Математикалық ұғым

Тақырыбы: Математикалық ұғым.

Мазмұны:

1. Математикалық ұғым.

2. Ұғымның мазмұны мен көлемі.

3.Үйлесімді және үйлесімсіз  ұғымдар.

4. Ұғымдарды бөлу және классификациялау.

 

1. ¥ғым. Ұғымның мазмұны  мен көлемі. Математиканы оқыту мақсаттарының бірі — оқушыларға саналы, жүйелі және баянды білім беру. Ал білім нәрселер мен құбылыстардың елеулі белгілері мен олардың байланыстары туралы ғылым тағайындайтын ұғымдардан құралады. Ф. Энгельстің анықтауынша ұғым мен қимылдың өзі — ойлау. Ұғым арқылы адам ойлайды. Ой болмысты бейнелейді. Ойлау арқылы адам болмысты танып біледі.

Болмысты танып-білудің бастапқы кезеңі нәрселер мен құбылыстарды түйсіну. Түйсінуден нәрселерді тұтас бейнелейтін  қабылдау пайда болады. Қабылдаудың  негізінде адам есінде бейне түрінде  сақталатын елестер туады.

Мәселен, біз класта үстел үстінде  жатқан кубтың моделін көрсек, біздің санамыздағы бұл процесс қабылдау болады. Қластан шыққаннан кейін  біз кубты көрмейміз, бірақ біздің санамызда куб туралы елес пайда  болады.

Үстел үстінде елшемдері әр түрлі, алуан түсті, түрліше материалдардан жасалған кубтар да болуы мүмкін. Жеке кубтардың төл белгілеріне назар салмай, тек барлық кубтарға ортақ белгілеріне көңіл аударуымыз мүмкін. Мүнда ақ та, сары да емес, металл да, пластмасса да емес, жалпы куб туралы ұғым туады. Бұл ұғымда жеке кубтардың төл сапасы емес, барлық кубтарға ортақ, осы тектес барлық нәрселерге тән елеулілері ғана сұрыпталады.

Ұғым ақиқат нәрсенің жалпы және елеулі белгілерін ғана бейнелейді. Егер ол болмысты шын бейнелейтін болса, онда ол әрдайым дұрыс болады.

Ұғымның елеулі белгілері деп біртекті нәрселерді басқа нәрселерден айыруға  әрқайсысы қажетті және бәрін  бірге алғанда жеткілікті белгілердің  жиынын айтады. Елеулі белгілер нәрсені  сипаттайды және оны танып-білуге мүмкіндік  береді.

         Мәселен, Р ұғымының елеулі белгілері р_1, р₂,... , р_п болсын. Мүның мәні: 1)  егер бір жеке нәрседе көрсетілген белгілердің бірі болмаса, онда ол Р ұғымына енбейді;

2)  егер бір жеке нәрседе  осы белгілердің бәрі бірдей  бар болса, онда ол Р ұғымына енеді.

Мысалы, параллелограмның елеулі белгілері:

а) ол төртбұрыш; ә) қарама-қарсы қабырғалары  параллель; б) қарама-қарсы қабырғалары  тең; в) диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді; г) қарама-қарсы бұрыштары  тең.

Алайда, «Параллелограмм» ұғымын анықтау үшін көрсетілген белгілердің бәрін бірдей айту міндетті емес, «а» және «ә» пункттердегі немесе «а» және «в» пункттердегі белгілерді айту жеткілікті. Сөйтіп, «Параллелограмды» басқа фигуралардан айыру үшін жоғарыдағы елеулі белгілердің бәрін түгендемей-ақ олардың кез келген елеулілерін көрсетумен шектелуге болады екен. Бұдан шығатын қорытынды: ұғымды анықтауға арналған барлық ұғымдардың ішінен елеулі белгілері бірмәнді таңдалмайды.

Нәрсенің, елеусіз белгілері оны  басқа нәрселерден айыруға және танып білуге мүмкіндік бермейді.

        Ұғымның анықтамасына кіретін белгілері өзара тәуелсіз болуы тиіс.

Әрбір ұғымның мазмұны мен көлемі болады.

Ұғымнын, мазмұны деп нәрселердің  ұғым қамтитын елеулі белгілерінің жиынтығын  айтады.

Ұғымның көлемі деп нәрселердің  осы ұғым тарайтын жиынтығын айтады.

Мысалы, «Үшбұрыш» ұғымын алалық. Бұл  ұғымның, мазмұны — үш қабырға, үш төбе және үш бұрыш, ал көлемі «барлық  мүмкін болатын үшбұрыштардың» жиыны  болып табылады.

Екінші бір мысал, «Параллелограмм» ұғымының мазмұны: дөңес жазық төртбұрыш, қабырғалары қос-қостан параллель, қарама-қарсы қабырғалары тең, диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді, ал көлемі — осы белгілерге ие болатын барлық фигуралар.

Ұғымның мазмұны мен көлемі арасында белгілі бір тәуелділік бар, яғни ұғымнын, мазмұнындағы өзгеріс, оның көлемін де өзгеріске ұшыратады және керісінше.

Мысалы, «Жазық төртбұрыш» ұғымынын, мазмұнына «қарама-қарсы екі қабырғасы  параллель» деген қасиетті қосып, осы  ұғымның мазмұнын кеңейтеміз. Сонда  ұғымды барлық төртбұрыштардың емес, тек трапецияның елеулі белгілері ғана бейнеленеді. Ұғымның мазмұнын тағы бір белгіге — «басқа екі қабырғасы да параллель» белгісіне кеңейтейік, ұғымның көлемін одан сайын тарылтамыз. Бұл жағдайда параллелограмдардын, елеулі белгілері бейнеленеді.

Сөйтіп, ұғымның мазмұнын кеңейту оның көлемін азайтуға әкеледі, басқаша айтқанда, ұғымның мазмұны неғұрлым кең болса, оның көлемі соғұрлым тар болады.

Ұғымнын, мазмұнына жаңа белгілерді қоса отырып, ұғымның көлемін бірлік объектіге дейін жеткізуге болады.

Егер бір ұғымның көлемі басқа ұғым көлемінің бөлігі болса,

онда бірінші ұғым түрлік ұғым, ал екіншісі тектік ұғым деп аталады.

Әрине, «тек» және «түр» атаулары салыстырмалы сипатта ғана болады. Мәселен, «параллелограмм» ұғымы «ромб» ұғымына қарағанда тектік ұғым болады, ал «көпбұрыш» ұғымына қарағанда түрлік ұғым болып табылады.

Тектік және түрлік ұғымдардың ара  қатынасы 9-суретте көрсетілген.

Ұғымдардың анықтамасын құрғанда тектен түрге көшу амалы ұғымды шектеу, ал түрден текке кешу амалы ұғымды жалпылау деп аталады.

Мәселен, «бөлшек сан», «бүтін сан», «параллелограмм», «тік төртбұрыш», «көпжақ», «пирамида» ұғымдарды шектеудің; ал «рационал сан», «нақты сан», «куб», «тік бұрышты параллелепипед», «тендеу», «теңдік» ұғымды жалпылаудың мысалдары болып табылады.

Ұғымды шектегенде, оның мазмұны кеңейіп, көлемі тарылады. Ал ұғымды жалпылағанда оның мазмұны тарылып, көлемі ұлғаяды (10-сурет).

Мәселен, «нақты сан» ұғымын бірте-бірте  шектесек: «нақты сан» _:—«рационал сан» — «бүтін сан» — «натурал сан» — «жай сан» — «5 саны» тізбегін табамыз.

Ұғымдардың мазмұндарының әр алуандығына  қарамастан, олардың көлемдерінің арасындағы қатынастар көп емес. Егер ұғымдардың мазмұндарында ортақ белгілер бар болса, ондай ұғымдар салыстырмалы ұғымдар деп аталады. Салыстырмалы ұғымдар үйлесімді және үйлесімсіз болып екі салаға жіктеледі. Үйлесімді ұғымдар деп көлемдері толық немесе ішінара беттесетін ұғымдарды айтады. Үйлесімді ұғымдардың арасында мынадай қатыныстар болады: а) тепе-теңдік; ә) ішінара беттесу; б) бірін-бірі қамту.

 

Көлемдері толық беттесетін ұғымдар бір-бірімен тепе-тең қатынаста болады. Ал ұғымдардың өздері мәндес деп аталады. Мысалы, «тең қабырғалы үшбұрыш» және «тең бұрышты үшбұрыш» ұғымдары мәндес. Алайда ескеретін бір жай мәндес ұғымдардың көлемдері бірдей болғанымен, мазмұндары әр түрлі болады.

Қөлемдері ішінара беттесетін ұғымдар  ішінара беттесу қатынасындағы  ұғымдар деп аталады, оларды айқасатын  ұғымдар деп те атайды.

Мысалы, тік төртбұрыш, ромб (ортақ  бөлігі — квадрат), бүтін сандар, теріс сандар  (ортақ бөлігі —  бүтін теріс сандар).

Егер бір ұғымның көлемі екінші ұғымның көлеміне енсе, онда ол екі  ұғым қамту қатынасындағы ұғымдар  деп аталады. Мәселен, жай сан  — натурал сан, санның квадраты —  санның дәрежесі, рационал функция  — элементар функция қамту  қатынасындағы ұғымдар.

Егер ұғымдардың ортақ белгілері  болмаса, олар салыстырылмайтын ұғымдар  деп аталады. Мәселен, үшбұрыш пен  процент салыстырылмайтын ұғымдар.

Сонымен бірге, ұғымдардың көлемдері  мүлдем беттеспесе, олар үйлесімсіз ұғымдар деп аталады. Үйлесімсіз ұғымдар қарама-қарсы, қайшылықты және бағыныңы ұғымдарға жіктеледі.

Мысалы, тең қабырғалы үшбұрыш  пен тең бүйірлі емес үшбұрыш  ұғымдары — қарама-қарсы ұғымдар, тең бүйірлі үшбұрыш пен тең  бүйірлі емес үшбұрыш ұғымдары - қайшылықты ұғымдар, ал трансцендент теңдеу ұғымына қарағанда логарифмдік және тригонометриялық теңдеу ұғымдары бағыныңқы ұғымдар болып табылады. Ұғымдардың арасындағы қатынастар схема түрінде былай кескінделеді.

Ұғымның анықтамасы деп қарастырылатын ұғымның мазмұнын ашуға көмектесетін логикалық амалды айтады. Ұғымның анықтамасын беру деп сол ұғымда бейнеленетін нәрселердің елеулі белгілерін көрсетуді түсінеді. Алайда нәрсенің елеулі белгілерін көрсету оңай емес, дегенмен бұрынғы оқыған ұғымдарды пайдаланып бұл міндетті де шешуге болады.

Ұғымдардың анықтамасын берудің неғүрлым тиімді тәсілдерінің бірі — түрлік ерекшеліктері мен ең жақын тегі. Бұл тәсілде нәрсенің түрлік ерекшеліктерімен   анықталатын ұғым   түр есебінде енетін тегі көрсетіледі.

Бұл тәсілдің схемалық   түрі:    анықталатын   ұғым — түрлік ерекшелігі — тегі.

М ы с а л. Ромб (анықталатын  ұғым) дегеніміз барлық қабырғалары  тең   (түрлік ерекшеліктері)   параллелограмм   (тек).

Мектеп математикасында кездесетін кейбір ұғымдардың анықтамасын келтірелік.

Анықталатын ұғым	Анықтаушы ұғым
	түрлік ерекшелігі	тегі
Жай сан	Тек екі (бір және өзі) бөлгіші ғана бар	Бірден артық натурал сан
Бір мүше	Көбейтудің көмегімен сандар мен  әріп-аргументтерден құрылған	Бүтін рационал өрнек
Тік бұрышты параллелепипед	Табаны тік төртбұрыш	Тік параллелепипед

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         Егер анықталатын  ұғымның мазмұны белгілі болса,  онда оның анықтамасының дұрыстығы,  иә бұрыстығы жөнінде сөз қозғауға  болады. Себебі, оқушылар ұғымның  тегін дұрыс көрсете алмай,  қатеге ұрынады, тіпті кейде  бір-біріне тәуелді қасиеттерді де анықтамаға қосып жібереді. Мысалы, олар параллелограмды қарама-қарсы қабырғалары параллель және өзара тең төртбұрыш деп түсінеді.                                                                       

Кейбір жағдайларда анықталатын  ұғымның тектік ерекшелгі тектік ұғымға да, түрлік ұғымға да жатқызылмайды. Мәселен, хорда дегеніміз шеңбердің екі нүктесін қамтитын түзу.

Қейбір оқушылар берген анықтамаларда  тіпті тектік ұғымдар болмайды. Бүған  «Тік бұрыш деп қабырғалары перпендикуляр  бұрышты айтады» деген анықтама мысал болады.

Жоғарыдағы тәріздес қателерді  болдырмау үшін анықтама беру ережелерін қатаң сақтау керек.

1-ереже. Анықталатын ұғым мен анықтаушы ұғымның көлемдері тең, яғни олар өлшемдес болуы тиіс. Бүл ережеде өлшемдестік талабының сақталғанын тексеру үшін анықталатын ұғым анықтаушы ұғымның белгілерін қанағаттандыратынына, иә қанағаттандырмайтынына кез жеткізу қажет. Бүл үшін анықталатын ұғым мен анықталушы ұғымның орындарын ауыстырып, «кез келген» сөзін алдына жазу жеткілікті.

Мысалы, «Параллель түзулер деп қиылыспайтын түзулерді айтады» деген анықтаманы алалық.

Тексеру: «Қез келген қиылыспайтын түзулер  параллель түзулер деп аталады». Бұл дұрыс емес, себебі бүл анықтама айқасатын түзулерді де қамтиды. Сондықтан мысалға алынған анықтама да дұрыс емес.

2-ереже. Анықтама «Кесірлі дөңгелекті» қамтымауы тиіс. Бұл анықтамадағы анықтаушы ұғым анықталатын ұғымның көмегімен (тікелей нсмесе жанама түрде) анықталмауы тиіс деген сез.

Бұл ережені бұзу да елеулі қателіктерге ұрындырады. Мәселен мына анықтамалар  «кесірлі дөңгелекті» қамтып, қатеге жол береді: «Қосу деп қосындыны табу амалын айтады» немесе «Қосынды дегеніміз қосудын нәтижесі».

Бұл жағдайда анықтаушы ұғым —  қосынды ұғымын анықталатын ұғым — қосу ұғымына байланыссыз анықтауға  болмайды.

Кейбір анықтамаларды анықтаушы ұғым мен анықталатын ұғым мазмұны жағынан пара-пар болып қатеге ұшыратуы мүмкін. Мұндай анықтамалар тавтология деп аталады.

Мысалы, «Тік бұрыш дегеніміз 90°  болатын бұрыш» немесе «Тік бұрыш  дегеніміз қабырғалары перпендикуляр  бұрыш» анықтамаларында анықталатын ұғымдардың мәні ашылмайды және бұл ұғым жөніндегі белгілі жәйттер анықтаушы ұғымда да қайталанады.

3-ереже. Анықтама мүмкіндігінше теріс (солақай) болмауы тиіс. Бұл ереженің мәні — ұғымның түрлік ерекшеліктері теріс ұғым ретінде көрінетін анықтамалардан аулақ болған жөн де-ген сөз.

Мәселен, «ромб — үшбұрыш емес», «эллипс — шеңбер емес» деген  анықтамаларды алайық. Бұл анықталатын  ұғымдар жөнінде анық түсінік  бермейді жэне мүида берілген ұғымға тән белгілср керсетілмеген.

Дегенмен, ксйбір жекелеген ұғымдардың анықтамаларын тектік және түрлік ерекшеліктері бойынша беру онай емес. Бұл жағдайда генезистік деп аталатын анықтамалар пайдаланылады.

Анықталатын ұғымның пайда болу тегін керсететін анықта-малардын, түрі генезистік аиықтамалар деп  аталады. Анықталатын ұғымның тегін анықтау тәсілі тек сол ұғымға ғана тән және басқа ұғымдарға қатысы жоқ.

Геиезистік анықтамаларға мысалдар келтірейік.

а) «Шеңбер деп жазықтықтың берілген нүктесінен берілген қашықтықта жататын  сол жазықтық нүктелерініқ геометриялық орнын айтады».

Генезистік анықтамаларды дөңгелекке, сфераға, шарға, конусқа, қиық конусқа  және т. б. ұғымдарға да беруге болады.

Қейбір жағдайларда анықталатын  ұғымның мағынасын ашатын жаңа сөздер (терминдер) қолданылады. Мәселен, сандардың  натурал катары дегеніміз — 1, 2, 3 ...