Математическое моделирование при активном эксперименте

При первичной обработке результатов экспериментов пользуемся формулами (4) и (5), а затем проверяем воспроизводимость опытов по (7)

Таким образом, подтверждена воспроизводимость  опытов (отсутствие в данных грубых промахов), что позволяет, в свою очередь, найти среднюю дисперсию строчных выборок (дисперсию опытов) по (8)

Оценки  коэффициентов уравнения регрессии  ищутся по формуле (11)

и т.д. Аналогично находим b₃ = -0,55; b₁₂ = +0,61; b₁₃ = -2,30; b₂₃ = +0,26; b₁₂₃ = -0,81

Проверяем значимость оценок коэффициентов по критерию Стьюдента по формуле (12), предварительно найдя дисперсию оценок по формуле (13)

Табличное значение критерия t_i (табл.П.2) t_кр(5%;v₃=32) = 2,046, поэтому все найденные оценки коэффициентов, кроме b23, признаются значимыми и должны войти в модель

Для определения дисперсии адекватности по формуле (14) необходимо сначала найти числовые значения модели _g для каждой g-ой строки матрицы планирования, а затем подсчитать сумму квадратов разностей между модельным значением и средним арифметическим _g той же строки

Тогда критерий Фишера (15) дает

что доказывает адекватность найденной модели. Ее можно использовать для управления технологическим процессом испытания резисторов 

2. Дробный  факторный эксперимент

           Полный факторный эксперимент  целесообразно использовать при сравнительно небольшом числе независимых факторов (обычно не больше 5), в противном случае число вариантов варьирования N = 2ⁿ становится непомерно большим и реализация эксперимента затрудняется. В то же время в большинстве практических задач взаимодействия внешних порядков, начиная с третьего (а то и второго), отсутствуют или пренебрежимо малы, вследствие чего излишне много степеней свободы остается на проверку гипотезы адекватности. Если заранее пренебречь взаимодействиями высших порядков, то имеется возможность получить математическую модель при меньшем числу опытов, реализовав не весь план ДФЭ, а только его часть (дробную реплику).

          Эксперимент, реализующий часть  (дробную реплику) полного факторного  эксперимента, называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ). ДФЭ позволяет получить приближение искомой функциональной зависимости Y = f(X₁,...,X_n) в некоторой небольшой окрестности точки базового режима при минимуме опытов.

Так, для  решения трехфакторной задачи можно  ограничиться четырьмя вариантами (N = 4), если в планировании ПФЭ типа 2² произведение x₁x₂ приравнять к третьей независимой переменной x₃. Такое планирование, представленное матрицей табл 3, позволяет оценить свободный член b₀ и три коэффициента регрессии при линейных членах b₁,b₂,b₃ (из четырех опытов нельзя получить более четырех коэффициентов).

       Применение ДФЭ всегда связано  со смешиванием, т.е. совместной  оценкой нескольких коэффициентов  уравнения связи. В нашем примере,  если коэффициенты регрессии  b_ij при парных произведениях отличны от нуля, то каждый из найденных коэффициентов будет оценкой двух теоретических коэффициентов:

b₀ ® b₀ + b₁₂₃ ; b₂ ® b₂ + b₁₃ ;

b₁ ® b₁ + b₂₃ ; b₃ ® b₃ + b₁₂ .

Действительно, указанные коэффициенты в таком  планировании не могут быть найдены  раздельно, поскольку столбцы матрицы для линейных членов и парных произведений совпадают (полностью скоррелированы). Рассмотренный план ДФЭ представляет половину плана ДФЭ типа 2³ и называется "полурепликой" от ПФЭ типа 2³ или планированием типа N = 2^3-1.

При большом  числе переменных можно построить дробные реплики высокой степени дробности (1/4, 1/8, 1/16 и т.д.). Дробная реплика обозначается через 2^n-p, если p переменных приравнены к соответствующим произведениям переменных.

Для правильного  планирования ДФЭ необходимо использовать все полученные ранее сведения об объекте теоретического и интуитивного характера и выделить из них те переменные и произведения переменных, влияние которых на процесс минимально. При этом смешивание нужно производить так, чтобы основные оценки b₀,b₁,...,b_n были смешаны с взаимодействиями, о которых заранее известно, что они не оказывают влияния на объект. Следовательно, произвольное разбиение матрицы планирования 2³ на две части выделения полуреплики типа 2^3-1 недопустимо.

        Генерирующее соотношение служит для построения дробной реплики. Так, в рассмотренном планировании 2^3-1 мы задавали полуреплику типа 2³ с помощью генерирующего соотношения x₃ = x₁x₂.

        Определяющим контрастом (ОК) называется соотношение, задающее элемент первого столбца матрицы планирования для фиктивной переменной (все они равны 1). Выражение ОК в нашем примере получается умножением левой и правой частей приведенного генерирующего соотношения на его левую часть x₃

1 = x₁x₂x₃,

так как всегда x²_ig = 1.

        Знание ОК позволяет определить всю систему совместных оценок не изучая матрицу планирования ДФЭ. Соотношения, задающие эти оценки, можно найти, последовательно перемножив независимые переменные на ОК

x₁ = x₂x₃ ; x₂ = x₁x₃ ; x₃ = x₁x₂.

Отсюда легко  находим смешиваемые теоретические коэффициенты регрессии и их оценки

b₁ ® b₁ + b₂₃ ; b₂ ® b₂ + b₁₃ ; b₃ ® b₃ + b₁₂ .