А вдруг этот многочлен  больше не имеет корней? В таких  случаях нам будет полезна  приводимая ниже теорема.

Число различных  корней ненулевого многочлена f (x) не больше, чем его степень.

Действительно, если f (x) корней не имеет, то ясно, что теорема верна, ибо ст. f (x) ?0.

Пусть теперь f (x) имеет m корней с₁, с₂, …, с_m, причем все они различны. Тогда, по только что доказанному f (x) делится на (х-с₁) (х-с₂) … (х-с_m). В таком случае ст. f (x) ? ст. ( (х-с₁) (х-с₂) … (х-с_m)) =ст. (х-с₁) + ст. (х-с₂) +…+ст. (х-с_m) =m, т.е. ст. f (x) ?m, а m - это число корней рассматриваемого многочлена.

А вот у нулевого многочлена бесконечно много корней, ведь его  значение для любого х равно 0. В частности, по этой причине ему и не предписывают никакой определенной степени.

Из только что доказанной теоремы следует такое утверждение.

Если многочлен f (x) не является многочленом степени, большей, чем n, и имеет более, чем n корней, то f (x) - нулевой многочлен.

В самом деле, из условий  этого утверждения следует, что-либо f (x) - нулевой многочлен, либо ст. f (x) ?n. Если предположить, что многочлен f (x) не нулевой, то ст. f (x) ?n, и тогда f (x) имеет не более, чем n корней. Приходим к противоречию. Значит, f (x) - ненулевой многочлен.

Пусть f (x) и g (x) - ненулевые  многочлены степени, не большей, чем n. Если эти многочлены принимают одинаковые значения при n+1 значении переменной х, то f (x) =g (x).

Для доказательства рассмотрим многочлен h (x) =f (x) - g (x). Ясно, что - либо h (x) =0, либо ст. h (x) ?n, т.е. h (x) не является многочленом степени, большей, чем n. Пусть теперь число с такое, что f (c) =g (c). Тогда h (c) = f (c) - g (c) =0, т.е. с - корень многочлена h (x). Следовательно, многочлен h (x) имеет n+1 корень, а когда, как только что доказано, h (x) =0, т.е. f (x) =g (x).

Если же f (x) и g (x) принимают одинаковые значения при всех значениях переменной х, то эти многочлены тем более равны.

Эта теорема весьма эффективно используется при доказательстве некоторых  числовых тождеств. Докажем, например, что для любых попарно различных  чисел а, b, с и любого числа х.

( ( (x-b) (x-c)) / ( (a-b) (a-c))) + ( ( (x-a) (x-c)) ( (b-a) (b-c))) + ( ( (x-a) (x-b)) ( (c-a) (c-b))) =1

Конечно, можно преобразовав левую часть указанного равенства, убедиться, что в результате получится 1. Но такой метод доказательства связан с громоздкими преобразованиями. Попытаемся обойтись без них.

Будем рассматривать х как переменную. Тогда, как нетрудно заметить, в левой части тождества находится многочлен, который мы обозначим f (x). Переменная х входит в этот многочлен самое большое в степени 2, т.е. ст. f (x) ?2. в правой части того же тождества - так же многочлен: g (x) =1.

Найдем теперь значение многочленов f (x) и g (x) при х=a, b, c. Ясно, что g (a) =g (b) =g (c) =1. Далее,

f (a) = ( ( (a-b) (a-c)) / ( (a-b) (a-c))) + ( ( (a-a) (a-c)) ( (b-a) (b-c))) + ( ( (a-a) (a-b)) ( (c-a) (c-b))) =1.

Аналогично f (b) =f (c) =1. Следовательно, f (a) =g (a), f (b) =g (b), f (c) =g (c). Видим, что многочлены f (x) и g (x), не являющиеся многочленами степени выше, чем 2, принимают одинаковые значения при трех различных значениях переменной. Значит, f (x) =g (x).

Кратные корни многочлена

Если число с является корнем многочлена f (x), этот многочлен, как известно, делится на х-с. Может случиться, что f (x) делится и на какую-то степень многочлена х-с, т.е. на (х-с) ^k, k>1. В этом случае с называют кратным корнем. Сформулируем определение более четко.

Число с называется корнем кратности k (k-кратным корнем) многочлена f (x), если многочлен делится  на (х-с) ^k, k>1 (k - натуральное число), но не делится на (х-с) ^k+1. Если k=1, то с называют простым корнем, а если k>1, - кратным корнем многочлена f (x).

В дальнейшем при определении  кратности корней нам будет полезно  следующее предложение.

Если многочлен f (x) представим в виде f (x) = (x-c) ^mg (x), m - натуральное число, то он делится на (х-с) ^m+1 тогда и только тогда, когда g (x) делится на х-с.

В самом деле, если g (x) делится на х-с, т.е. g (x) = (x-c) s (x), то f (x) = (x-c) ^m+1s (x), а значит, f (x) делится на (х-с) ^m+1.

Обратно, если f (x) делится на (х-с) ^m+1, то f (x) = (x-c) ^m+1s (x). Тогда (x-c) ^mg (x) = (x-c) ^m+1s (x) и после сокращения на (х-с) ^m получим g (x) = (x-c) s (x). Отсюда следует, что g (x) делится на х-с.

А сейчас вернемся к понятию  кратности корня. Выясним, например, является ли число 2 корнем многочлена f (x) =x⁵-5x⁴+3x³+22x²-44x+24, и если да, найдем его кратность. Чтобы ответить на первый вопрос, проверим с помощью схемы Горнера, делится ли f (x) на х-2. имеем:

Таблица 4.

	1	-5	3	22	-44	24
2	1	-3	-3	16	-12	0

Как видим, остаток при  делении f (x) на х-2 равен 0, т.е. делится на х-2. Значит, 2 - корень этого многочлена. Кроме того, мы получили, что f (x) = (x-2) (x⁴-3x³-3x²+16x-12). Теперь выясним, является ли f (x) на (х-2) ². Это зависит, как мы только что доказали, от делимости многочлена g (x) =x⁴-3x³-3x²+16x-12 на х-2. Снова воспользуемся схемой Горнера:

Таблица 5.

	1	-3	-3	16	-12
2	1	-1	-5	6	0

Получили, что g (x) делится на х-2 и g (x) = (x-2) (x³-x²-5x+6). Тогда f (x) = (x-2) ² (x³-x²-5x+6).

Итак, f (x) делится на (х-2) ², теперь нужно выяснить, делится ли f (x) на (x-2) ³.

Для этого проверим, делится  ли h (x) =x³-x²-5x+6 на х-2:

Таблица 6.

	1	-1	-5	6
2	1	1	-3	0

Получим, что h (x) делится на х-2, а значит, f (x) делится на (х-2) ³, и f (x) = (x-2) ³ (x2+x-3).

Далее аналогично проверяем, делится ли f (x) на (х-2) ⁴, т.е. делится ли s (x) =x²+x-3 на х-2:

Таблица 7.

	1	1	-3
2	1	3	3

Находим, что остаток при  делении s (x) на х-2 равен 3, т.е. s (x) не делится на х-2. Значит, f (x) не делится на (х-2) ⁴.

Таким образом, f (x) делится на (х-2) ³, но не делится на (х-2) ⁴. Следовательно, число 2 является корнем кратности 3 многочлена f (x).

Обычно проверку корня  на кратность выполняют в одной  таблице. Для данного примера  эта таблица имеет следующий  вид:

Таблица 8.

	1	-5	3	22	-44	-24
2	1	-3	-3	16	-12	0
2	1	-1	-5	6	0
2	1	1	-3	0
2	1	3	3

Другими словами, по схеме  Горнера деление многочлена f (x) на х-2, во второй строке мы получим коэффициенты многочлена g (x). Затем эту вторую строку считаем первой строкой новой системы Горнера и выполняем деление g (x) на х-2 и т.д. продолжаем вычисления до тех нор, пока не получим остаток, отличный от нуля. В этом случае кратность корня равна числу полученных нулевых остатков. В строке, содержащей последний ненулевой остаток, находится и коэффициенты частного при делении f (x) на (x-2) ³.