Методика преподавания математики в средней школе

В данном случае, как видим, все элементу урока, его частные учебные задачи подчинены  основной цели. Совокупность этих элементов  и цель урока взаимно определяют друг друга.

Решение на уроке наряду с образовательными задачами и определенных воспитательных задач. Обучение воспитывает, прежде всего, своим содержанием — фактами и их истолкованием. Наряду с этим успех воспитания во многом зависит от того, как ставятся перед учащимися очередные учебные цели и организуется работа коллектива по их реализации. Задача состоит в том, чтобы планомерно использовать изучаемый материал и сам процесс учения для воспитания у учащихся коммунистических взглядов и убеждений.

Эта общая цель воспитания реализуется  на уроке через решение многих взаимосвязанных частных воспитательных задач.

Наиболее  актуальными из них для нас  являются такие задачи: возбуждение  и поддержание интереса к предмету; воспитание у учащихся ответственного отношения к учению; воспитание потребности и умений учиться математике.

Соответствующие свойства личности обучаемых не возникают стихийно. Они являются результатом планомерной и длительной работы учителя.

Изучаемые на уроке конкретные факты или  задачи в конечном счете важны не сами по себе. Они могут быть со временем забыты. Однако изучение всех таких фактов должно оставлять определенный след в сознании обучаемого — знание того, как вообще человек добывает факты или решения возникающих задач и фиксирует в мышлении результаты познания. Обучение математическим понятиям, суждениям и доказательству или решению задач на уроке должно строиться с учетом этой необходимости.

Конкретное  математическое понятие, например, можно  считать усвоенным, если ученик верно, пусть своими словами, формулирует  его определение, безошибочно выделяет в нем определяемое и определяющее понятие, не испытывает затруднений в распознавании понятия по его определению.

Применительно к изучаемой на уроке теореме (или аксиоме) достижение знаний высокого уровня, отвечающих целям воспита-" ния, характеризуется, как известно, такими признаками: ученик _ч верно формулирует теорему, умеет выделить в ней субъект и предикат (или объекты и отношение между ними), безошибочно выделяет в теореме условие и заключение (основание и следствие), умеет сформулировать теорему на языке необходимости и достаточности и, наконец, умеет применить теорему в подходящем случае— распространить заключение теоремы на объект, относительно которого выполняется ее условие.

Наконец, изучение конкретного доказательства отвечает нашим целям, если в результате ученик понимает его необходимость, умеет воспроизвести доказательство самостоятельно, указать его аргументы (посылки), сознает правило, согласно которому из таких-то посылок следует такое-то заключение, умеет самостоятельно доказать аналогичную теорему.

Понимание учеником того, что он в каждом конкретном случае должен знать и уметь, дисциплинирует его, заставляет быть внимательным, проявлять упорство в достижении цели.

Заметим еще, что проводимая в наше время  реформа содержания обучения предполагает усиление внимания к развитию мышления учащихся. Новые учебники по математике, алгебре и геометрии представляют для этого хорошие возможности, учение по ним становится более интересным. Надо эти возможности максимально использовать.

3. Обоснованный отбор учебного  материала на урок. Нам уже известно содержание урока «Формула корней приведенного квадратного уравнения». Такое содержание урока отнюдь не является случайным. При его определении реализованы по крайней мере такие частные требования:

1) соответствие  содержания урока его основной учебной цели; 

2. достаточный объем учебного материала, рассмотренного на самом уроке;
3. оптимальное соотношение между конкретным и абстрактным на уроке;
4. отражение необходимой взаимосвязи между теорией и практикой.

О реализации требования (1) на данном уроке уже  говорилось ранее.

Суть  требования (2) состоит в том, чтобы  основная часть работы по усвоению и закреплению учебного материала  выполнялась на самом уроке, чтобы  больше делалось на уроке и меньше задавалось на дом. Только при этих условиях ученик будет сознавать  посиль- ность домашнего задания, считать себя обязанным выполнить такое задание (воспитательная сторона дела).

Учебный материал обсуждаемого урока в достаточном  числе содержит задания вводного назначения, задания па решение уравнений посредством первого и второго алгоритмов. Вывод формулы корней проделан по существу на решении нескольких уравнений. Трудности для учащихся наращивались постепенно. Им предоставлены возможности для проявления самостоятельности, для успешного усвоения (и закрепления) материала на самом уроке. Объем домашнего задания сравнительно невелик.

Нетрудно  убедиться и в реализации требования (3), согласно которому конкретных фактов должно быть достаточно для перехода к обобщению и общее (в данном случае — формула корней) применено к конкретным задачам.

То  же можно сказать и относительно требования (4). В учебном г материале урока налицо проявление связи между теорией (вывод дэрпулы) и практикой (решение уравнений). Имеется возможность привлечь материал из курса физики.

Рассмотренные нами требования необходимо предъявить и к содержанию каждого урока  математики. И если они реализованы, будем считать,-что учебный материал урока подобран обоснованно.

4. Применение на уроке методов  обучения, обеспечивающих активное учение школьников. Рассмотрим фрагмент урока «Делимость суммы на число» (IV класс), отвечающий сформулированному выше требованию. _t

Перед учащимися ставится (и мотивируется) задача выяснить условия, при которых  сумма а + b двух натуральных чисел а и Ь делится на данное натуральное число d. Надо установить закономерность, позволяющую заключать о делимости на d суммы а + Ь на основе знания о делимости ее слагаемых а и & на число d.

Для этого выясним сначала, что может  быть известно относительно делимости слагаемых а и Ь на число d, какие случаи здесь могут представиться.

Выясняется, что различных случаев может  быть четыре и для каждого из них  нам надо найти ответ на вопрос, делится либо нет

нa d сумма a + b. Фиксируем эти случаи и вопросы в таблице I (вывешивается на классной доске).

Таблица I

Делимость суммы на число

Случаи	Условия		1 Заключение
	а делится на d	b делится на d	a+b делится на d
1	Да	Да	?
2	Да	Нет	?
3	Нет	Да	7
4	Нет	Нет	?

 

Итак, надо вместо знаков вопроса в таблице I дать ответы: «да» или «нет».

Посмотрим, как обстоит дело в случае конкретных а, b и d. Здесь мы имеем возможность найти ответ на вопрос непосредственным испытанием — выполнить сложение и деление.

Попытаемся  сначала ответить на первый из вопросов таблицы. Выполним для этого задания, содержащиеся в карточке I.

Заполнить пустые клетки таблицы					Карточка 1
Задание №	1	2	3	4	5
Значения а	15	21	72	80
b	45	63	54	96
d	5	7	6	8	9
a + b
Делится ли а + b на d?

 

Задание карточки I выполняем все вместе. Находим сумму, заполняем нужную клетку. Делим 60 на 5. Сумма в данном случае делится на 5. Фиксируем ответ  «да». Остальные задания карточки Выполняются учащимися самостоятельно.

Есть  ли необходимость продолжать подобные испытания^ Или уже сейчас можно заменить вопрос первой строки таблицы I определенным ответом? Учащиеся формулируют соответствующую зако» номерность. В таблице I один из вопросов снимается и заменяется словом «да».

Аналогично  отыскивается ответ на вопрос второй строки таблицы I. Учащимся предлагается заполнить карточку И, отвечающую этому случаю (нет необходимости ее здесь приводить). На этой основе формулируется соответствующая закономерность и вносится поправка в таблицу I.

Как ответить на третий из наших вопросов? Учащиеся догадываются, что предыдущая закономерность распространяется и на этот случай в силу переместительности сложения. Вопрос снимается.

Остается  ответить на последний вопрос. Предлагается привести подходящие примеры. Выясняется, что возможны примеры двух категорий, что существуют две возможности, вопрос не имеет определенного ответа.

Итак, в результате рассмотрения частных  случаев мы обнаружили закономерности, зафиксированные в таблице II (получена из таблицы I снятием вопросов).

Дальнейший  ход работы более или менее  очевиден. Выясняется, что опыт только подсказывает, но не доказывает. После  этого при активном участии учащихся может быть проведено необходимое  доказательство.

Как видим, на этом уроке учащимся предоставлена  возможность расчленить изучаемый материал на типичные случаи, проделать необходимый опыт, самим сформулировать и обосновать соответствующие общие суждения. Иными словами, суть обсуждаемого требования состоит в том, чтобы все, что учащиеся могут сделать сами, они действительно сами бы и делали.

Представим  себе теперь, что содержание некоторого урока определено. Его учебный материал разбит на элементы (порции или кадры). Чаще всего каждый такой кадр суть элементарная учебная задача одного из следующих типов: ввести в обиход учащихся некоторое понятие, ознакомить их с некоторым суждением, обосновать тот или иной тезис (теорему, Правило), решить задачу.

Применительно к этим типичным случаям разъясним  суть сформулированного выше общего требования к методам обучения на уроке такими частными требованиями:

а) по возможности сами учащиеся формулируют  очередную познавательную задачу;

. б)  дают определение вводимому понятию;

в) на основе опыта обнаруживают существующую закономерность и облекают ее в форму суждения;

г) под руководством учителя находят план доказательства или решения задачи и по возможности сами реализуют этот план.

Обратим внимание еще на одну особенность  рассмотренных уроков и сделаем  соответствующие выводы.

На  упомянутом уроке применены таблицы  и карточки-задания. Являясь простейшими  из технических средств обучения, они вне

всякого сомнения содействуют организации  активной познавательной деятельности учащихся на уроке, программируют эту деятельность. Должно быть понятным, что ту же деятельность можно было запрограммировать и при помощи других технических средств. Все зависит от того, что мы имеем и что можем* изготовить сами.

В связи  с таким требованием к уроку  заметим, что лабораторией учебного оборудования по математике научно-исследовательского института школьного оборудования и технических средств обучения (НИИШОТСО) АПН СССР разрабатываются комплексы технических средств обучения по учебным темам новой программы.

Заметим, что выделяемые нами требования к  уроку успешно реализуются в опыте передовых учителей. Олределенные достижения в рациональной организации процесса обучелия математике имеют, например, учителя школ Москвы [1 55], Липецкой [2.39], Ростовской [2.124], Кировоградской [1.191] областей, Татарской АССР [1.135].

5. Организационная четкость урока. Имеется в виду, что перед учащимися на уроке чeтко ставятся очередные учебные задачи, им понятны причины перехода от одной задачи к следующей, все они активны в решении этих задач, время на уроке рационально используется в целях обучения и воспитания учащихся. Иными словами, урок проходит четко и организованно, если в ходе этого урока реализуются рассмотренные выше требования 1—4.

Кроме того, достичь такой организации  урока возможно лишь при выполнении следующих необходимых условий: учитель свободно владеет материалом урока, учебным предметом в целом, он не тратит времени на размышления и припоминания на уроке;

знает методику каждого очередного вопроса, весь арсенал вариантов, приемов и средств его изучения;

знает индивидуальные особенности учащихся класса, предвидит их возможные затруднения  и пути их преодоления, располагает  материалом для «загрузки» более  сильных учащихся.

Предполагается  также, что урок заранее продуман учителем во всех деталях и, в частности:

заранее продумано распределение всей работы на уроке во времени;

ее  распределение между исполнителями  — между учителем и учащимися, между различными категориями учащихся;

продумано содержание и расположение записей  на классной доске и в тетрадях учащихся;

до  урока отобраны (изготовлены) необходимые  технические средства обучения, проверена  их готовность к использованию^ Итак, мы рассмотрели основные (необходимые) требования к уроку математики. Уместно теперь поставить вопрос об области их применимости. Легко видеть, что в самых общих формулировках