Математические задачи

, где  - число независимых контуров, - число ветвей, число узлов.

Строки матрицы соответствуют независимым контурам схемы, столбцы ветвям. Элементы матрицы определяются по следующим правилам

 Обобщенное уравнение состояния .

Обобщенное уравнение состояния для схемы произвольной конфигурации имеет вид

Уравнение по второму закону Кирхгофа

,

где - матрица размерностью , матрица соединений ветвей в независимые контуры, - число независимых контуров.

 диагональная  матрица сопротивлений ветвей. - вектор-столбец контурных ЭДС ветвей, входящих в каждый независимый контур. Матрицы и можно рассматривать как блоки одной объединенной матрицы параметров схемы замещения

,

а вектор–столбцы и как блоки одной объединенной матрицы исходных параметров режима

.

Для формирования обобщенного уравнения состояния (1) необходимо предварительно определить матрицы инциденций и , которые в аналитическом виде отображают конфигурацию схемы замещения электрической сети. Матрица обобщенного уравнения состояния является квадратной матрицей порядка . Тогда из уравнения (1) используя метод обратной матрицы можно сразу определить токи в ветвях.

При известных токах в ветвях можно определить напряжения в узлах. Для этого сначала по закону Ома определяем падение напряжения в ветвях схемы

.

Если ЭДС в ветвях отсутствует , то закон Ома принимает вид

Затем из уравнения определяем напряжения в узлах схемы замещения. Здесь матрица представляет собой напряжения узлов относительно базисного .

 

2.10. Решение матричного уравнения состояния двумя способами (методом обратной матрицы и методом Гаусса).

 

Для схемы представленной на рисунке 2.2 определить токи в ветвях схемы, напряжение в узлах. Сеть трехфазная. Токи нагрузки равны =100 А;                   =115 А ;   =60 А. =2 Ом ; Ом ; = 3 Ом ; =1 Ом.

Узел 4-источнок питания ,выбираем его в качестве балансирующего узла (базисного). = 6кВ.

                  Рис 2.2

 

Для данной схемы отметим участки участок 1-2 обозначим ,участок 1-4 обозначим , участок 3-4 обозначим , участок 2-3 обозначим .

1. Составляем первую и вторую матрицы инциденций (, N)для нашего графа.

 

=

 

Первая матрица инциденций без балансирующего узла будет иметь вид: 

 

М=

 

 В нашей  схеме замещения всего один  независимый контур, в соответствии  с этим вторая матрица будет  иметь вид:

 

 N=

 

Запишем сопротивление ветвей в виде матрицы:

 

=

 

Матрица задающих токов примет вид:

 

F=

 

2. Запишем для нашей схемы обобщенное уравнение состояния:

                             * I = F

 

                                           I=* F

 

3. Запишем произведение второй матрицы инциденции на сопротивление ветвей:

 

 

                  N=* =

 

                                   1 х  4                                4 х 4                   1  х 4

 

 

4. Найдем обратную матрицу

                                              =

 

 

 

Обратная матрица равна:

 

==

 

 

5. Подставим получившиеся значения в обобщенное уравнение состояния :                                  

 

                                I=* F

 

 

I= * =

 

 

= (-0.4) * (-100) + (-0.4) * (-115) + (-0.3) * (-60) + (-0.1)*0= 104 А

= (-0.6) * (-100) + (-0.4) * (- 115) + (-0.3 ) * (-60) + (-0.1)*0=124 А

= (-0.4) * (-100) + (-0.6) * (-115) + (-0.7) * (-60) + 0.1* 0= 151 А

= (-0.4) * (-100) + (-0.6) * (-115) + 0.3 * (-60) +  0.1 * 0 = 91 А

 

Найденные токи принимают значения =104 А; = 124А; = 151 А ;       = 91 А.

 

Решение матричного уравнения методом Крамера в системе MATLAB.

 

>> MNZ=[1 -1 0 0;-1 0 0 -1;0 0 -1 1;-2 -4 3 1]

 

MNZ =

 

     1    -1     0     0

    -1     0     0    -1

     0     0    -1     1

    -2    -4     3     1

 

>> inv(MNZ)

 

ans =

 

    0.4000   -0.4000   -0.3000   -0.1000

   -0.6000   -0.4000   -0.3000   -0.1000

   -0.4000   -0.6000   -0.7000    0.1000

   -0.4000   -0.6000    0.3000    0.1000

 

>> F=[-100;-115;-60;0]

 

F =

 

  -100

  -115

   -60

     0

 

>> I=[inv(MNZ)* F]

 

I =

 

   24.0000

  124.0000

  151.0000

   91.0000

 

  Сравнение полученых результатов , найденых разными способами.

 

>> I=[inv(MNZ)* F]

 

I =

 

   24.0000

  124.0000

  151.0000

   91.0000

 

 

I= * =

 

 

= (-0.4) * (-100) + (-0.4) * (-115) + (-0.3) * (-60) + (-0.1)*0= 104 А

= (-0.6) * (-100) + (-0.4) * (- 115) + (-0.3 ) * (-60) + (-0.1)*0=124 А

= (-0.4) * (-100) + (-0.6) * (-115) + (-0.7) * (-60) + 0.1* 0= 151 А

= (-0.4) * (-100) + (-0.6) * (-115) + 0.3 * (-60) +  0.1 * 0 = 91 А

 

Вычисление узловых напряжений аналитически.

По закону Ома определяем падение напряжения на ветвях схемы.

 

==* ==

 

 

                  

 

 

2.Используя уравнение  * = получим:

                                        *=

 

 

 

 

 

 

Перемножая матрицы в матричном уравнении, получаем 4 уравнения с 3 неизвестными, т.е. данная система переопределена. В нашем случае можно выбросить любое уравнение переопределённой системы и решить её также каким-либо методом решения систем линейных алгебраических уравнений. В результате получаем:

 

Нахождение узловых напряжений с помощью MATLAB

 

>> Z=[2 0 0 0;0 4 0 0;0 0 3 0;0 0 0 1]

 

Z =

 

     2     0     0     0

     0     4     0     0

     0     0     3     0

     0     0     0     1

 

>> I=[104;124;151;91]

 

I =

 

   104

   124

   151

    91

 

>> U=[Z*I]

 

U =

 

   208

   496

   453

    91

 

 

 

Сравнение полученных результатов, найденных разными способами.

 

>> U=[Z*I]

 

U =

 

   208

   496

   453

    91

==* ==

 

 

                  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Методы  решения систем линейных алгебраических  уравнений.

 

  Краткие теоретические сведения.

 

Все методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разделить на две группы :

• точные методы;

методы последовательных приближений. Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Для определения совместности системы можно использовать теорему Кронекера - Капелли, смысл которой состоит в следующем: для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов системы был равен рангу ее расширенной матрицы коэффициентов.

 

  Иследование систем линейных алгебраических уравнений на совместимость.

 

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход метода  и обратный ход. На первом этапе (прямой ход) система приводится к треугольному виду, на втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой треугольной системы. Будем считать, что коэффициент , который называют ведущим элементом первого шага, отличен от нуля (в случае, если , нужно поменять местами первое уравнение с - тым уравнением, в котором ). Разделим теперь почленно первое уравнение системы на коэффициент . Введем множители

.

Прибавим теперь к каждому - тому уравнению системы первое уравнение, умноженное на . Проделав эту операцию, мы исключим неизвестное из всех уравнений, начиная со второго.

Здесь индекс означает новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после выполнения первого шага прямого хода метода Гаусса.

Переходя, к выполнению второго шага прямого хода метода Гаусса предположим, что элемент , который называют ведущим элементом второго шага, не равен нулю. Разделим второе уравнение на коэффициент . Введем множители

Прибавим к -тому уравнению системы (3), второе уравнение, умноженное на , в результате исключим неизвестное из всех уравнений , кроме первых двух.

 

 

  Аналитечкое решение  системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

 

 

 

 

В начале иследуем заданную систему на совместимость . Для этого вычислим ранг матрицы коэффициентов А и ранг расшириной матрициы коэффицентов. Для этого воспользуемся системой MATLAB.

A=[3 -7 7 2;1 -8 10 3;4 -7 14 5; 1 2 -3 -1]; rank(A)

 

ans =

 

     4

 

>> A1=[3 -7 7 2 -22;1 -8 10 3 -35;4 -7 14 5 -48; 1 2 -3 -1 12]; rank(A1)

 

ans =

 

     4

Получили, что ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы коэффициентов, отсюда следует, что система совместна и имеет единственное решение (ранги матриц равны порядку системы).

Проведем преобразования по прямому ходу метода Гаусса.

 

 

 

 

 

 

 

 

На главной диагонали, преобразованной матрицы коэффициентов, стоят 1. Теперь проведем преобразования в соответствии с обратным ходом метода Гаусса. В результате получаем вектор-столбец искомых неизвестных

 

 

Решение систем линейных алгебраических уравнений в системе MATLAB

 

>> A=[3 -7 7 2;1 -8 10 3;4 -7 14 5;1 2 -3 -1];B=[-22;-35;-48;12];

>> AB=[A B]

 

AB =

 

     3    -7     7     2   -22

     1    -8    10     3   -35

     4    -7    14     5   -48

     1     2    -3    -1    12

 

>> rref(AB)

 

ans =

 

     1     0     0     0     1

     0     1     0     0     0

     0     0     1     0    -3

     0     0     0     1    -2

 

Сравнение полученных результатов, найденных разными способами.

 

 

 

 

 

 

 

 

4.Применение вероятностно – статистических методов в задачах электроснабжения.

 

Краткое теоретическое сведение.

Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности случайных событий, случайных величин и случайных функций. В теории вероятностей рассматривается следующая модель изучаемых явлений реальной жизни: проводится опыт (испытание) в результате чего происходят случайные события (обозначения событий).

Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит в результате опыта (обозн. ).

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате рассматриваемого опыта (обозн. ).

Два и более событий называются невозможными, если они не могут произойти одновременно в рассматриваемом опыте.

Событие благоприятствует событию , если из того что произошло событие следует также, что произошло и событие . Записывается это так .

Множество событий рассматриваемого опыта, одно из которых в результате опыта обязательно происходит, а любые два из которых несовместны, называются множеством исходов опыта.

При этом говорят, что события образуют полную группу попарно несовместных событий.

 

Вычисление числовых характеристик случаных величин аналитически.

П	37	40	41	42	40	45	50	51	52	53
W	15	12	16	17	18	15	19	20	20	20