Методы решения уравнений в частных производных

Содержание:

 

 

Методы решения уравнений в частных производных .………………….  1

 

Основные понятия разностных схем ………………………………………1

 

Вариационный принцип Лагранжа ………………………………………..11

 

Вариационный принцип Гамильтона ……………………………………..13

 

Заключение…………………………………………………………………..15

 

Литература …………………………………………………………………..15

 

 

 

 

Методы решения уравнений в частных производных.

В данной главе изложены основные понятия и методы, используемые при конечно-разностном решении уравнений в частных производных. Основой метода конечных разностей является дискретизация - замена непрерывной области совокупностью изолированных точек (сеткой), причем решение уравнений ищется лишь в этих точках (узлах сетки).

Производные аппроксимируются конечными разностями и решение уравнений в частных производных сводится к решению системы алгебраических уравнений.

Основные особенности получающейся системы алгебраических уравнений определяются типом исходного уравнения (или системы уравнений) в частных производных. Стационарные задачи обычно сводятся к системам алгебраических уравнений, которые приходится решать одновременно во всей области, учитывая заданные граничные условия. Нестационарные (маршевые) задачи часто сводятся к алгебраическим уравнениям, которые можно решать последовательно.

 

Основные понятия теории разностных схем

Пусть в некоторой области D поставлена некоторая дифференциальная краевая задача, определяемая дифференциальным уравнением и краевыми (граничными) условиями.

,         (1)

где через обозначен некоторый заданный дифференциальный оператор, действующий на искомую функцию , через - правая часть. Примем, что оператор включает как дифференциальное уравнение, так и граничные условия.

На некоторой разностной сетке строим разностный оператор , действующий на сеточную функцию . 

Обозначим через таблицу значений искомого решения в узлах сетки . Тогда соответствующая (1) разностная краевая задача (разностная схема) запишется в виде

.            (2)

Определение 1:

Будем говорить, что решение разностной краевой задачи (2) при сгущении сетки сходится к решению дифференциальной краевой задачи (1), если

  при    , т. е. если норма разности точного и приближенного решений стремится к нулю при стремлении к нулю шага разностной сетки.

Если, сверх того, выполнено неравенство  , где , – некоторые постоянные, не зависящие от , то будем говорить, что имеет место сходимость порядка или, что разностная схема имеет  - й порядок точности.

В этом определении - проекция точного решения задачи (1) на сетку ( - сеточная функция, компоненты которой есть значения точного решения в узлах сетки ).

Предположим, что разностная задача (2) имеет единственное решение .

Если бы при подстановке в левую часть (2) вместо сеточной функции   проекции точного решения на сетку - равенство (2) оказалось бы в точности выполненным, то ввиду единственности решения имело бы место равенство , идеальное с точки зрения сходимости.

Это означало бы, что решение разностной задачи (2) совпадает с искомой сеточной функцией , которую мы условились считать точным решением.

Однако, как правило, систему (2) не удается выбрать так, чтобы в точности ей удовлетворяла. При подстановке в уравнение (2) возникает некоторая невязка:

Величина называется невязкой, и при подстановке точного решения уравнения (1) в оператор имеем

        (3)

Определение 2:

Будем говорить, что разностная схема (2) аппроксимирует исходную дифференциальную задачу (1) на решении  , если

 при    , т.е. норма невязки стремится к нулю при стремлении к нулю шага разностной сетки.

Если, сверх того, имеет место неравенство   ,

где , – некоторые постоянные, не зависящие от , то будем говорить, что имеет место аппроксимация порядка или порядка  относительно величины .

В случае аппроксимации можно считать, что уравнение (3) которому удовлетворяет , получается из уравнения (2) путем прибавления к правой части  некоторой малой (при малом ) добавки  .

Следовательно, если решение задачи (2) устойчиво относительно возмущения правой  , т.е. мало изменяется при малом изменении правой части, то решение  задачи (2) и решение   задачи (3) отличаются мало, так что из аппроксимации  при следует сходимость, т.е.  при .

Определение 3:

Будем называть разностную схему (2) устойчивой, если существуют такие постоянные и , что при любом и любой сеточной функции , такой, что  разностная задача

,

полученная из (2) добавление к правой части возмущения имеет место и имеет только одно решение , причем справедлива оценка

,        (4)

где – некоторая постоянная, не зависящая от .

Последнее неравенство означает, что малое возмущение правой части разностной схемы (2) вызывает равномерно относительно   малое возмущение решения .

 

Теорема  (теорема Лакса о сходимости):

Пусть разностная схема (2) аппроксимирует задачу (1) на решении с порядком и устойчива.

Тогда решение разностной задачи сходится к решению дифференциальной задачи , причем имеет место оценка , где – некоторая постоянная, не зависящая от .

Эта теорема позволяет свести вопрос о важнейшей с практической точки зрения проблемы исследования сходимости к вопросу исследования аппроксимации и устойчивости.

Заметим, что оба этих свойства разностных схем являются независимыми друг от друга.

Установить устойчивость разностной схемы с использованием данного выше определения на практике весьма затруднительно. Поэтому предложен ряд способов исследования устойчивости, позволяющих получить достаточные, а в ряде случаев необходимые и достаточные условия устойчивости разностных схем.

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прежде, чем рассматривать вариационный принципа Лагранжа, сначала рассмотрим энергию деформации упругого тела.

Энергия деформации упругого тела.

Важное значение в механике твердого тела имеет понятие об энергии деформации. Полная энергия Э состоит из потенциальной энергии U деформации тела (потенциала внутренних сил) и энергии (потенциала) П внешних сил  

 Э = U + П.                         (2.34)

Условно будем считать, что в начальном, недеформированном состоянии Э = 0, рис. 2.6, (а).

 

 

Рис. 2.6

 

Следовательно, полная энергия Э представляет собой изменение энергии внешних и внутренних сил при переходе тела из начального (а) в деформированное состояние (б).

Энергия любой системы сил измеряется работой, которую могут совершить эти силы при возвращении тела из конечного в начальное, нулевое состояние.

Составим вначале выражение для потенциала внутренних сил U. Поскольку деформации в разных точках тела разные, то и энергия деформации в объеме тела также распределена неравномерно. Введем понятие плотности потенциальной энергии деформации

,

где DV – элементарный объем. В случае упругого материала, и линейного напряженного состояния (рис. 2.6, (в)) dU выражается площадью диаграммы деформирования (рис. 2.6, (г)) dU = 0,5 sx ex. Обобщая эту формулу на случай объемного напряженного состояния, получим

.       (2.36)

В сокращенной форме записи, с использованием для деформаций и напряжений обозначений (2.10) и (2.11) представим (2.36) в виде

  .         (2.37)

Для всего объема тела энергия деформации

  .       (2.38)

Подчеркнем, что при определении dU как работы, во внимание берут именно внутренние упругие силы. Эти силы, стремясь восстановить первоначальную форму тела, дают положительный вклад в общий баланс энергии.

Составим теперь выражение для потенциала внешних сил, считая, что значения этих сил не зависят от перемещения точки приложения силы. При переходе тела в недеформированное состояние поверхностная точка М1 перейдет в положение М. Поверхностные силы совершат отрицательную (по знаку) работу на перемещениях и, v и w. Следовательно,

где dS – размер элементарной площадки.

Подобным образом для объемных сил

.

Интегрируя по поверхности S и объему V тела найдем потенциал внешних сил

  .      (2.39)

В сокращенней форме записи

.       (2.40)

где

  .         (2.41)

Покажем, что величины U и П, а следовательно и Э, вполне определяются заданием компонент перемещений. Используя закон Гука в форме (2.16) выражение для dU можно привести к виду

  .     (2.42)

Деформации, как известно, с помощью уравнений Коши (2.2) выражаются через перемещения

,      (2.43)

где – транспонированная матрица А, содержащая операторы дифференцирования

  .             (2.44)

Теперь выражение для dU приобретает вид

  .      (2.45)

Следовательно, полная энергия тела Э

(2.46)

является функционалом, то есть скалярной величиной, зависящей от выбора трех функций-аргументов и, v и w. Если первое слагаемое в выражении (2.46) сохранить в виде

,

то это выражение пригодно и для тел, выполненных из неупругого материала.

Приведем пример составления функционала полной энергии Э (2.46) для балки, показанной на рис. 2.7.

 

 

Рис. 2.7

 

 

Будем считать справедливой гипотезу прямых нормалей. Тогда

= = t = 0. В этом случае

.

Перемещение w точек сечения за счет его поворота ; следовательно,

, а  (штрихом обозначено дифференцирование по z). Согласно (2.38)

.

В этом выражении для U интеграл , где Jx момент инерции сечения балки.

Окончательно функционал полной энергии (2.42) получает следующий вид

  .        (2.47)

 

Вариационный принцип Лагранжа.

 

При решении задач теории упругости иногда удобно использовать принцип возможной (виртуальной) работы. Для случая одной частицы этот принцип гласит: если частица находится в состоянии равновесия, то полная работа всех сил, действующих на нее, на любом возможном перемещении равна нулю.

Если du, dv и dw – суть компоненты возможного перемещения в направлениях x, y, z; SX, SY, SZ – суммы проекций всех сил на эти направления, то принцип возможной работы дает

  .     (2.48)

Эти уравнения выполняются для любого возможного перемещения, если выполняются условия равновесия

SX = 0,  SY = 0,   SZ = 0.      (2.49)

Обратно, если даны уравнения (2.49), то умножая их на произвольные множители du, dv, dw, получим (2.48).

Упругое тело, находящееся в состоянии покоя под действием объемных и поверхностных сил, представляет собой систему частиц, на каждую из которых действует уравновешенная система сил. На любом возможном перемещении полная работа всех сил, совершенная над каждой частицей, равна нулю; следовательно, обращается в нуль и полная работа.

В качестве возможного перемещения в случае упругого тела можно принять любое малое перемещение, допускаемое условиями сплошности и наложенными на тело связями.

Если в выражении для Э (2.46) вектор перемещений {u} заменить вектором возможных перемещений {du}, а затем знак вариации вынести из под знаков интегралов, то получим следующее уравнение

dЭ = 0.     (2.50)

Уравнение (2.50) показывает, что действительные перемещения u, v и w при заданных внешних силах и заданных условиях закрепления таковы, что для любого возможного перемещения вариация полной потенциальной энергии равна нулю; тем самым полная потенциальная энергия стационарна. Это и есть принцип вариации перемещений – принцип Лагранжа. Отметим, что вариацией называется искусственное малое приращение малой величины. Операция варьирования аналогична операции дифференцирования.

Вариационное уравнение dЭ = 0, в интегральной форме выражает условия равновесия деформируемого тела. Оно включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия и условия на поверхности тела.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариационный принцип Гамильтона.

 

                                     Рис.1 

Рассмотрим (n+1) – мерное расширенное координатное пространство

q1 , ... , qn , t и выберем в этом пространстве две произвольные не совпадающие точки А и В, соответствующее моментам t0 и t1  (рис. 1). Пусть некоторая динамическая система, движущаяся в потенциальном поле, задана ее лагранжианом (или гамильтонианом). Путь этой системы из точки А в точку В, удовлетворяющий соответствующим уравнениям Лагранжа (или каноническим уравнениям), называется прямым путем (жирная линия на рис.1).

Рассмотрим действие по Гамильтону на этом пучке кривых. Обратим внимание на то, что все кривые введенного сейчас в рассмотрение пучка (рис. 1) пересекаются в начальной и в конечной точках А и В. Это значит, что в точках А и В ни значения координат, ни значения времени t не меняются при изменении параметра α (α – параметр произвольного семейства кривых, соединяющих точки А и В ), т. е.:

 

δqi = δqi = δt1 = δt0 = 0     (1)      

 

 

Общая формула для приращения функционала для такого пучка (рис. 1) принимает вид:

 

δI = - ∫V ∑ ( d/dt*dL/dqi  - dL/dqi  ) δqidt , (V= t0;t1 )            (2)