Математические задачи

Содержание

 

Введение

1. Математическое моделирование задач электроэнергетики с помощью аппарата линейной алгебры и теории графов.
2. Расчёт установившихся режимов электрических систем не содержащих контуров.

2.1. Расчёт установившихся режимов электрических систем, содержащих контур.

    3. Методы решения систем линейных  алгебраических уравнений.

   4. Применение вероятностно – статистических методов в задачах электроснабжения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Задачи дисциплины, ее содержание и связь со смежными и специальными дисциплинами. Общие сведения о системах электроснабжения. Режимы работы систем электроснабжения, основные показатели режимов работы. Задачи, возникающие при проектировании и эксплуатации систем электроснабжения. Система электроснабжения как объект математического исследования.

Еще одна из задач научить применять аппарат математических методов в специальных электроэнергетических задачах.

 В курсовом проекте  рассмотрены: применение алгебры матриц и теории графов к анализу сетей электрических систем, использование теории вероятностей н электроэнергетике, основные подходы к математическому исследованию переходных процессов в автоматически регулируемых энергосистемах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Математическое моделирование задач электроэнергетики с помощью аппарата линейной алгебры и теории графов.

 

Краткие теоретические сведения.

 

Любое комплексное число можно представить в одной из трех форм.

• Алгебраической
• Тригонометрической
• Показательной

Где - модуль комплексного числа

- аргумент  комплексного числа

Если аргумент является линейной функцией времени , т.е. , то

Закон Ома для участка цепи синусоидального тока без источника ЭДС можно сформулировать таким образом: комплексная амплитуда тока в цепи синусоидального тока равна отношению комплексной амплитуды напряжения к комплексному сопротивлению цепи.

Два комплексных числа и считаются равными, если совпадают изображающие их точки. Это означает, что равенство и имеет место в том, и только в том случае, когда

,  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Вычисление  определителя матрицы двумя аналитическими  способами.Исходная матрица имеет вид:

 

А=

 

 

1)вычислим определитель по правилу Саррюса «звездочки»

 

 

А= =(5*1*1)+(2*3*4)+(3*5*3)-(3*1*4)-(3*2*1)-(5*5*3)= -19

 

2) вычислим  определитель матрицы путем разложения  по элементам

 

 

А= = + +

 

+ = (-70) +39+12= -19

 

 Вычисление определителя в системе MATLAB

 

>> A=[5 2 3;3 1 3;4 5 1]

 

A =

 

5     2     3

3     1     3

4     5     1

 

>> det(A)

 

ans =

 

-19

 

 

 

Вычисляем обратную матрицу классическим способом.

 

А=

 

1. Записываю матрицу ,транспонированную к матрице А

Матрица будет иметь вид

 

=

 

2. Заменим каждый элемент определителем, полученным при вычеркивании соответствующей строки и столбца:

 

А1=

 

3. Поменяем  знаки у элементов с нечетной суммой индексов:

 

=                 

 

4.   Разделим все элементы матрицы на detА= -19. В результате получаем обратную матрицу:

 

        =

 

 

5. Проверка  *А= Е

 

 

   * =*5 +*3+ *4= + += 1

 

* =*2 +*1+ *5= + += 0

 

* =*3 +*3+ *1= + +=0

 

 

* =*5 +*3+ *4= + +=0

 

* =*2 +*1+ *5= + +=1

 

* =*3 +*3+ *1= + +=0

 

 

 

* =*5 +*3+ *4= + +=0

 

* =*2 +*1+ *5= + +=0

 

* =*3 +*3+ *1= + +=1

 

 

Е=* =

 

         3х3                      3х3                         3х3

 

Вычисление обратной матрицы в системе MATLAB.

 

A =

 

     5     2     3

     3     1     3

     4     5     1

 

>> inv(A)

 

ans =

 

    0.7368   -0.6842   -0.1579

   -0.4737    0.3684    0.3158

   -0.5789    0.8947    0.0526

>> A*inv(A)

 

ans =

 

    1.0000   -0.0000   -0.0000

         0    1.0000         0

    0.0000   -0.0000    1.0000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Расчет установившихся режимов электрических систем.

Краткое теоретическое сведение.

 

Схемой замещения электрической цепи называется графическое изображение электрической цепи, показывающее последовательность соединения ее участков и отображающее свойства рассматриваемой электрической цепи. Любая электрическая цепь и соответственно ее схема содержит ветви, узлы и в общем случае контуры.

    Ветвью называется участок электрической цепи, в которой в любой          момент времени ток имеет одно и то же значение.

   Узлом называется место соединения двух или большего числа ветвей. Одна из ветвей, соединяющихся в узле, может быть источником тока.

  Контуром называется любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. Если схема электрической цепи не содержит контуров, то она называется разомкнутой. Любая электрическая схема состоит из некоторого числа элементов: линий электропередач, трансформаторов, источников питания, потребителей электрической энергии  и т.д. Для проведения расчетов электрическую схему в начале представляют схемой замещения, а затем переходят к направленному графу электрической сети.

 

Обобщенное уравнение состояния .

 

Обобщенное уравнение состояния для схемы произвольной конфигурации имеет вид

                                    

 

Матричная форма записи уравнения, где матрица параметров схемы замещения,  где вектор- столбец токов в ветвях, - число ветвей в схеме замещения, - вектор- столбец исходных параметров режима.

Уравнение (1) объединяет два матричных уравнения.

Уравнение по первому закону Кирхгофа

.

где матрица размерностью матрица соединений ветвей в узлах ( без балансирующего узла), здесь - число узлов схемы замещения, - число ветвей, - матрица размерностью , матрица соединений ветвей в независимые контуры, - число независимых контуров.

- вектор-столбец  задающих токов в узлах.

 

 

Вычисление обратной матрицы для матрицы М классическим способом.

Для схемы, представленной на рис 2.1 найти токи в  ветвях разомкнутой электрической сети, используя матричную форму записи 1-го закона Кирхгофа.

= ;  = ;   =

\   

                    Рис 2.1

 

1. матрица задающих токов принимает вид:

 

J=

 

2. матрица задающих токов равна матрице токов нагрузок, взятой с противоположенным знаком. Выбираем в качестве балансирующего узла 4 узел. Обозначим через М первую матрицу инциденций без балансирующего узла.

 

= 

 

 

M=

 

 

3. вычислим определитель по правилу Саррюса «звездочки»

 

M==((-1)*(-1)*(-1))+(0*0*(-1))+((-1)*0*0)-((-1)*(-1)*0)-                   -(0*0*(-1))-(0*(-1)*(-1))= -1

 

4. Транспонируем матрицу М:

 

=

 

5. Заменим каждый элемент определителем, полученным при вычеркивании соответствующей строки и столбца:

 

                М1=

 

6. Поменяем  знаки у элементов с нечетной суммой индексов:

                                                                                                                                                                                      

=

 

7. Обратная матрица М имеет вид: 

 

 

=

 

 

8. Из обобщенного уравнения состояния I= * J

 

I= *=

=

 

=

 

Ответ:

=

 =

 =

 

 

Вычисление обратной матрицы для матрицы в системе MATLAB,

 

          M=[-1 1 1;0 -1 0;0 0 -1]

 

M =

 

    -1     1     1

     0    -1     0

     0     0    -1

 

>> inv(M)

 

ans =

 

    -1    -1    -1

     0    -1     0

     0     0    -1

 

 Вычисление токов в ветвях аналитическим методом и с помощью MATLAB- программы.

 

>>  M=-[-1 -1 -1;0 -1 0; 0 0 -1]

 

M =

 

     1     1     1

     0     1     0

     0     0     1

 

>> J=[17 4;32 8;2 23]

 

J =

 

    17     4

    32     8

     2    23

 

 

>> M*J

 

ans =

 

    51    35

    32     8

     2    23

 

2.1. Расчёт установившихся режимов электрических систем, содержащих контур.

Граф можно представить, если представить множество точек на плоскости , называемых вершинами графа и множества направленных отрезков , соединяющих все или несколько вершин и называемых дугами. Таким образом любой граф можно определить как пару множеств .

Путем в графе называется такая последовательность дуг , в которой конец каждой предыдущей дуги совпадает с началом следующей. Длиной пути называется число равное числу дуг на этом пути. Все элементы схем замещения делятся на активные и пассивные. К активным элементам схем замещения относятся источники ЭДС и тока. Для них характерно то, что они задают напряжения и токи в точках присоединения этих элементов в соответствующей цепи независимо от ее остальных параметров. Пассивные элементы схем замещения: сопротивления и проводимости создают пути для протекания электрического тока.  Пассивные элементы обычно разделяются на поперечные и продольные.

Поперечные пассивные элементы – это ветви, включенные между узлами схемы и нейтралью. К продольным пассивным элементам относятся ветви, соединяющие все узлы , кроме узла с напряжением равным нулю.

Поперечные пассивные элементы соответствуют проводимостям на землю линий электропередач, заземленным реакторам и конденсаторам, а также поперечным проводимостям учитывающим потери в стали трансформаторов. В свою очередь продольные пассивные элементы соответствуют активным и индуктивным сопротивлениям ЛЭП, обмоток трансформаторов, емкостям устройств продольной компенсации.

 

 Первая и вторая матрицы инциденций .

 

Первая матрица инциденций , называется также матрицей соединений, обозначается . Показывает взаимосвязь между узлами и ветвями исходного графа. Матрица прямоугольная матрица число строк которой определяется числом узлов сети, а число столбцов числом ветвей. Элементы матрицы могут принимать одно из трех значений

Вторая матрица инциденций называется также матрицей контуров и обозначается . Она связывает ветви и независимые контуры соответствующего графа схемы замещения. Для составления матрицы нужно определить число независимых контуров схемы. Это число определяется по формуле