Логико-дидактический анализ темы "Многоугольники"

0,7х – 3(0,2х – 1) £ 0,5х + 1;

0,7х – 0,6х – 3 £ 0,5х + 1;

0,7х – 0,6х – 0,5х £ 1 + 3, –0,4х £ 4, х £ –10.

 

 

 

 

(Д) Прием, который позволяет  сформировать потребности самоконтроля, объяснить, почему данные решения  неверны.

Например:

а) (х – 5)² + х – 1 > 0, х £ 3;

б) 3х + 5 < 11, x ³ 2;

в) (х – 1) (ч + 1) > х², х <1.

 

Решения отвергаются обоснованно, учащиеся должны аргументировать свои ответы.

(Е) Могут быть использованы  задания с выборочными ответами, а также прием работы с книгой, прием построения алгоритма решения определенного класса задач. В нашем случае это алгоритмы решения неравенств и системы неравенств с одной переменной.

Остановимся на приеме построения алгоритма  как результата теоретического обобщения  решения задач. Здесь эффективно может быть использована групповая форма работы на первом этапе построения алгоритма.

Класс разделить на четыре группы, каждой группе дать одно из заданий:

а) x (x + 1) + 2 (x² + 3x)+ 6 > x (3x + 5) – x + 9;

б) 7t (2t – 3) – 18 ³ (14t + 3) (t + 2);

в) 3х (2х – 5) + 4 £ х (6х – 9) – 2 (3х + 3);

г) (2у + 1)² + 2 < 2y (2y + 5) – 6y + 5.

 

1-й шаг—упростить выражение каждой части неравенства (воспользоваться сопоставлением решения уравнения и неравенства).

2-й шаг — перенести члены неравенства, содержащие переменную, в одну часть, числа — в другую с изменением знака на противоположный (используются свойства равносильности неравенств).

3-й шаг — привести подобные члены.

После третьего шага работа ведется  фронтально.

4-й шаг — разделить (если  возможно) обе части неравенства  на коэффициент при переменной (используются свойства равносильности неравенств), получить простейшие неравенства:

а)  х >1;           б) ;  в) нет решений;    г) у — любое число.

5-й шаг — отметить решения  на координатной прямой. При разборе  решения выделяются существенные и несущественные связи с уже изученным материалом. Анализ решения позволяет записать алгоритм решения линейного неравенства:

— раскрыть скобки в обеих частях неравенства;

— перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну часть, а не содержащие — в другую;

— привести подобные члены в каждой части;

— разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной (с учетом свойств равносильности при а ¹ 0);

— записать ответ в виде простейшего неравенства;

— отметить соответствующие промежутки на координатной прямой;

— записать числовой промежуток.

Алгоритм решения неравенства  вида ах > b, который является составной частью приведенного выше алгоритма, записывается в виде схемы (рис. 1).

В результате аналогичной работы учащиеся под руководством учителя составляют алгоритм решения системы линейных неравенств с одной переменной:

— решение каждого неравенства системы (по алгоритму решения линейного неравенства);

— нанесение на координатную прямую числового промежутка, являющегося решением каждого неравенства;

— выделение промежутка, который удовлетворяет одновременно всем неравенствам системы;

— запись общего промежутка.

8. При изучении темы «Неравенства» могут быть использованы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

различные формы организации учебной  деятельности учащихся.

О групповой форме организации учебной деятельности уже упоминалось. Здесь отметим, что такая форма весьма эффективна, так как, во-первых, воспитывает потребность в общении и взаимопомощи; во-вторых, формирует умение аргументировать свои действия, что способствует осознанности и прочности усвоения изучаемого материала.

Одной из разновидностей групповой  формы является работа учащихся парами. Например, каждый учащийся выполняет  задание партнера, а затем они вместе обсуждают решения, оценивают друг друга.

Индивидуальная форма работы реализуется при самостоятельном изучении теоретического материала о свойствах равносильных неравенств с одной переменной. В этом случае закрепляется общеучебное действие — чтение учебного материала, выделение главной мысли, установление связи с ранее изученным материалом.

Учащиеся должны ответить на вопросы:

1) Какие из пар неравенств равносильны и почему:

а) 2 – 3х >11  б) –0,02х > –1,5,   в) 5х – 2 > 7х,

         х < –3;           2х < 150;       2х > 2 ?

2) Какие из неравенств  х >5, –х < –5, х > –5 равносильны неравенству Зх – 6 > 2х – 1? Почему?

3) Какой вид имеет неравенство, равносильное неравенству Зх – 2 < 3 – х ?

 

Усвоение материала  проверяется фронтально, учитель по изученному материалу и выполненным заданиям проводит беседу с учащимися.

9. Контроль знаний учащихся проводится  в различных формах. В частности,  при изучении темы «Неравенства»  могут быть использованы такие формы контроля:

1) Устная контрольная работа. Она дает возможность учителю установить, сформировано ли учебное действие «доказательство неравенства» и усвоены ли знания свойств числовых неравенств. Такую работу лучше проводить в начале урока с последующим разбором. Задания оформляются на кодопленке в двух вариантах.

2) Самостоятельные работы  учащихся (2—3 человека). Решение  оформляется на кодопленке для  самопроверки правильности выполнения работы каждым учащимся.

3) Самостоятельная работа  для всего класса в нескольких  вариантах. Таких работ должно быть несколько для выяснения знания «ядерного» материала и умений применять изученные алгоритмы. Например, самостоятельная работа может быть предложена для выяснения уровня сформированности умения «решать системы линейных неравенств с одной переменной». В эту работу включаются задания с учетом обязательных результатов обучения.

Учитель может использовать самостоятельные работы № 47—55 (см. [79]).

В теме «Неравенства»  тематическим планированием предусматривается три контрольные работы, в содержание которых уже заложены обязательные результаты обучения.

При изучении материала, при проведении самостоятельных  и контрольных работ учитель  может ознакомиться со статьей Л. В. Кузнецовой и С. С. Минаевой «Об организации учебного процесса с учетом обязательных результатов обучения» (см.: Математика в шк.— 1986.—        № 4).

Рассмотрим один из вариантов  типизации задач по теме «Неравенства» по учебнику [7] (табл. 19).

Таблица 19

 

№ пункта учебника	Основное понятие	Тип задачи
26	а больше b а меньше b	Сравнение значений выражений при  заданных значениях переменной (№ 617-621) Доказательство безусловных неравенств (№ 622-629)
27	Cвойства числовых неравенств a<b, b<c, то a<c; a<b и c, то a+c<b+c; 0<a<b, то	Использование свойств неравенств (№ 635-643) Оценка значений выражений (№ 645-648)
28	Сложение и умножение числовых неравенств	Задачи как средство обучения действиям  над неравенствами (№ 651-653) Задачи как цель математической деятельности по вычислению границ выражения (№ 654-660)
29	Числовые промежутки, двойное неравенство	Задачи как средство обучения: а) переводу с «языка промежутка»  на «язык» геометрический (№ 667-669); б) осмыслению неравенства, двойного неравенства (№ 664-666, 671); в) изображению простейших неравенств (№ 670) и принадлежности числа промежутку (№ 672-678)
30	Равносильность неравенств, свойства равносильности, алгоритм решения линейного неравенства	Задачи как средство обучения: а) свойствам равносильности (№683-685); б) понятию решения неравенства  (№ 686-687); в) сравнению двух выражений (№ 690-691) Задачи как цель математической деятельности: а) по решению неравенств (№ 688, 692-693, 695-696, 698-700); б) по решению текстовых задач  на составление неравенств (№ 707-710)
31	Решение системы неравенств, алгоритм решения системы неравенств	Задачи как средство обучения: а) понятию решения системы (№ 715-716); б) понятию двойного неравенства (№ 722, 730, 731) Задачи как цель математической деятельности по формированию алгоритма (№ 717-721, 723-730, 734-736)
32	Нули функции, интервалы знакопостоянства	Задачи как средство обучения: а) на сравнение значений функции (№ 722-724); б) на нахождение значений функции (№ 741, 745-746); в) на нахождение интервалов знакопостоянства по графику (№ 747-749) и по аналитическому заданию функции
33	Возрастание, убывание функции, характер изменения линейной функции	Задачи как средство обучения: а) на осмысление понятия возрастания (убывания) функции (№ 759-763); б) на применение теоретического материала  о характере изменения линейной функции (№ 764-766, 767)

 

 

По данному  материалу могут быть решены следующие  методические задачи:

Задача 1. Разработайте методическое планирование темы, аналогичное  приведенному в § 8 настоящей главы.

Задача 2. Составьте обучающую  программу для использования ЭВМ по вопросу решения линейных неравенств.

Задача 3. На основе анализа  темы выделите возможные исследовательские  действия и разработайте методику их формирования.

Задача 4. Подберите систему  практических задач, на основе решения которых возможно показать применение систем линейных неравенств для решения задачи оптимизации.

Задача 5. Разработайте конспект урока, на котором будет формироваться  алгоритм решения системы линейных неравенств.