Полученное число (325
648) подвергается подробному анализу:
в нем два класса; в каждом
классе по три разряда; в
классе тысяч 325 единиц, - значит,
в числе 325 тысяч; в классе
единиц 648. Все число читается
так: 325 тысяч 648. Вслед за этим
идут упражнения в чтении и
записи аналогичных чисел. Уяснению
структуры многозначного числа,
его разрядного и поклассного
состава во многом способствуют:
а) примеры на сложение
и вычитание, решаемые на основе
знания десятичного состава числа,
например:
25000 + 4000 18420 - 4205460 - 400
30 000 + 500 76 200 - 6 000 16 903-16 000
б) разложение данного
числа на его разрядные слагаемые
и обратная операция - запись выражения
(суммы) в виде одного числа,
например:
65 040 - 60 000 + 5 000 + 40
4 000 + 700 + 30 + 8 = 4 738
На этом этапе изучения
нумерации продолжается работа
и по закреплению знания натуральной
последовательности чисел. С гой
целью проводятся упражнения
в выполнении различных заданий,
например:
а) присчитывайте по
1 и записывайте числа: от 9 997 до
10 004; 99 998 до 100 005;
б) отсчитывайте по
1 и записывайте числа: от 1 003 до
998; от 3 002 до 9 996; от 10 000 до 99 996;
в) запишите число,
меньшее 100 000 на 5; большее 19 998 на
3;
г) запишите "соседей"
чисел: 20 000; 90 000; 100 000;
д) сравните числа:
600 и 6 000; 7 009 и 7 090; 36 214 и 36 241;
е) вставьте вместо
точек необходимые числа:
1 726 < 17. ., 100 060 > 1000...
Знание натуральной
последовательности чисел находит
свое применение и при решении
примеров типа:
99 999 + 1 10 000 - 1 70 000 + 30 000
199 999 + 1 100 000 - 1 90 000 + 1 000
Решая первый пример,
ученик рассуждает так: "Если
прибавить числу единицу, то
получится число, следующее за
данным. А число, которое следует
за числом 99 999, есть 100 тысяч. Поэтому
пишу: 99 999 + 1 = 100 000".
Если ученик затрудняется
назвать это число, что вполне
естественно, тогда число 99 999
нужно представить в виде суммы:
Э тыс. + 999, прибавить единицу к
999.999 да 1 будет 1000, 99 тыс. а 1 тыс.
будет 100 000.
Решая пример 10000 - 1, ученик
рассуждает: "Если вычесть из
числа единицу, то получится
число, предшествующее данному.
Числу 10 тысяч предшествует число
9 999. Значит, 10 000 - 1 = = 9 999". Если же
ученик не сумеет назвать это
предшествующее число, то объяснение
может быть дано в таком
виде: "Представим число 10 тыс.
в виде суммы двух слагаемых:
9 тыс. + 1 тыс. Теперь вычтем 1 из 1 тысячи,
получим 999, а всего останется
9 999".
Теперь нужно продолжить
эту работу и установить, что
наименьшим и наибольшим числами
являются:
- среди четырехзначных чисел: 1 000 и 9 999;
- среди пятизначных чисел: 10 000 и 99 999;
- среди шестизначных чисел: 100 000 и 999 999.
Очень важно, делая
такую запись, объяснить, почему
1 000 наименьшее, а 9 999 наибольшее
в ряду четырехзначных чисел.
Ответ на этот вопрос дает
знание натуральной последовательности
чисел: 1 000 - наименьшее число в
ряду четырехзначных, потому что
число, меньшее его на единицу
(999), является уже трехзначным
числом, а 9 999 - в ряду четырехзначных
чисел наибольшее, потому что
число, большее его на единицу
(10 000), является уже пятизначным
числом.
После объяснения этого
случая ученики с помощью учителя
уже смогут самостоятельно дать
объяснение, почему в ряду пяти-,
шестизначных чисел 10 000 и 100 000
являются наименьшими.
Существенной особенностью
системы изучения нумерации, принятой
в учебнике, является и то, что
в ней нумерация отвлеченных
чисел изучается в тесной связи
с нумерацией именованных чисел;
разрядные единицы счета сравниваются
с единицами измерения; образование
отвлеченных чисел сопоставляется
с образованием именованных чисел.
После того как ученики
познакомятся с правилом чтения
шестизначных чисел и научатся
узнавать, сколько всего единиц II
класса содержится в данном
числе, им предлагается задание
выразить в метрах: 3 000 мм; 30 000 мм;
920 000 мм.
Выполняя эти задания,
ученик рассуждает так: "Тысяча
миллиметров составляет 1 м, а
3 тыс. мм составляют 3 м".
Далее следуют упражнения
обратного характера: "Выразите
в миллиметрах: 1 м; 80 см; 3 м 20 см; 4
м 05 см".
Ученик рассуждает
так: "В 1 м тысяча миллиметров,
а в 2 м-
2 тысячи миллиметров
(2 000 мм)".
В 1 см - 10 мм, а в 80
см - 80 десятков миллиметров, или
800 мм.
В 3 м - 3 000 мм да
еще 20 см - 200 мм, а всего в 3 м
20 см
3 200 мм.
После рассмотрения
различных случаев преобразования
отвлеченных чисел, т.е. выражения
их в более мелких или в
более крупных разрядных единицах,
параллельно рассматриваются такие
вопросы:
Сколько всего сотен
в числе 3 200?
Сколько метров в
3 200 см?
Сколько метров и
сантиметров в числе 5846 см?
Выразите в более
мелких единицах: 8 сот.9 дес. - в десятках,
8 м 9 дм - в дециметрах.
В результате совместного
рассмотрения отвлеченных и именованных
чисел ученик начинает понимать,
что численная характеристика
множества зависит
от выбора единицы счета, понимать
равенство чисел, характеризующих
одно и то же числовое значение
величины.
Чтобы закрепить у
детей знание поместного значения
цифры, в содержание работы
по изучению нумерации включен
раздел "Увеличение и уменьшение
числа в 10, 100, 1000 раз". Умение
увеличить и уменьшить число
путем приписывания или отбрасывания
нулей справа позволяет решать
примеры и задачи, в которых
требуется умножать или делить
число, оканчивающееся нулями. Это
умение требуется также при
преобразовании данных чисел
(при выражении их в более
мелких и крупных единицах).
В основе методики
этого вопроса лежат наблюдение
и сравнение: учащиеся наблюдают
за тем, как изменяются числа,
когда к ним приписывают или
отбрасывают нули, сравнивают исходные
и полученные числа и выводят
соответствующее правило. После
этого вводятся знаки умножения
и деления, решаются примеры
и задачи: 54 000: 1 000; 3 800 100 и т.п.
В содержание темы
"Нумерация", как уже сказано
выше, входит вопрос о преобразовании
числа, которое сводится к двум
операциям - к раздроблению единиц
какого-либо разряда в единицы
низшего разряда и к выделению
из данного числа всех единиц
какого-либо разряда.
В методическом отношении
это сложный вопрос, и решается
он по-разному. Приведем здесь
один из способов объяснения.
На конкретных примерах выясняется,
что в числе, состоящем из
круглых десятков, единиц в 10 раз
больше, чем десятков; в числе,
состоящем из круглых сотен,
единиц в 100 раз больше, чем
сотен, и т.д. Поэтому, если
требуется, например, 36 десятков
выразить в единицах, достаточно
36 увеличить в 10 раз; это можно
сделать путем приписывания к
числу одного нуля справа. А
если требуется узнать, сколько единиц
в 36 сотнях, достаточно 36 увеличить в 100
раз, что можно сделать, приписав к числу
справа два нуля, и т.д.
Отсюда правило: чтобы
узнать, сколько единиц в числе,
состоящем из десятков, надо приписать
к числу справа один нуль; чтобы
узнать, сколько единиц в данном
числе сотен, надо приписать
к числу справа два нуля
и т.д.
Точно так же на
отдельных примерах можно показать
учащимся, что, если требуется,
например, узнать, сколько десятков
в числе 480, достаточно отбросить
в нем нуль. Получим 480 = 48 дес.
А если нужно узнать, сколько
сотен в числе I 200, достаточно
отбросить два нуля. Получим: 1 200
= 12 сот.
Сколько десятков в
числе 4 735? Рассуждаем так: десятков
не будет только в разряде
единиц, поэтому отбрасываем единицы;
оставшиеся цифры обозначают
число, которое покажет, сколько
всего десятков в данном числе
(473 десятка). Действительно, в 4 тысячах
40 сотен, а в 40 сотнях 400 десятков.
В 7 сотнях 70 десятков, а всего
будет: 400 дес. + 70 дес. + 3 дес. = 473 дес.
Точно так же объясняется,
сколько сотен, например, во всем
числе 34 815. Сотен нет только
в разрядах десятков и единиц;
отбрасываем их. Оставшееся число
(348) покажет, сколько всего сотен
в числе (348 сот). Отсюда вытекает
правило: чтобы узнать, сколько
всего сотен в данном числе,
надо отбросить в нем десятки
и единицы и прочитать оставшееся
число, как число сотен.
После изучения нумерации
шестизначных чисел вводится
класс миллионов и девятизначные
числа. Порядок работы примерно
тот же, что и над классом
тысяч и шестизначными числами:
образование трех новых разрядных
единиц-миллиона, десятка миллионов,
сотни миллионов, объединение
их в класс миллионов, в котором
счетной единицей является миллион
(новая классная единица), перенос
на этот класс всего того, что
детям известно о классе единиц
и классе тысяч; рассмотрение
нумерационной таблицы, в которой
представлены три класса, использование
этой таблицы для первоначального
ознакомления учащихся сначала
со структурой числа III класса
без нулей и с нулями в
пределах этого класса (632 млн., 370
млн., 800 млн), а потом со структурой
девятизначных чисел, с их чтением
и записью в таблице.
При изучении нумерации
девятизначных чисел проводятся
упражнения: в образовании чисел
(преимущественно из классных
единиц, например: "Напишите число,
которое содержит 158 ед. III класса, 840
ед. II класса и 256 ед. I класса"),
в разложении чисел без нулей
и с нулями на месте отсутствующих
единиц, как отдельных разрядов,
так и целого класса, в записи
всех возможных чисел с помощью
данных цифр (например: "С помощью
цифр 3, 8, 5 запишите все возможные
трехзначные числа так, чтобы
одна и та же цифра в числе
не повторялась"), в сравнении
чисел, в усвоении натуральной
последовательности чисел за
пределами миллиона, в преобразовании
чисел как отвлеченных, так
и именованных.
Использование методики,
изложенной здесь в самых общих
чертах, должно не только научить
детей правильно читать и записывать
числа, но и дать им знание
основ десятичной системы счисления,
натурального ряда чисел, а
также развить их математическое
мышление.
Одновременно с изучением
нумерации многозначных чисел
проводится работа над ранее
изученным материалом (его повторение,
закрепление и некоторое расширение)
по всем основным линиям: по
совершенствованию вычислительных
навыков и умению решать задачи,
по расширению сведений из
алгебраической и геометрической
пропедевтики. На многих уроках
после проверки домашнего задания
проводятся специальные кратковременные
устные упражнения. Материал для
таких упражнений (примеры и задачи)
дан в учебнике в разделе
"Дополнительные упражнения".
Некоторые из них могут включаться
и в домашнее задание. На
каждом уроке по теме "Нумерация"
учащиеся вместе с изучением
нового материала повторяют и
закрепляют знания.
Методика раскрытия
конкретного смысла умножения
По мнению В.В. Давыдова, умножение
является центральной темой программы
3 класса. Умножение в курсе 3 класса
рассматривается как особое действие,
связанное с переходом к новым
меркам в процессе измерения величин.
Первая учебная задача здесь - это
задача воспроизведения величины в
ситуации, когда измеряемая величина
А много больше заданной мерки, в
связи с чем возникает необходимость
использования вспомогательной, промежуточной
мерки. Одно из чисел, описывающих эту
ситуацию, фиксирует отношение вспомогательной
мерки к исходной (или стандартной)
мерке, именно оно является основанием
принятой системы счисления. Второе
число - это количество вспомогательных
мерок в измеряемой величине (по
… взять … раз), третье - отношение
измеряемой величины к исходной мерке.
Другими словами, для воспроизведения
величины с помощью исходной мерки
необходимо иметь не одно число, а
два, одно из которых описывает способ
построения вспомогательной мерки
с помощью исходной мерки, а второе
описывает способ построения самой
величины с помощью вспомогательной
мерки.
Таким образом, в описании
нового способа действия участвуют
2 числа, которых достаточно для воспроизведения
и построения исходной величины. Научившись
выполнять арифметическое действие
умножения, можно будет определять
третье число, характеризующее это
же действие измерения «прямым» способом,
от которого дети отказались первоначально.
Основным способом изучения
таблицы умножения в этой программе
является выявление закономерностей
и общих способов. Примером тому
служит алгоритм изучения таблицы умножения
на 9:
1*9=09 - Сумма двух цифр в произведении
всегда равна 9!