Математикалық ұғым

Сонымен бірге, қайсыбір анықтамаларды  символдармен өрнектеу ыңғайлы. Мысалы:

а°=1(а#0); аⁿ= ;

.

Мектеп математикасында сирек те болса индуктивтік анықтамалар   пайдаланылады.   Индуктивтік   анықтаманың   мысалы ретінде натурал сандар жиынында берілген функцияның анықтамасын айтуға болады. Бұл анықтаманың схемасы мынадай:

Математика пәнінің логикалық  желісін құрғанда тікелей анықтама беруге болмайтын ұғымдар да бар. Мұндай ұғымдар алғашқы немесе негізгі ұғымдар деп аталады.

Мектеп математикасында негізгі  ұғымдар: «нүкте», «түзу», «жазықтық», «натурал сан» болып табылады. Бұл  ұғымдардың анықтамаларын беруге болмайтындықтан, олардың сипаттамасы ғана айтылады.

2. Ұғымдарды бөлу және  классификациялау. Ұғымдарды бөлу ұғымның көлемін ашатын логикалық әрекет ретінде қарастырылады. Ұғымдарды бөлу дегеніміз бөлінетін ұғымға бағыныңқы барлық түрлік ұғындарды керсету деген сөз. Мәселен, арифметикалық бөлшек ұғымын «дұрыс» бөлшек және «бұрыс» бөлшек ұғымдарына бөлеміз. Үшбұрыш ұғымы «тік бұрышты», «доғал бұрышты» және «сүйір бұрышты» үшбұрыш ұғымдарына бөлінеді.

Көлемі бөлінетін ұғым белінгіш ұғым деп аталады. Бөлу нәтижесінде  алынатын түрлік ұғымдар бөлу мүшелері деп аталады. Тектік ұғымды түрлік ұғымға бөлу белгісі бөлу негізі деп аталады.

Мәселен, үшбұрыш мысалында бөлінетін  ұғым — үшбұрыш, бөлудің мүшелері — тік бұрышты үшбұрыш, доғал  бұрышты үшбұрыш және сүйір бұрышты  үшбұрыш, бөлудің негізі — үшбұрыштың бұрыштық ең үлкен шамасы.

Басқа пәндер сияқты, математика пәні өзі зерттейтін ұғымдарды белгілі  бір жүйеге келтіріп, өзіне тән  талаптарға сәйкес ұғымдарды белшектейді. Ол үшін:

а) бөлудің негізі бірыңғай болуы  керек. Бүл шартты сақтамау нәтижесінде  оқушылар жиі қатеге ұрынады. Мысалы, кейбір оқушылар үшбұрыш ұғымын тең бүйірлі, сүйір бұрышты және тік бұрышты үшбұрышқа бөледі.

ә) Бөлу өлшемдес болуы тиіс. Мүның  мәні — бөлінетін ұғымның көлемі бөлу мүшелері көлемдерінің қосындысына  тең болуы керек.

б) Бөлу мүшелерінің әрқайсысы басқаларын қоспауы тиіс, яғни олардың бір де біреуі басқа ұғымның көлеміне кірмеуі тиіс. Мәселен, «бүтін сандар, жай сандар, жұп сандар, тақ сандар» бөлуі дұрыс емес, себебі 5 саны жай сандарға да, тақ сандарға да кіреді.

в) Бөлу үзіліссіз болуы керек, яғни бөлінетін ұғым бөлу мүшелері үшін ең жақын тек болуы тиіс.

Ұғымдарды классификациялауды олардың  әр түрлі белгілері бойынша жасауға  болады. Мысалы, бір ғана үшбұрыш  ұғымын «бұрыштары бойынша» және «қабырғалары бойынша» жеке-жеке классификациялауды схема түрінде көрсетейік.

а) Бұрыштары бойынша:

ә) Қабырғалары бойынша:

 Әсіресе, қабырғалары бойынша классификациялау тең бүйірлі үшбұрыш ұғымын (а=b¹с), үшінші қабырғасына ешқандай сипат берілмесе де, олардық қателерін анықтауға мүмкіндік береді, яғни тең қабырғалы үшбұрыш әрдайым тең бүйірлі үшбұрыш болатынын анықтайды.

Классификациялау ұғымдардың мәнін  олардың қатынастарын айкындау, көлемін  шектеу арқылы дұрыс түсінуге көмектеседі. Егер классификациялауға дейін тең  кабырғалы және тең бүйірлі үшбұрыштарды оқушылар үйлесімсіз бағынынқы ұғымдар ретінде түсінетін болса, енді классификациялаудан кейін бұл ұғымдар үйлесімді, тең бүйірлі үшбұрыш — бағындырушы, ал тең қабырғалы үшбұрыш бағыныңқы ұғымдар екеніне көз жеткізеді.

Сондай-ақ функция ұғымын да әр қырынан классификация-лауға болады. Мәселен, алгебралық жағынан функцияларды алгебралық «және трансценденттік» деп, жұптық белгісі бойынша «тақ», «жұп», «тақ та емес, жұп та емес» функцияларға саралауға болады.

Ұғымдарды классификациялаумен  қатар, ұғымның тегін — ұғымнын, пайда болуының логикалық «діңгегін» құрудың маңызы зор. Мәселен, тең бүйірлі үшбұрыш ұғымының тегін схема түрінде қарастырайық.

Мұнда ескеретін мәселе — оқушылар ұғымның тегі мен классификациялауды ажырата білуі. Егер ұғымды классификациялағанда оның көлемін бағындырушы (тектік) ұғымнан бағыныңқы (түрлік) ұғымға қарай бөлетін болса, яғни ұғым көлемін шектей  отырып, неғұрлым тар ұғымдарға кешетін болса, онда ұғым тегін құру  қарама – қарсы бағытта, ұғымды кеңейту арқылы, басқаша айтқанда, ұғым қандай тетік және түрлік ұғымдар арқылы анықталатынын айқындау  жолымен жүргізілетінін түсіну қиын емес.