Метод координат. Трехмерные пространства

Использование метода координат при решении планиметрических задач состоит из следующих этапов:

1) вводят удобным образом систему  координат, чаще всего декартову;

2) условие задачи и её заключение  переводят на соответствующий  язык, записывая их в координатной форме;

3) доказывают или вычисляют требуемое  с помощью соответствующего алгебраического  аппарата;

4) полученный результат формулируют (интерпретируют) в терминах задачи.

Задача 1. Даны вершины треугольника А (5; -1), В(-1; 7), С (1; 2). Найти длину его внутренней биссектрисы, проведенной из вершины А.

Решение. Обозначим через М точку пересечения указанной биссектрисы со стороной ВС, через c и b — длины сторон АВ и АС. Как известно из элементарной геометрии, биссектриса, проведенная из какой-нибудь вершины треугольника, делит противолежащую этой вершине сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Таким образом, точка М делит отрезок ВС в отношении , где

Находим длины сторон АВ и АС

, .

Следовательно,  = 2. Находим координаты точки М:

Получаем искомую длину биссектрисы

Задача 2. Докажите, что если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобочная.

Решение. Введем декартову систему координат, начало которой поместим в середину нижнего основания, а ось Ох направим вдоль нижнего основания (рис.1). Тогда для координат вершины трапеции будем иметь:

А (-а, 0), D (а, 0), В (а, 1), С (с, 1)

(считаем что единица масштаба по оси Оу равны высоте трапеции). По условию, АС = ВD, или в координатах: . Отсюда (возведем это равенство квадрат):

а2 + 2ас + с2 + 1 = а2 – 2аb + b2 + 1, или (с + b)(2а + с - b) = 0.

Второй сомножитель явно равен 0. Следовательно, b + с = 0, и значит,

b = - с и АВ = DC, т.е. трапеция равнобочная.

Задача 3. Дана декартова прямоугольная система координат. Вывести уравнение окружности, которая имеет центр и радиус, равный r (рис. 2).

Решение. Обозначим, буквой М переменную точку, буквами х, у — ее координаты (т. е. текущие координаты). Данная окружность есть геометрическое место точек, каждая из которых отстоит от точки С на расстоянии r; таким образом, точка М находится на данной окружности в том и только в том случае, когда

СМ = r.      (1)

По формуле имеем  . Заменяя этим выражением величину СМ в равенстве (1), получаем

.

Мы нашли уравнение, которое связывает величины х, у и которому удовлетворяют координаты тех и только тех точек, что лежат на данной окружности. Это и есть, следовательно, искомое уравнение. Задача решена.

Задача 4. Даны уравнения двух окружностей и . Найти точки их пересечения.

Решение. Раскрывая скобки и перенося все члены в левую сторону, можем записать данные уравнения в виде:

, .  (1)

Вычтем из первого уравнения второе; получим: или . Объединяя это уравнение с первым из данных, составим систему

     (2)

Система (2) равносильна системе (1). Поэтому задача сводится к решению

этой системы. Подставим в первое из уравнений (2) , найдем: , или . Отсюда , т.е. , . По найденным значениям х определим соответствующие значения у из уравнения ; при получаем , при имеем . Таким образом, искомыми являются точки (1; 5) и (3; 3).

Задача 5. Дан треугольник АВС. Проведены медианы СD и прямая l, пересекающая лучи СА, СВ, СD соответственно в точках М, N, K, таких, что ,  , .

Доказать, что .

Решение. Примем вершину С треугольника АВС за начало аффинной системы координат, а и – за базисные векторы. В таком случае точки будут иметь координаты: А (1, 0); В (0, 1), , М (m, 0), N (0, n). Так как = k и , то .

Координаты точки К удовлетворяют уравнению прямой MN:

Подставив координаты точки К в это уравнение, получим:

 

Задача 6.  Даны две прямые 2х + 3у - 5 = 0, 7х + 15у + 1 = 0, пересекающиеся в точке S. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку S и перпендикулярна к прямой 12х - 5у - 1 = 0.

Решение. Прежде всего, проверим утверждение условия задачи: данные прямые действительно пересекаются, так как . Далее составим уравнение пучка прямых с центром S:

    (1)

Чтобы выделить в этом пучке искомую прямую, вычислим  согласно условию перпендикулярности этой прямой к прямой 12х - 5у - 1 = 0. Представив уравнение (1) в виде

     (2)

находим угловой коэффициент искомой прямой:

.

Данная прямая имеет угловой коэффициент

.

По условию перпендикулярности , т.е.

Отсюда . Подставляя  в уравнение (2), получаем -5x-12у-6=0 или 5х+12у+6 = 0.

Задача решена.

Задача7. Даны равносторонний треугольник АВС и окружность, проходящая через вершины А и В, центр которой симметричен вершине С относительно прямой АВ. Доказать, что если М – произвольная точка окружности, то из отрезков МА, МВ, МС можно составить прямоугольный треугольник (который вырождается, если М = А или М = В).

Решение. Введем на плоскости прямоугольную систему координат. За начало координат возьмем середину О отрезка АВ, точку В примем за единичную точку оси абсцисс (рис.7).  Тогда |ОА| = |ОВ| = 1, |ВС| = 2 и |ОС| = . Следовательно, данные точки получают координаты: А (-1,0), В (1, 0), С (0, ), D (0, ). Уравнение окружности с центром D радиуса |АD| имеет вид . Пусть - некоторая точка этой окружности. Требуется доказать, что |МА|2 + |МВ|2 = |МС|2.По формуле расстояния между двумя точками имеем:

; ; .

Отсюда .

Учитывая, что координаты точки удовлетворяют уравнению окружности, т.е. , получаем:

|МА|2 + |МВ|2 = |МС|2.

Заключение

Характерной особенностью метода координат является определение геометрических фигур уравнениями, что позволяет производить геометрические исследования и решать геометрические задачи средствами алгебры. Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры — единообразие способов решения задач. Если в арифметике и элементарной геометрии приходится, как правило, искать для каждой задачи особый путь решения, то в алгебре и аналитической геометрии решения проводятся по общему для всех задач плану, легко приспособляемому к любой задаче. Можно сказать, что аналитическая геометрия занимает такое же положение по отношению к элементарной геометрии, какое алгебра занимает относительно арифметики. Перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач составляет главную ценность метода координат. Приёмы элементарной геометрии в отдельных случаях позволяют находить изящные решения, более простые, чем получаемые методом координат.

Другое достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций. При практическом применении понятия координат координаты предмета, рассматриваемого условно как точка, могут быть определены лишь приближённо. Задание координат предмета означает, что точка, определяемая этими координатами, либо является одной из точек этого предмета либо достаточно близка к нему.

Метод координат важен также и тем, что он позволяет применять современные вычислительные машины к решению геометрических задач, к исследованию любых геометрических объектов и соотношений.

Изучение метода координат и трехмерного пространства весьма полезно для уяснения многих закономерностей геометрии обычного пространства и для более наглядного представления многих закономерностей алгебры, геометрии.

Соотношения трехмерной геометрии находят применение и при решении транспортных задач о составлении оптимального способа перевозки грузов и т. д.

В данной работе были рассмотрены метод координат и трехмерные геометрические образы.

 

Список использованной литературы

 

1. Александров А. Д., Нецветаева Н. Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990.
2. Атанасян Л. С. Геометрия. ч. 2 – М., 1987.
3. Базылев В. Т. и др. Геометрия. Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. Факультетов пед. институтов – М.: «Просвещение», 1975.
4. Вигнер Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках // УФН. – 1968. – Т. 94, вып. 3.
5. Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов Н. А. Метод координат. Изд. 3 – М.: Наука, 1968.
6. Гордевский Д. З. Популярное введение в многомерную геометрию. – Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1964.
7. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. – М.: Наука, 1970.
8. Манин Ю. И. Новые размерности в геометрии // Успехи мат. Наук, 1984, т. 39, вып. 6.
9. Моденов Л. С. Аналитическая геометрия. – М., 1969.
10. Парнасский И. В. Многомерные пространства. – М.: Наука, 1978.
11. Понтрягин Л. С. Знакомство с высшей математикой. - Изд. 2. – М.: Наука, 1987.
12. Прохоров Ю. В. Большой энциклопедический словарь по математике. – М.: Науч. издат., 1998.
13. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. – М.: Наука, 1966.
14. Сазанов А. А. Четырёхмерный мир Минковского. – М.: Наука, 1988.
15. Стрингхем П. Г. Правильные фигуры в n-мерном пространстве. Под ред. Фаге, Успехи математических наук, вып. 10 – М., 1954.
1. Хлопонина Э. П. Аналитическая геометрия аффинных и евклидовых пространств: Учебное пособие, ч. 1 – Ставрополь: Изд-во СГУ, 1998.

 

                                                                    2