Математические модели

ВВЕДЕНИЕ

Мир, окружающий нас, огромен. Его разнообразие поражает человека уже много веков. Гармонию мира стараются передать в своих произведениях художники, поэты, писатели. Языком науки пытаются описать гармонию мира ученые. И если им удается уловить самое существенное в том маленьком фрагменте мировой картины, который стал объектом их внимания, получается шедевр, происходит открытие.

Впрочем, умение выделять существенное небесполезно для каждого  из нас. Ведь тогда не будут растрачены по пустякам силы и средства, отчетливо будет обозначена цель и намечены пути к ее достижению, появится возможность оценить перспективы и последствия. Уловив самое важное, мы превращаем информационный хаос в стройную модель стоящей перед нами задачи. Вообще, какую бы задачу ни взялся решать человек, первым делом он строит модель – иногда осознанно, а иногда и нет. С моделями мы имеем дело ежедневно, ежечасно и, может быть, даже ежеминутно.

Проведение операционного  исследования, построение и расчет математической модели позволяют проанализировать ситуацию и выбрать оптимальные решения по управлению ею или обосновать предложенные решения.

Применение математических моделей необходимо в тех случаях, когда проблема сложна, зависит от большого числа факторов, по-разному влияющих на ее решение.

Использование математических моделей позволяет осуществить  предварительный выбор оптимальных или близких к ним вариантов решений по определенным критериям.

Они научно обоснованы, и  лицо, принимающее решение, может  руководствоваться ими при выборе окончательного решения.

В настоящее время  математические модели применяются  для анализа, прогнозирования и  выбора оптимальных решений в  различных областях экономики. Это планирование и оперативное управление производством, управление трудовыми ресурсами, управление запасами, распределение ресурсов, планировка и размещение объектов, руководство проектом, распределение инвестиций и так далее.

Поэтому умение строить  оптимальные модели для решения  жизненных задач является важным как для отдельной личности, так и для сообщества людей в целом, а, следовательно, актуальной является задача изучения моделей, общих принципов их построения и реализация моделирования и формализации с помощью программирования.

Данная курсовая работа состоит из двух основных частей: теоретической и практической.

В теоретической части  курсовой работы рассматриваются классификации математических моделей, общие принципы их построения и практическое применение математических моделей.

В практической части  курсовой работы ведется разработка программы на языке программирования Turbo Pascal 7.0, которая находит решение транспортной задачи.

 

1 ОБЗОР МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 
И МЕТОДОВ ИХ РАСЧЕТА

1.1 Сущность моделирования и общая классификация моделей

Первым этапом любого исследования является постановка задачи, которая определяется заданной целью. От того, как понята цель моделирования, зависит и вид модели, и выбор программной среды и получаемые результаты.

На начальном этапе  моделирования выделяются существенные признаки изучаемого объекта и дается развернутое содержательное описание связи между ними (системный анализ), то есть осуществляется неформальная постановка задачи. Следующим важным этапом моделирования является формализация содержательного описания связей между выделенными признаками с помощью некоторого языка кодирования: языка схем, языка математики (“перевод“ полученной структуры в какую-либо заранее определенную форму).

Естественные языки  используются для создания текстовых  описательных информационных моделей. Например, такой литературный жанр, как басня или притча, имеет непосредственное отношение к понятию модели, поскольку смысл этого жанра состоит в переносе отношений между людьми на отношения между животными, между вымышленными людьми. Более того, всякое литературное произведение может рассматриваться как модель (информационная), ибо фокусирует внимание читателя на определенных сторонах человеческой жизни.

В истории науки также  известны многочисленные текстовые  информационные модели, например, гелиоцентрическая модель мира, которую предложил Коперник, формулировалась следующим образом: не Солнце движется вокруг Земли, а, наоборот, Земля вращается вокруг своей оси и вокруг Солнца; орбиты всех небесных тел проходят вокруг Солнца.

С помощью формальных языков строятся информационные модели определенного типа – формально-логические модели.

Например, с помощью  алгебры логики можно построить  логические модели сумматора и триггера.

Формализация – этап перехода от содержательного описания связей между выделенными признаками объекта (словесного или в виде текста) к описанию, использующему некоторый язык кодирования (языка схем, языка математики и так далее).

Формализация – процесс построения информационных моделей с помощью формальных языков.

Моделирование любой  системы невозможно без предварительной формализации. По сути, формализация – это первый и очень важный этап процесса моделирования.

Первый (зачастую наиболее важный) этап формализации – выявление  основных концептуальных составляющих модели. На этом этапе детали работы модели не рассматриваются. Основное внимание уделяется определению входов, то есть того, что модель должна обрабатывать, и выходов – того, что модель производит. Модель на данном этапе называется «черным ящиком», поскольку еще не известно, какая логика будет реализована в модели (рисунок 1.1).

 

После определения входов и выходов модели необходимо разбить  их на две категории. Входы, именуемые  внешними переменными, делятся на решения  – переменные, контролируемые человеком, и параметры – переменные, которыми человек управлять не может. Многие неконтролируемые входные величины могут быть неизвестны заранее. Трактуя их как параметры, можно строить модель так, как если бы они были известны. Позднее можно конкретизировать численные значения данных величин, проанализировав данные и оценив эти значения, или

 

просто задать предполагаемые значения величин при анализе модели.

Выходы, называемые внутренними  переменными, делятся на показатели эффективности (или критерии) – переменные, которые определяют степень приближения к цели, и результирующие переменные, которые отражают другие следствия моделирования и помогают понимать и интерпретировать результаты работы модели. Критерии особенно важны, так как именно они используются, чтобы определить, насколько удалось приблизиться к цели. Поэтому критерии часто называют целевыми функциями.

Несмотря на простоту концептуальной схемы «черного ящика», она заставляет в самом начале процесса моделирования определить, что следует включать в модель, а что исключить из нее, а также разобраться с классификацией соответствующих факторов.

Примером неформального  описания модели является кулинарный рецепт или словесное описание модели парусника, или словесная формулировка второго закона Ньютона.

Под моделью  понимается некий объект-заместитель, который в определенных условиях заменяет изучаемый объект-оригинал, воспроизводя наиболее существенные его свойства и обеспечивая большее удобство оперирования.

Первоначально в качестве моделей одних объектов применялись  другие объекты. Затем были осознаны модельные свойства чертежей, рисунков и карт. Отдельный класс составляют физические аналоговые модели: электрические, пневматические и так далее. Следующий шаг заключался в признании того, что моделями одних реальных объектов могут служить не только другие реальные объекты, но и абстрактные идеальные построения, типичным примером которых служат математические и другие символические модели, в частности сам язык.

Отображая физическую систему (объект) на математическую систему (например, математический аппарат уравнений) получаем физико-математиче-скую модель системы или математическую модель физической системы.

В частности, физиологическая  система – система кровообращения человека, подчиняется некоторым законам термодинамики и, описав эту систему на

 

физическом (термодинамическом) языке получим физическую, термодинамическую модель физиологической системы. Если записать эти законы на математическом языке, например, выписать соответствующие термодинамические уравнения, то получим математическую модель системы кровообращения. Эту модель можно назвать физиолого-физико-математической моделью или физико-математической моделью.

Модели, если отвлечься  от областей, сфер их применения, бывают трех типов:

• познавательные,
• прагматические,
• инструментальные.

Познавательная модель – форма организации и представления знаний, средство соединения новых и старых знаний. Познавательная модель, как правило, подгоняется под реальность и является теоретической моделью.

Прагматическая модель – средство организации практических действий, рабочего представления целей системы для ее управления. Реальность в них подгоняется под некоторую прагматическую модель. Это, как правило, прикладные модели.

Инструментальная модель – является средством построения, исследования и (или) использования прагматических и (или) познавательных моделей.

Познавательные отражают существующие, а прагматические – хоть и не существующие, но желаемые и, возможно, исполнимые отношения и связи.

По уровню, "глубине" моделирования модели бывают эмпирические – на основе эмпирических фактов, зависимостей, теоретические – на основе математических описаний и смешанные, полуэмпирические – использующие эмпирические зависимости и математические описания.

Можно также  рассмотреть другую классификацию  моделей, представленную на рисунке 1.2.

 

Примером описательной (вербальной) модели является гелиоцентрическая модель мира (Коперника):

• Земля вращается вокруг своей оси и вокруг Солнца;
• орбиты всех планет проходят вокруг Солнца.

В качестве примера математической модели можно рассмотреть математическую модель равномерного равноускоренного движения:

x =v₀*cosa*t;

y=v₀ *sina*tga*t²/2

В некоторых источниках можно встретить классификацию  моделей, представленную на рисунке 1.3.

1.2 Классификация математических моделей

Математическая модель – это система математических соотношений, приближенно, в абстрактной форме описывающих изучаемый процесс или систему.

Классификацию математических моделей можно проводить, используя  различные критерии. Рассмотрим виды классификаций математических моделей.

1. Классификация по числу критериев эффективности.

По числу критериев эффективности математические модели делятся на однокритериальные и многокритериальные. Однокритериальные математические модели содержат только один критерий. Многокритериальные математические модели содержат два и более критерия.

2. Классификация по учету неизвестных факторов.

По учету неизвестных факторов математические модели делятся на детерминированные, стохастические и модели с элементами неопределенности.

В стохастических моделях  неизвестные факторы – это случайные величины, для которых известны функции распределения и различные статистические характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение и так далее).

Среди стохастических характеристик можно выделить:

- модели стохастического программирования, в которых либо в целевую функцию, либо в ограничения входят случайные величины;

- модели теории случайных  процессов, предназначенные для  изучения процессов, состояние  которых в каждый момент времени  является случайной величиной;

- модели теории массового  обслуживания, в которой изучаются  многоканальные системы, занятые обслуживанием требований.

Также к стохастическим моделям можно отнести модели теории полезности, поиска и принятия решений.

Для моделирования ситуаций, зависящих от факторов, для которых невозможно собрать статистические данные и значения которых не определены, используются модели с элементами неопределенности.

В моделях теории игр  задача представляется в виде игры, в которой участвуют несколько игроков, преследующих разные цели, например организация предприятия в условиях конкуренции.

В имитационных моделях  реальный процесс разворачивается  в машинном времени, и прослеживаются результаты случайных воздействии на него, например, организация производственного процесса.

В детерминированных  моделях неизвестные факторы  не учитываются. Несмотря на кажущуюся  простоту этих моделей, к ним сводятся многие практические задачи, в том числе большинство экономических задач.