Математические модели

По виду целевой функции  и ограничений детерминированные модели делятся на линейные, нелинейные, динамические и графические.

В линейных моделях целевая  функция и ограничения линейны  по управляющим переменным. Построение и расчет линейных моделей являются наиболее развитым разделом математического моделирования, поэтому часто к ним стараются свести и другие задачи либо на этапе постановки, либо в процессе решения. Для линейных моделей любого вида и достаточно большой размерности известны стандартные методы решения.

Hелинейные модели – это модели, в которых либо целевая функция, либо какое-нибудь из ограничений (либо все ограничения) нелинейны по управляющим переменным. Для нелинейных моделей нет единого метода расчета. В зависимости от вида нелинейности, свойств функции и ограничений можно предложить различные способы решения. Однако может случиться и так, что для поставленной нелинейной задачи вообще не существует метода расчета. В этом случае задачу следует упростить, либо сведя ее к известным линейным моделям, либо просто линеаризовав модель.

В динамических моделях, в отличие от статических линейных и нелинейных моделей, учитывается фактор времени. Критерий оптимальности в дина-

 

мических моделях может быть самого общего вида (и даже вообще не быть функцией), однако для него должны выполняться определенные свойства. Расчет динамических моделей сложен, и для каждой конкретной задачи необходимо разрабатывать специальный алгоритм решения.

Графические модели используются тогда, когда задачу удобно представить в виде графической структуры.

В общем, классификацию  математических моделей удобно представить в виде схемы (рисунок 1.4).

1.3 Принципы построения математических моделей

При изучении любого физического  или другого какого-либо явления  сначала получают качественное описание проблемы. На этапе моделирования  качественное представление переходит в количественное.

 

Одновременно определяют функциональные зависимости между переменными, и для каждого варианта входных данных находят выходные данные системы. Построение моделей – процедура неформальная. Она в значительной мере зависит от опыта исследователя и всегда опирается на экспериментальный материал. Модель должна правильно отражать явления, но этого мало. Она должна быть удобной для пользования. Поэтому форма представления модели и степень детализации описания процесса или явления с ее помощью зависят от целей исследования и непосредственно от исследователя.

Сегодня построение математических моделей охватывает чрезвычайно  обширные области знаний. Выработано немало принципов и подходов, носящих  достаточно общий характер.

Основная задача научного анализа – выделить реальные движения из множества мысленно допустимых, сформулировать принципы отбора. Здесь термин движение употребляется в широком смысле: изменение вообще, всякое взаимодействие материальных объектов. Принято различать три уровня организации материи: неживая, живая и мыслящая (самая высокая организация материи).

На уровне неживой  материи основными принципами отбора являются законы сохранения вещества, импульса, энергии и момента количества движения.

Любое моделирование начинается с выбора основных (фазовых) переменных, с помощью которых записываются законы сохранения. Но законы сохранения не выделяют единственного движения и не исчерпывают всех принципов отбора. Очень важны различные дополнительные ограничивающие условия: граничные, начальные и так далее. Другие принципы отбора (например, принцип минимума диссипации энергии или условия устойчивости) производят дальнейшее сужение множества возможных движений.

На уровне живой материи  все принципы отбора движений, которые справедливы для неживой материи, сохраняют свою силу. Поэтому и здесь процесс моделирования начинается с записи законов сохранения. Однако основные переменные оказываются уже иными.

Почти все взаимодействия живой материи динамические, то есть зависят

 

от времени, постоянно изменяются. Более того, взаимодействия часто  имеют особенность, которую в технике называют обратной связью. Взаимодействия характеризуются тем, что некоторые эффекты процесса возвращаются к своему источнику или к предыдущей стадии. В результате эти эффекты усиливаются или видоизменяются. Обратные связи бывают положительными (усиление эффекта) и отрицательными (ослабление эффекта). Итак, при описании биологических систем следует основываться на законах сохранения и системе обратных связей.

На общественном уровне организации материи возникает  совершенно новое явление – трудовая деятельность. Поэтому для построения таких моделей следует пользоваться терминами трудовой деятельности человека (экономическими терминами).

В некоторых случаях при изучении процесса может оказаться, что получить функциональные зависимости между выходными и входными переменными невозможно из-за недостатка данных. Тогда приходится использовать мнение экспертов (специалистов).

Процесс построения модели можно представить в виде схемы (рисунок 1.5).

Нисходящее моделирование  предполагает, что процесс может  происходить следующим образом: сначала, исходя из общих соображений, определяются переменные, затем они связываются в модели на основании гипотез об алгебраических видах их связей и предполагаемых значениях всех параметров. В результате используется нисходящий способ моделирования, в котором основными являются общие знания и суждения разработчика модели о значениях данных и математических связях между ними, а также о будущем применении этих общих знаний. Полученные таким образом модели изначально являются недостаточно обеспеченными данными.

При восходящем моделировании  исходят из того, что модель можно  разработать, сфокусировав внимание на переменных, отражающих собранные данные затем объединить их в модель, определив путем анализа данных связи между ними и оценив значения всех параметров. В результате модели строятся восходящим способом, а главным являются точные, легко доступные данные и суждения

об их будущем применении. Полученные модели с самого начала хорошо обеспечены данными и содержат сотни или тысячи элементов данных, которые впоследствии уточняются, чтобы оценить параметры модели в процессе так называемого извлечения информации из данных.

Можно выделить следующие основные этапы построения математической модели.

1. Определение цели, то есть, определение, чего хотят добиться, решая поставленную задачу.
2. Определение параметров модели, то есть заранее известных фиксированных факторов, на значения которых исследователь не влияет.
3. Формирование управляющих переменных, изменяя значения которых можно приближаться к поставленной цели. Значения управляющих переменных являются решениями задачи.
4. Определение области допустимых решений, то есть тех ограничений, которым должны удовлетворять управляющие переменные.
5. Выявление неизвестных факторов, то есть величин, которые могут изменяться

 

случайным или неопределенным образом.

6. Выражение цели через управляющие переменные, параметры и неизвестные факторы, то есть формирование целевой функции, называемой также критерием эффективности или критерием оптимальности задачи.

Введем следующие условные обозначения:

 – параметры модели;

x - управляющие переменные  или решения;

X - область допустимых  решений;

x- случайные или неопределенные факторы;

W - целевая функция  или критерий эффективности (критерий  оптимальности).

W=W (x, , x).

В соответствии с введенными терминами, математическая модель задачи имеет следующий вид:

W=W (x, a, x) ® max (min)	(1.1)
x Î X	(1.2)

Решить задачу – это значит найти такое оптимальное решение х^* Î X, чтобы при данных фиксированных параметрах a и с учетом неизвестных факторов x значения критерия эффективности W было по возможности максимальным (минимальным).

W^*₌W (x^*, a, x) = max (min)W (x^*, a, x). xÎX

Таким образом, оптимальное  решение – это решение, предпочтительное перед другими по определенному критерию эффективности.

Перечислим некоторые  основные принципы построения математической модели.

1. Необходимо соизмерять точность и подробность модели, во-первых, с точностью тex исходных данных, которыми располагает исследователь, и во-вторых, с теми результатами, которые требуется получить.
2. Математическая модель должна отражать существенные черты исследуемого явления и при этом не должна его сильно упрощать.
3. Математическая модель не может быть полностью адекватна реальному явлению, поэтому для его исследования лучше использовать несколько моделей, для построения которых применены разные математические методы. Если при этом получаются сходные результаты, то исследование заканчивается. Если результаты сильно различаются, то следует пересмотреть постановку задачи.
4. Любая сложная система всегда подвергается малым внешним и внутренним воздействиям, следовательно, математическая модель должна быть устойчивой (сохранять свойства и структуру при этих воздействиях).

Соответственно  говоря, все естественные науки, использующие математику, можно считать математическими моделями явлений. Например, гидродинамика является моделью движения жидкости, математическая экономика – моделью процессов экономики и так далее. До появления ЭВМ математическое моделирование сводилось к построению аналитической теории явления. Не всегда математическую теорию явления удавалось доводить до возможности вывода формул. Природа оказывалась сложнее возможностей аналитических методов математики. Приходилось вносить значительные упрощения в модель явления, а тем самым обеднять выводы. В этом веке математика пополнилась мощным математическим методом исследования: моделированием сложных систем на ЭВМ. Теперь исследователь ставит перед собой не ту цель, что раньше – вывод расчетной формулы. Теперь он стремится вычислять те или иные параметры, характеризующие явление. Таким путем были исследованы сложные вопросы, связанные с термоядерными реакциями, поведением самолетов в критических ситуациях, влиянием различных факторов на экологические системы, распространением эпидемий и прочее.

В настоящее  время широко используется математическое моделирование и тогда, когда  о физической структуре процесса известно крайне мало. В этом случае строится гипотетическая модель и на ее основе выводятся следствия, доступные наблюдению. Если такие модели не оправдываются опытом, то они живут недолго и отмирают, уступив место другим моделям, позволяющим познать природу вещей точнее.

 

История науки показывает, сколь большую роль сыграли научные  гипотезы и построенные на их основе математические модели явлений.

Математический  аппарат, применяемый при построении моделей, весьма разнообразен. Кроме  классических разделов математического  анализа (дифференциальное и интегральное исчисление) широко используются современные разделы математики, в которых изучаются методы, позволяющие находить оптимальные решения: линейное, нелинейное и динамическое программирование. Для анализа многих операций применяют аппарат теории вероятностей. Это вызвано тем, что исследования проводятся в условиях, определенных не полностью, зависящих от случайных причин. В тех случаях, когда в центре внимания находятся вопросы динамики явлений, широко применяют аппарат дифференциальных уравнений, а в более сложных случаях используется метод статистического моделирования.

1.4 Примеры построения математических моделей

Рассмотрим примеры построения математических моделей при решении различных задач.

Задача 1.

Предприятие располагает определенными производственными мощностями для изготовления изделий и может выпускать изделия фиксированных наименований для их последующей реализации. Требуется определить оптимальный состав производственного заказа и способы его изготовления.

Построим математическую модель для этой задачи.

1. Цель:
• максимизация прибыли от реализации;
• минимизация себестоимости изготовления;
• минимизация времени обработки.
2. Параметры модели:

m – число единиц оборудования;

 

n – число наименований изделий, которое может выпускать предприятие;

Ti – фонд времени работы i-й единицы оборудования (i= );

l_k – число различных способов изготовления изделия k-го наименования, характеризующихся различным временем обработки на единице оборудования i-го типа;

 – время обработки изделия  k-го наименования, изготавливаемого l-м способом на оборудовании i-го типа (i= , l= , k= );

_k – спрос на изделие k-го наименования (k= );